Funkcja wklęsła

W matematyce mówi się , że funkcja f jest wklęsła, gdy przeciwna funkcja –f jest wypukła .

Fakt, że wolimy zacząć od zdefiniowania pojęcia wypukłej funkcji i wyprowadzić z niego, że z wklęsłą funkcją znajduje swoje źródło w tym, że możemy łatwo zdefiniować pojęcie wypukłej zbioru , podczas gdy „SET wklęsłe„jest mniej naturalny. Następnie definiujemy funkcje wypukłe jako te, które mają wypukły epigraf (funkcje wklęsłe mają wypukły hipograf ). Dlatego analiza wypukła istnieje jako dyscyplina matematyki, ale „analiza wklęsła” już nie.

Definicje

Definicja  -  o funkcji f mówi się, że jest wklęsła, gdy przeciwna funkcja –f jest wypukła .

Ta definicja jest równoważna z następującą definicją:

Określenie  -  Funkcja F od rzeczywistego przedziału I do ℝ mówi się wklęsłe, gdy dla wszystkich x 1, i x 2 z I i wszystkich t w [0; 1] mamy:

fa(tx1+(1-t)x2)≥tfa(x1)+(1-t)fa(x2).{\ Displaystyle f (t \, x_ {1} + (1-t) \, x_ {2}) \ geq t \, f (x_ {1}) + (1-t) \, f (x_ {2 }).}

Przypadek funkcji wyprowadzalnych

Mamy dwie cechy:

Wniosek  -  Niech f jest funkcją wyprowadzić ponad interwałowej I .

• f jest wklęsłe wtedy i tylko wtedy, gdy jej reprezentatywna krzywa znajduje się poniżej każdej z jej stycznych  ;
• F jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy jego pochodna jest zmniejszenie o I .

Z drugiej charakterystyki wnioskujemy:

• że każda funkcja wklęsła i różniczkowalna (w rzeczywistym przedziale) należy do klasy C 1  ;
• następujący wniosek, bardzo praktyczny dla łatwego sprawdzenia wklęsłości konkretnych przykładów:

Następstwem  -  Niech f funkcji dwukrotnie różniczkowalnej na przedziale I . f jest wklęsłe wtedy i tylko wtedy, gdy jego druga pochodna f '' ma wartości ujemne lub zerowe.

Przykład funkcji wklęsłych

Spośród prostych funkcji wklęsłych możemy oczywiście z definicji przytoczyć przeciwieństwa rzeczywistych funkcji wypukłych, na przykład:

• x ↦ - x n z n a nawet całkowitą  ;
• x ↦ - exp ( x ) .

Przytoczmy też kilka odwrotności funkcji wypukłych, na przykład na ℝ + *:

• naturalny logarytm funkcji  ;
• funkcja moc x ↦ x jeśli 0 ≤ a ≤ 1 .

Mówiąc bardziej ogólnie, funkcje podwójnie różniczkowalne, których druga pochodna jest zawsze ujemna, są funkcjami wklęsłymi. Ale funkcja wklęsła niekoniecznie jest różniczkowalna, o czym świadczy funkcja x ↦ - | x | .

Powiązany artykuł

Funkcja wypukła-wklęsła

Bibliografia

1. Wypowiedź w Jacques Douchet, Analiza: zbiór ćwiczeń i pomoc w zapamiętywaniu , t.  1, PPUR ,2010, 3 e  ed. ( 1 st  ed. 2003) ( czytaj on-line ) , s.  77(prop. 5.44) i zademonstrowane w tym poprawionym ćwiczeniu z lekcji na temat funkcji zmiennej rzeczywistej na Wikiversity . Aby zapoznać się z uogólnieniem wypukłych funkcji zmiennej wektorowej, patrz (w) John Paul Penot Calculus Without Derivatives , al.  "  GTM  " ( N O  266)2012( czytaj online ) , s.  202-203.