Historia rachunku sięga starożytności . Jego powstanie wiąże się z kontrowersjami między dwoma matematykami : Izaakiem Newtonem i Gottfriedem Wilhelmem Leibnizem . Niemniej jednak początki tego typu obliczeń odnajdujemy u starszych matematyków: w szczególności Archimedesa , Pierre'a de Fermata i Izaaka Barrowa .
Pojęcie ilości pochodnej urodzony w XVII e wieku w pismach Gottfried Wilhelm Leibnizem AND Isaac Newton , które to nazwy Fluxion i które określa się, jak „ostatecznego iloraz dwóch zwiększa zanikającą”.
Pole matematyczny analizy numerycznej doświadczony w drugiej połowie XVII th century prodigious zaawansowanym poprzez pracę Newtona i Leibniza na rachunku różniczkowego i całkowego, w tym do czynienia z pojęciem nieskończenie i jej związek tzw pełnych sum .
Jednak jest to Blaise Pascal , który w pierwszej połowie XVII -go wieku, pierwsze badania przeprowadzone na koncepcji stycznej do krzywej -. „Dotknięcia” sam nazywa Markiz de l'Hospital pomoże szerzyć rachunku Leibniza w późnym XVII -tego wieku przez jego książki na analizie nieskończenie małe .
Wallis , angielski matematyk (najbardziej znany z serii całek noszących jego imię) również przyczynił się do rozwoju analizy różnicowej.
Niemniej jednak tej nowo ukształtowanej teorii nie zapewniono jeszcze w tamtym czasie całego matematycznego rygoru, jakiego wymagałaby, aw szczególności koncepcji nieskończenie małych, wprowadzonej przez Newtona , która jest bardziej intuicyjna i która mogłaby powodować błędy już wkrótce. ponieważ nie dogadujemy się dobrze, jeśli chodzi o to, co jest lub nie jest nieistotne . Jest to XVIII th century d'Alemberta wprowadzono bardziej rygorystyczne definicję pochodnej numer jako ograniczenie tempa wzrostu - w formie podobnej do tej stosowanej i nauczał dzisiaj. Jednak w czasach d'Alemberta problemem było pojęcie granicy: nie zostało jeszcze formalnie skonstruowane (patrz Konstrukcja liczb rzeczywistych ). To tylko z pracą Weierstrassa środku XIX th century, że pojęcie pochodnej zostanie całkowicie sformalizowane.
To Lagrange (koniec XVIII -tego wieku), który jest zapis , wspólny dzisiaj do wyznaczenia liczby uzyskane w . Jemu również zawdzięczamy nazwę „pochodna” na określenie tego matematycznego pojęcia.
Metoda wyczerpywania jest znany Archimedesa ; po odkryciu palimpsestu zawierającego traktat „Metoda” wiemy, że posiadał on również szczątkową formę integracji, opartą na odmianie zasady Cavalieriego .
Pojęcia są rozwijane w Indiach, opracowane przez szkołę Kerala .
W Europie w XVII E wieku fascynują matematyków dwa problemy: że na styczną i że z kwadratury . Pierwsza polega na znalezieniu z dowolnej krzywej różnych stycznych do krzywej. Drugi polega na obliczeniu powierzchni generowanej przez krzywą. Opracowano kilka metody: metodę indivisibles , w sposób normalny z Kartezjusza , w sposób wyrównywania z Fermatem . To ta ostatnia metoda została usystematyzowana przez język rachunku różniczkowego.
Metoda niepodzielnaWe Włoszech od 1620 roku Cavalieri opracował metodę przedmiotów niepodzielnych , kontynuowaną przez Torricellego (1643), ówczesną szkołę w Padwie.
Kiedy Cavalieri zmarł (1647), Pietro Mengoli przejął władzę na 39 lat. Wraz ze Stefano degli Angeli rozwija podstawy rachunku różniczkowego dla szeregów (w szczególności ). Cała Europa biegnie. W szczególności Gregory , student w latach 1664-1668, przywiózł formułę Gregory-Leibniz z powrotem do Anglii .
Pascal ze swojej strony prowadzi dogłębną refleksję, z filozoficznego punktu widzenia, nad pojęciem nieskończoności; jego praca, Treatise on Roulette , ukazała się w 1659 roku. Wallis wyprodukował Arithmetica Infinitorum (Oxford, 1655) i spopularyzował symbol , jak również nieskończenie mały . Barrow uczy Newtona w Cambridge w 1661 r. W 1634 r. Roberval podaje kwadraturę cykloidy i styczną.
