Grupa Mathieu

W matematyce , te grupy Mathieu pięć grup proste skończonych odkryte przez matematyk francuski Emile Mathieu . Zazwyczaj są one postrzegane jako grupy permutacji w n punktach (gdzie n może przyjmować wartości 11, 12, 22, 23 lub 24) i nazywane są M n .

Grupy Mathieu były pierwszymi odkrytymi sporadycznymi grupami .

Grupy M 24 i M 12 są 5-przechodnie , grupy M 23 i M 11 są 4-przechodnie, a M 22 jest 3-przechodnie. Ta przechodniość jest nawet ścisła dla M 11 i M 12 .

Z klasyfikacji skończonych grup prostych wynika, że jedynymi grupami permutacji 4-przechodnich są grupy symetryczne i naprzemienne (odpowiednio o stopniu ≥ 4 i ≥ 6) oraz grupy Mathieu M 24 , M 23 , M 12 i M 11 .

Zamówienia

Grupa	Zamówienie	Porządek faktorowany
M 24	244,823,040	2 10 .3 3 .5.7.11.23
M 23	10,200,960	2 7 .3 2 .5.7.11.23
M 22	443,520	2 7 .3 2 .5.7.11
M 12	95,040	2 6 .3 3 .5.11
M 11	7 920,	2 4 .3 2 .5.11

Konstrukcje grup Mathieu

Grupa automorfizmów systemów Steinera

Istnieje, z wyjątkiem równoważności , unikalny system Steinera S (5,8,24). Grupa M 24 jest grupą automorfizmów tego systemu Steinera, to znaczy zbiorem permutacji, które stosują każdy blok do pewnego innego bloku. Podgrupy M 23 i M 22 są zdefiniowane jako stabilizatory odpowiednio pojedynczego punktu i dwóch punktów.

Podobnie, poza ekwiwalencją, istnieje unikalny system Steinera S (5,6,12), a grupa M 12 to jego grupa automorfizmów. Podgrupa M 11 jest stabilizatorem punktu.

Alternatywną konstrukcją S (5,6,12) jest „Chaton” Curtisa.

Grupa automorfizmu kodu Golaya

Grupę M 24 można również postrzegać jako grupę automorfizmów binarnego kodu Golaya W , tj. Grupę permutacji współrzędnych nakładających na siebie W. Możemy również spojrzeć na to jako na przecięcie S 24 i Stab ( W ) w Aut ( V ). Słowa kodowe w naturalny sposób odpowiadają podzbiorom zbioru 24 obiektów. Te podzbiory odpowiadające słowom kodowym z 8 lub 12 współrzędnymi równymi 1 nazywane są odpowiednio oktadami lub dodekadami . Oktady to bloki systemu Steiner S (5,8,24).

Proste podgrupy M 23 , M 22 , M 12 i M 11 można zdefiniować jako podgrupy M 24 , odpowiednio stabilizatorów pojedynczych współrzędnych, uporządkowanej pary współrzędnych, pary uzupełniających się dodekad i pary dodekad z jedną współrzędną.

M 12 ma indeks 2 w swojej grupie automorfizmów. Jako podgrupa M 24 , M 12 działa w drugiej dodekadzie jako obraz automorfizmu zewnętrznego jego działania w pierwszej dodekadzie. M 11 jest podgrupą M 23, ale nie M 22 . Ta reprezentacja M 11 ma orbity 11 i 12. Grupa automorfizmu M 12 jest maksymalną podgrupą M 24 z indeksem 1288.

Istnieje bardzo naturalne połączenie między grupami Mathieu i większymi grupami Conwaya, ponieważ kod binarny Golaya i sieć Leech znajdują się w 24-wymiarowych przestrzeniach. Grupy Conwaya znajdują się z kolei w grupie Potworów . Robert Griess odnosi się do 20 sporadycznych grup znalezionych w Potworze jako szczęśliwej rodziny, a grupy Mathieu jako pierwsze pokolenie .

Grupa automorfizmów grafowych

Grupę M 23 można postrzegać jako grupę automorfizmu okrojonego grafu Witta , 15- regularnego grafu o 506 wierzchołkach i 3 795 krawędziach.

Uwagi i odniesienia

str. 152 de (en) Shreeram S. Abhyankar , „ Resolution of osobliwości i modularna teoria Galois ” , Bull. Gorzki. Matematyka. Soc. (Nowa seria) , vol. 38 N O 22001, s. 131-169 ( czytaj online )
Wprowadzenie do konstrukcji M 24 jako grupy automorfizmów S (5,8,24) za pośrednictwem Miraculous Octad Generator RT Curtisa, patrz 4x4 Square Geometry .
Analog Conway S (5,6,12), miniGOM, można znaleźć w (w) JH Conway i NJA Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , Springer-Verlag, al. " GMW " ( N O 290)1999, 3 e ed. , 706 s. ( ISBN 978-0-387-98585-5 , czytaj online ).
(w) RT Curtis , The Steiner System S (5,6,12), grupa Mathieu M 12 i "Kitten" , Londyn, Academic Press, wyd. "Obliczeniowa teoria grup",1984
(w) AE Brouwer , AM Cohen i A. Neumaier , „The Truncated Witt Graph Associated to M 23 ” in Distance Regular Graphs , Nowy Jork, Springer-Verlag,1989, s. 367-368, §11.4B

(en) JH Conway , RT Curtis , SP Norton , RA Parker (en) and RA Wilson , ATLAS of Finite Groups : maksymalne podgrupy i zwykłe znaki dla prostych grup , Oxford, OUP ,1985, 252 pkt. ( ISBN 0-19-853199-0 )
(en) RT Curtis , „ Nowe kombinatoryczne podejście do M 24 ” , Math. Proc. Camb. Phil. Soc. , vol. 79,1976, s. 25-42
(en) Robert L. Griess , Dwanaście sporadycznych grup , Springer-Verlag,1998
MI. Mathieu , „ Pamięć o badaniu funkcji kilku wielkości, o sposobie ich formowania oraz o substytucjach, które pozostawiają je niezmienne ”, Journal de Liouville ,1861, s. 241 i s.
MI. Mathieu , „ O pięciokrotnej funkcji przechodniej 24 wielkości ”, Journal de Liouville , t. (2) XVIII,1873, s. 25-47
(en) Thomas M. Thompson , From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups , MAA , wyd. „Carus Mathematical Monographs”,1983

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Grupa Mathieu ” ( zobacz listę autorów ) .

Link zewnętrzny

„ Moggie ” ( Archiwum • Wikiwix • Archive.is • Google • Co robić? ) (Dostęp 29 sierpnia 2017 ) Aplet Java do badania konstrukcji Curtisa GOM.