Funkcja wypukła-wklęsła
W matematyce , A wypukła-wklęsła funkcja to funkcja określona przez iloczyn rzeczywistym przestrzeni wektorowej , która jest wypukła względem pierwszej zmiennej (co druga zmienna) i wklęsłym w stosunku do drugiego (niezależnie od pierwszego). Funkcja wklęsło-wypukła to funkcja, której przeciwieństwo jest wypukłe-wklęsłe. Te dwa typy funkcji są czasami łączone pod pojęciem funkcji siodłowo-punktowej , co jest zatem mniej precyzyjnym pojęciem (nie mówimy, czy wypukłość zachodzi w odniesieniu do pierwszej, czy drugiej zmiennej) i co prowadzi do nieporozumień. (te funkcje niekoniecznie mają punkt siodłowy ).
Funkcje wypukło-wklęsłe pojawiają się jako optymalizacja ( jednym z przykładów jest Lagrangian ), w problemach z równowagą ( teoria gier ) itp .
Zakładana wiedza : pojęcia wypukłych i wklęsłych funkcji , z sub-różniczkowalności .
Definicje
Niech i będą dwiema przestrzeniami wektorowymi nad zbiorem liczb rzeczywistych . Oznaczamy ten wypełniony prawdziwą linię .
mi{\ displaystyle \ mathbb {E}}fa{\ displaystyle \ mathbb {F}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R¯: =R∪{-∞,+∞}{\ Displaystyle {\ bar {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}
Funkcja wypukła-wklęsła - mówi się, że funkcja jest wypukła-wklęsła , jeśli
φ:mi×fa→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do {\ bar {\ mathbb {R}}}}
- we wszystkim funkcja jest wypukła ,y∈fa{\ displaystyle y \ in \ mathbb {F}}x∈mi→φ(x,y)∈R¯{\ Displaystyle x \ w \ mathbb {E} \ do \ varphi (x, y) \ w {\ bar {\ mathbb {R}}}}
- we wszystkim funkcja jest wklęsła .x∈mi{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}y∈fa→φ(x,y)∈R¯{\ Displaystyle y \ w \ mathbb {F} \ do \ varphi (x, y) \ w {\ bar {\ mathbb {R}}}}
Mówi się, że funkcja wypukła-wklęsła jest właściwa, jeśli istnieje taki punkt , który nie przyjmuje wartości i nie przyjmuje wartości (a zatem ); skuteczne domeny o to zbiór punktów spełniających tę właściwość; zauważamy to .
φ{\ displaystyle \ varphi}(x0,y0)∈mi×fa{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}}φ(⋅,y0){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y_ {0})}-∞{\ displaystyle - \ infty}φ(x0,⋅){\ Displaystyle \ varphi (x_ {0}, \ cdot)}+∞{\ displaystyle + \ infty}φ(x0,y0)∈R{\ Displaystyle \ varphi (x_ {0}, y_ {0}) \ w \ mathbb {R}}φ{\ displaystyle \ varphi}(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}domφ{\ displaystyle \ operatorname {dom} \ varphi}
Zamknięta funkcja wypukła-wklęsła
Definicja zamkniętej funkcji wypukło-wklęsłej nie powinna być mylona z definicją zamkniętej funkcji wypukłej . Jeśli zamknięcie funkcji (wypukłej) jest równoważne jej dolnej półciągłości, zamknięcie funkcji wypukła-wklęsłej nie jest. To ostatnie pojęcie jest również bardziej ogólne ( tj. Mniej silne) niż niższa półciągłość w porównaniu z pierwszą zmienną połączoną z wyższą półciągłością w porównaniu z drugą zmienną. W rzeczywistości daje dość ogólne warunki zapewniające maksymalną monotonię powiązanego „operatora pochodnego”. Robimy to w następujący sposób.
Zamknięta funkcja wypukło-wklęsła - Niech będzie funkcją wypukło-wklęsłą.
φ:mi×fa→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do {\ bar {\ mathbb {R}}}}
- Zauważamy
przylegaćxφ:mi×fa→R¯{\ displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}
funkcja taka, że za wszystko , jest zamknięcie funkcji wypukłej . Podobnie zauważamyy∈fa{\ displaystyle y \ in \ mathbb {F}}przylegaćxφ(⋅,y){\ displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi (\ cdot, y)}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)}
przylegaćyφ:mi×fa→R¯{\ displaystyle \ operatorname {adh} _ {y} \ varphi: \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F} \ to {\ bar {\ mathbb {R}}}}
funkcja taka, że za wszystko , jest zamknięcie funkcji wypukłej .x∈mi{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}-przylegaćyφ(x,⋅){\ displaystyle - \ operatorname {adh} _ {y} \ varphi (x, \ cdot)}-φ(x,⋅){\ Displaystyle - \ varphi (x, \ cdot)}
- Mówimy, że jest to równoważne funkcji wypukło-wklęsłej ifφ{\ displaystyle \ varphi}φ~:mi×fa→R¯{\ Displaystyle {\ tilde {\ varphi}}: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do {\ bar {\ mathbb {R}}}}
przylegaćxφ=przylegaćxφ~iprzylegaćyφ=przylegaćyφ~.{\ displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi = \ operatorname {adh} _ {x} {\ tilde {\ varphi}} \ qquad {\ mbox {i}} \ qquad \ operatorname {adh} _ { y} \ varphi = \ operatorname {adh} _ {y} {\ tilde {\ varphi}}.}
Jest to relacja równoważności.
