Funkcja sześcienna

W matematyce , A funkcja sześcienny jest funkcją formie

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

gdzie $a$ jest niezerowe.

Równania $F ( x ) = 0$ jest więc równanie trzeciego stopnia .

Do rozwiązania tego równania wielomianowego nazywane są zerami z funkcji wielomianowej $f$ .

Punkt krytyczny

Rozważamy tutaj sześcienną funkcję $f$ zdefiniowaną przez $f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d,$ której współczynniki, podobnie jak zmienna $x$ , są rzeczywiste.

Te krytyczne punkty z $F$ są odciętych w punktach wykresie , gdzie nachylenie na styczną wynosi zero, to znaczy $X$ , w którym pochodna z $F$ zanika:

{\ Displaystyle 3ax ^ {2} + 2bx + c = 0}

Rozwiązania tego równania podano za pomocą wzoru kwadratowego ze zredukowaną dyskryminacją :

{\ Displaystyle x _ {\ text {krytyka}} = {\ Frac {-b \ pm {\ sqrt {\ Delta _ {0}}}} {3a}}}

{\ Displaystyle \ Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}

Znak z $hemibursztynianu 0$ określa liczbę punktów krytycznych i lokalnych ekstremów z $f$ :

jeśli $Δ 0 > 0$ - jak na wykresie obok - to $f$ ma lokalne maksimum i lokalne minimum;
jeśli $Δ 0 = 0$ , to punkt przegięcia (patrz poniżej) jest jedynym punktem krytycznym;
jeśli $Δ 0 <0$ , to $f$ nie ma punktu krytycznego.

W przypadkach, w których $Δ 0 \leq 0$ , $f$ jest ściśle monotoniczne, dlatego nie ma lokalnego ekstremum.

Wartość $Δ 0$ odgrywa również ważną rolę w określaniu charakteru i wartości pierwiastków równania sześciennego .

Punkt przegięcia i symetria

Krzywa ogólnej funkcji sześciennej,

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

zawsze ma punkt przegięcia , to znaczy punkt, w którym krzywa zmienia wklęsłość .

Ponieważ druga pochodna o $f jest$ wyrażona $f '' ( x ) = 6 AX + 2 b$ , odcięta tym punkcie

{\ Displaystyle x_ {0}: = - {\ Frac {b} {3a}}}

wartość, która jest również ważna przy rozwiązywaniu równania sześciennego.

Rzędna jest

{\ Displaystyle y_ {0}: = f (x_ {0}) =}

2 b 3 / 27 do 2 - pne / 3 a + d

Krzywa jest symetryczna w tym punkcie.

Demonstracja

Poprzez zintegrowanie dwukrotnie , otrzymujemy , a następnie , co jest funkcją nieparzystą od $godz$ . ${\ displaystyle f '' (x_ {0} + h) = 6ah}$ ${\ displaystyle f '(x_ {0} + h) = 3ah ^ {2} + f' (x_ {0})}$ ${\ Displaystyle f (x_ {0} + h) -y_ {0} = ach ^ {3} + hf '(x_ {0})}$

Aplikacje

Funkcje sześcienne pojawiają się w różnych kontekstach.

Na twierdzenie marden w pokazuje, że ogniska od Steiner inellipse trójkąta można znaleźć przy użyciu funkcji sześcienny których korzenie są to współrzędne w płaszczyźnie zespolonej trzy wierzchołki trójkąta. Pierwiastki pierwszej pochodnej tego sześcianu to złożone współrzędne tych ognisk.

Charakterystyczne wielomianu o 3 x 3 osnowy jest stopnia 3.

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Cubic function ” ( zobacz listę autorów ) .

(w) Michael de Villiers, „ Wszystkie sześcienne wielomiany są punktami symetrycznymi ” , Learning & Teaching Mathematics , vol. 1,2004, s. 12-15 ( czytaj online ).

Zobacz też