Pierre de Fermat, 1636W 1636 r. Fermat przedstawił ogólną metodę wyznaczania stycznych, wykorzystując w tym celu metodę wyrównywania (słowo zapożyczone od Diofantusa ).
Polega to na rozważeniu równania , usunięciu z dwóch elementów, uproszczeniu równania uzyskanego przez e, a następnie ustawieniu e = 0 w uproszczonym równaniu.
To znaczy, we współczesnym języku, operacja
,w ten sposób działając przejście do granic i wyprowadzenie, terminy ukute później.
Fermat stwierdził, że „nie można podać bardziej ogólnej metody” i „metoda ta nigdy nie wprowadza w błąd i może obejmować wiele bardzo pięknych pytań”. Podaje kilka przykładów zastosowań (parabola, cykloida itp.).
Ważna kontrowersja miała miejsce z Kartezjuszem, który sam opublikował własne metody określania stycznych.
Rozumowanie Fermata nie jest dobrze rozumiane w połowie XVII th century, Huygens przedstawionym Akademii Nauk w 1667 roku komunikat, w którym wyjaśnił naukowiec metodę Toulouse; wspomniał tam, że e jest „nieskończenie małą ilością”, używając zresztą po raz pierwszy wyrażenia „ nieskończenie mała ”.
Leibniz spotkał Huygensa w Paryżu w 1672 roku, a Huygens uczęszczał do Towarzystwa Królewskiego od 1663 roku.
Uważa się, że Newton jest jednym z twórców rachunku nieskończenie małych. Zainspirowany Kartezjuszem i Wallisem, których pisma czytał, rzeczywiście stawia problem stycznych, które szybko łączy z kwadratem. Jednak pisze na ten temat niewiele (tylko trzy) i publikuje bardzo późno z obawy przed krytyką.
Już w 1669 roku Newton, czerpiąc inspirację z Wallisa i Barrowa, połączył problem kwadratury z problemem stycznych: pochodna jest odwrotną procedurą całkowania . Interesuje się nieskończenie małymi wariacjami wielkości matematycznych i obszarem generowanym przez te ruchy . Jego najbardziej znaną metodą pozostaje metoda topnienia . Pod silnym wpływem swojej pracy fizyka uważa wielkości matematyczne za generowane „przez ciągły wzrost” i porównuje je z przestrzenią generowaną przez „ciała w ruchu”. W tym samym duchu wprowadza czas jako zmienną uniwersalną i definiuje przepływy i płyny. Fluenty (x, y, z…) są wielkościami „zwiększanymi stopniowo i w nieskończoność”, a strumienie ( ) „prędkościami, z których płyny są zwiększane”. Powstaje problem: „Biorąc pod uwagę relacje między ilościami płynnymi, znaleźć związek między ich przepływami”. ”.
Oto na przykład rozwiązanie, które podaje :
To znaczy nieskończenie mały przedział czasu. i będą nieskończenie małymi przyrostami x i y. Zamieniając x i y przez i Następnie rozwijając wzór pary , którą zademonstrował: Następnie odejmuje i dzieli przez . Wreszcie pomija wszystkie terminy zawierające i uzyskuje: , który przypomina formułęIntuicja jest słuszna, ale brakuje jej przekonania. Newton chciałby pozbyć się nieskończenie małych ilości, których nie jest w stanie oprzeć na rygorystycznych zasadach. W swojej metodzie „pierwszych i ostatnich powodów” będzie zadowolony z relacji między fluktuacjami, które pozwolą mu uniknąć „zaniedbania” terminów, pozwalając, by termin „zniknął” w raporcie. Następnie zbliża się do naszego obecnego pojęcia ograniczenia, porównując je z ideą „chwilowej prędkości” ciała. Nie tego, którego ma przed przybyciem, ani tego, którego ma po, ale tego, którego ma, kiedy przybywa. W Principia tak wyraża swoją myśl: „Ostateczne stosunki, w których znikają ilości, nie są w rzeczywistości stosunkami wielkości ostatecznych, ale granicami, do których zawsze zbliżają się stosunki wielkości, malejące bez ograniczeń: i do których mogą się one zbliżać jako blisko, jak chcemy. Zaskakujące jest to, jak ta koncepcja zbliża się do samej definicji współczesnej granicy: f (x) zmierza w kierunku f (a) jeśli otrzyma jakieś dodatnie ε, istnieje α takie, że: | xa | <α ⇒ | f (x) -f (a) | <ε. Jednak Newton nie uogólnia tej definicji, a jego pojęcie granicy pozostaje zarezerwowane dla współczynników fluktuacji, do tego, co zbliża się do współczesnego rachunku pochodnego. Mimo to okazuje się, że nie jest w stanie oprzeć swojego rachunku różniczkowego na żadnym rygorystycznym fundamencie. Pojęcie nieskończenie małej wartości jest wciąż zbyt nowe i jest mocno krytykowane, będąc dla niektórych jedynie „duchem brakujących ilości”.
