W numerze teorii The funkcja Mertens jest
gdzie μ jest funkcją Möbiusa .
Mniej formalnie, M ( n ) jest liczbą liczb całkowitych bez kwadratów mniejszych lub równych n, a liczba czynników pierwszych jest parzysta , pomniejszona o liczbę liczb całkowitych bez niższego współczynnika kwadratowego lub równą n, a liczba czynników pierwszych jest nieparzysta.
Ponieważ funkcja Möbiusa przyjmuje tylko wartości –1, 0 i +1, jest oczywiste, że nie ma takiego x , że | M ( x ) | > x . Mertens przypuszczenie (1897) idzie jeszcze dalej, stwierdzając, że nie byłoby x , gdzie wartość bezwzględna funkcji Mertens przekracza pierwiastek kwadratowy z x .
Andrew Odlyzko i Herman te Riele wykazali w 1985 roku, że to przypuszczenie było błędne. Ich dowód nie dał wyraźnego kontrprzykładu, ale teraz wiemy, że najmniejszy kontrprzykład jest większy niż 10 14 i mniejszy niż exp (1.59.10 40 ).
Niemniej jednak hipoteza Riemanna jest równoważna słabszej hipotezie dotyczącej wzrostu M ( x ), wyraźnie: dla wszystkich ε> 0, M ( x ) = O ( x 1 ⁄ 2 + ε ), gdzie O oznacza notację Landaua . Ponieważ piki M rosną co najmniej tak szybko, jak pierwiastek kwadratowy z x , stawia to dość wąskie ograniczenie tempa wzrostu.
Korzystając z produktu Eulerian , znajdujemy to
gdzie ζ jest funkcją zeta Riemanna i iloczynem liczby pierwszych . Tak więc, używając tej serii Dirichleta ze wzorem Perrona , otrzymujemy:
gdzie C jest zamkniętą krzywą otaczającą wszystkie korzenie ζ .
I odwrotnie, mamy transformację Mellina
który pozostaje ważny dla Re ( s )> 1.
Dobrą oceną, przynajmniej asymptotycznie, byłoby uzyskanie za pomocą algorytmu gradientowego nierówności:
Funkcję Mertensa obliczono dla coraz większego przedziału n .
Nikt | Rok | Limit |
---|---|---|
Mertens | 1897 | 10 4 |
von Sterneck | 1897 | 1,5 × 10 5 |
von Sterneck | 1901 | 5 × 10 5 |
von Sterneck | 1912 | 5 × 10 6 |
Neubauer | 1963 | 10 8 |
Cohen i Dress | 1979 | 7,8 × 10 9 |
Sukienka | 1993 | 10 12 |
Lioen i Moon Van | 1994 | 10 13 |
Kotnik i Moon van | 2003 | 10 14 |
Gaj | 2016 | 10 16 |