Leibniz jest uważany za drugiego twórcę rachunku różniczkowego; poprawi punktację i prezentację. Leibniz był początkowo filozofem i matematykę odkrył dopiero w 1672 roku, kiedy podczas podróży do Paryża spotkał Christiana Huygensa . Następnie zainspirowały go dzieła Kartezjusza, Pascala, Wallisa i innych. Bardzo szybko powiązał problem stycznych i kwadratury, zauważając, że problem stycznej zależy od stosunku „różnic” rzędnych i odciętych oraz kwadratury na „ suma ”rzędnych. W swojej pracy nad kombinatoryką zauważa:
1, 4, 9, 16 to ciąg kwadratów 1, 3, 5, 7 sekwencja różnic kwadratów: 1 + 3 + 5 + 7 = 16Jego praca filozoficzna popycha go do rozważenia nieskończenie małych różnic i wkrótce wyciąga wniosek: ∫dy = y , ∫ jest sumą nieskończenie małych wartości, a dy to nieskończenie mała różnica.
Rzeczywiście Leibniz wysyła jednocześnie filozoficzną hipotezę o istnieniu nieskończenie małych składników wszechświata. Wszystko, co postrzegamy, jest po prostu sumą tych elementów. Związek z tymi matematycznymi badaniami jest bezpośredni. Czasami wyjaśnia również te nieskończenie małe elementy, dokonując analogii z geometrią: dx jest do x , co jest punktem po prawej stronie. To popycha go do hipotezy o niemożności porównania wartości różniczkowych z wartościami „prawdziwymi”. Podobnie jak Newton, będzie opowiadał się za porównaniami między raportami.
Jasna i praktyczna notacja, którą tworzy, umożliwia szybkie i proste obliczenia. Zainteresowany stosunkiem utożsamia go ze współczynnikiem kierującym stycznej, uzasadniając to badaniem trójkąta utworzonego przez nieskończenie mały fragment stycznej i dwa nieskończenie małe fragmenty równoległości do osi odciętych i l ' zamówione. Wyraża więc na przykład współczynnik kierujący stycznej do krzywej reprezentatywnej dla :
I wreszcie, zaniedbując d x :
.Rozwiązuje również problemy , , a mające na celu stworzenie prawdziwej algebry nieskończenie. Ale poddaje się wielu krytyce, podobnej do tej, którą skierował do Newtona i Kartezjusza do Fermata : po co lekceważyć nieskończenie małe w ostatecznym wyniku? A jeśli są równe 0, jak możemy obliczyć ich stosunek? On sam ma trudności z oparciem swojej teorii na solidnych koncepcjach i ma tendencję do traktowania nieskończenie małych wartości jako narzędzi, takich jak liczby urojone, które tak naprawdę nie istnieją. Ale mimo to jego przeciwnicy pozostają liczni.
W Acta Eruditorum Leibniz mógł skutecznie promować swoje obliczenia (1684). Bernoulli, a następnie Euler będzie wiedział, jak dobrze wykorzystać jego notację, udowadniając operacyjną skuteczność języka różniczkowego.
We Francji, wraz z Huygensem, Rolle i Varignonem, Analiza przezornie zyskała na znaczeniu, ale nie rozwinęła się silnie, dopóki krąg wokół Malebranche wszedł do Académie des Sciences (1699).
Kto z Newtona i Leibniza ma pierwszeństwo? Pytanie nie ma sensu, więc badania naukowe są pracą zbiorową. Wynalazek rachunku nieskończenie małego integruje różne innowacje różnych autorów. Możemy więc wyróżnić:
W 1700 roku obliczenia były nadal dalekie od zaakceptowania: Michel Rolle i George Berkeley skrytykowali je.
To, co krytykuje Rolle, to brak nowości:
„ Biorąc to pod uwagę, łatwo będzie wiedzieć, że podstawowa formuła rachunku różniczkowego nie jest niczym innym jak zwykłym wzorem tangensów Fermata i że ta była publiczna, zanim nic nie zostało opublikowane w pierwszych wersjach tego obliczenia. "
„ Zatem obrońcy analizy nieskończenie małego nie mogą zaprzeczyć, że panowie Barou i Tschirnhaus nie wykorzystali idei pana Fermata do znalezienia równości i zwykłej formuły stycznej, którą nazywają równością różniczkową. "
„ W 1684 r. Pan de Leibniz podał w lipskich gazetach przykłady zwykłej formuły tangensów i nałożył na tę formułę nazwę równości różniczkowej […] Pan de Leibniz nie podejmuje się wyjaśnienia pochodzenia tych formuł w tym projekt, ani ich demonstracja […] Zamiast a & e bierze dx & dy. "
„ Robimy to tylko na tej formule w analizie nieskończenie małego; gdzie, jeśli jest jakaś zmiana, wystarczy napisać dx & dy zamiast a & de e. Ale można by tam uwierzyć, że wszystkie te operacje są przeprowadzane tylko jako konsekwencja nowego systemu nieskończoności, chociaż były one regulowane na dobrych zasadach, zanim zaczęto mówić o rachunku różniczkowym i karuzeli tamtej. sprawia, że w tej analizie jest to tylko zamaskowanie reguł, które już pojawiły się na ten temat. "
W rzeczywistości Newton i Leibniz wprowadzili do świata anglosaskiego i germańskiego zasady wyznaczania tangensów znane już we Francji dzięki Fermatowi, ale w innej formie. Kalkulacja została ponownie założona na solidnych fundamentach w XIX th century z wprowadzeniem pojęcia granicy. Wraz z Eulerem matematyka i fizyka matematyczna eksplodują. Obliczenie jest prawdziwe „eksperymentalnie”. Ale XVIII E zaroi się od prac krytycznych, mających na celu „usprawiedliwienie” tego (można zacytować badanie Lazare Carnota, a zwłaszcza ostrzeżenia Lagrange'a ).
W 1711 roku Towarzystwo Królewskie oskarży Leibniza o skopiowanie pracy Newtona, ogłaszając nawet wynalazcę metody. Między dwoma mężczyznami doszło do licznych kłótni i osobistych ataków. Być może pojawiły się również pewne względy prestiżu narodowego, które następnie weszły w grę.
Dopiero w XIX -tego wieku, że pojęcie granicy będzie naprawdę wyjaśnione. I tylko w ten sposób rachunek różniczkowy może się naprawdę rozwinąć. Ponieważ Newton i Leibniz działają nie na relacjach, ale na granicach relacji, i to właśnie ta koncepcja jest podstawą całej reszty. W tym czasie matematykom przedstawiono współczesną liczbę rzeczywistą, jaką znamy.
Przed XIX -tego wieku, ten projekt nie jest w pełni wyjaśnione, co uniemożliwia oparcie limitu baz dźwiękowych, chociaż intuicja ma. Leibniz, na przykład, wyraża to w formie analogii „dx jest do x, jaki jest punkt po prawej stronie” , co pozwala uchwycić ideę; ponieważ operacja przejścia do granicy jest odnotowywana dzięki prefiksowi d, który wprowadza, pozwala to nie mieszać rzędów wielkości, a ustawienie w relacji działa, ponieważ granica relacji dwóch funkcji jest równoważna stosunek granic tych dwóch funkcji. Ale koncepcja liczby jest nadal bardzo inspirowana wizją euklidesową , stąd pewne trudności w formalnym zrozumieniu.
Bez scharakteryzowania gęstości i z natury nieskończonego charakteru rzeczywistych, pojęcie granicy nie mogłoby się wyłonić. Do Cauchy'ego i Weierstrassa będzie należało sprecyzowanie pojęcia granicy i ciągłości. Analiza klasyczna może wreszcie zacząć się od odpowiedniego formalizmu.
To nowoczesne podejście doprowadziło do rozszerzenia pojęcia nieskończenie małych (m.in. wprowadzenie stopni nieskończenie małych) i ma zastosowanie nawet w szkołach średnich, patrz Karel Hrbaceck, Oliver Lessmann i Richard O'Donovan.