- Mówimy, że jest zamknięte , jeśli i są równoważne , co sprowadza się do powiedzenia tegoφ{\ displaystyle \ varphi}przylegaćxφ{\ displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi}przylegaćyφ{\ displaystyle \ operatorname {adh} _ {y} \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}
przylegaćx(przylegaćyφ)=przylegaćxφiprzylegaćy(przylegaćxφ)=przylegaćyφ.{\ displaystyle \ operatorname {adh} _ {x} (\ operatorname {adh} _ {y} \ varphi) = \ operatorname {adh} _ {x} \ varphi \ qquad {\ mbox {i}} \ qquad \ operatorname {adh} _ {y} (\ operatorname {adh} _ {x} \ varphi) = \ operatorname {adh} _ {y} \ varphi.}
Monotonia
Wiemy, że funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej różniczkowalnej i wypukłej ma swoją rosnącą pochodną . Fakt ten uogólnia do eigenconvex funkcji, zdefiniowanych w przestrzeni wektorowej przez to, że ich sub-różnica jest operatorem monotoniczny (patrz tutaj ). Poniższy wynik pokazuje, że mamy również relację monotoniczności dla operatora sub-różniczkowego związanego z funkcją wypukło-wklęsłą.
Oznaczamy różniczkę podrzędną funkcji wypukłej w , różnicę podrzędną funkcji wypukłej w i dziedzinę operatora wiele-do-wielu .
∂xφ(x,y){\ Displaystyle \ częściowe _ {x} \ varphi (x, y)}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)}x{\ displaystyle x}∂y(-φ)(x,y){\ Displaystyle \ częściowe _ {y} (- \ varphi) (x, y)}-φ(x,⋅){\ Displaystyle - \ varphi (x, \ cdot)}y{\ displaystyle y}domT: ={(x,y)∈mi×fa:T(x,y)≠∅}{\ displaystyle \ operatorname {dom} \, T: = \ {(x, y) \ in \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F}: T (x, y) \ neq \ varnothing \}} T{\ displaystyle T}
Monotonia - Niech będą dwiema oddzielnymi lokalnie wypukłymi topologicznymi przestrzeniami wektorowymi i właściwą funkcją wypukło-wklęsłą. Następnie operator wiele do wielu zdefiniowany w par
mi{\ displaystyle \ mathbb {E}}fa{\ displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×fa→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do {\ bar {\ mathbb {R}}}} T:mi×fa⊸mi′×fa′{\ Displaystyle T: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ multimap \ mathbb {E} '\ times \ mathbb {F}'}(x,y)∈mi×fa{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F}}
T(x,y)=∂xφ(x,y)×∂y(-φ)(x,y){\ Displaystyle T (x, y) = \ częściowe _ {x} \ varphi (x, y) \ razy \ częściowe _ {y} (- \ varphi) (x, y)}
jest monotonna . Ponadto
domT⊂domφ.{\ Displaystyle \ nazwa operatora {dom} \, T \ podzbiór \ nazwa operatora {dom} \, \ varphi.}
Operator wprowadzony w powyższym wyniku monotoniczności nazywany jest operatorem monotonicznym skojarzonym z . Możemy to łatwo zweryfikować
T{\ displaystyle T} φ{\ displaystyle \ varphi}
(x∗,y∗)∈T(x,y)⟺{(x,y) jest punktem siodła(x′,y′)↦φ(x′,y′)-⟨x∗,x′⟩+⟨y∗,y′⟩.{\ Displaystyle (x ^ {*}, y ^ {*}) \ w T (x, y) \ qquad \ Longleftrightarrow \ qquad \ lewo \ {{\ początek {tablica} {l} (x, y) ~ { \ mbox {to punkt siodłowy}} \\ (x ', y') \ mapsto \ varphi (x ', y') - \ langle x ^ {*}, x '\ rangle + \ langle y ^ {* }, y '\ rangle. \ end {tablica}} \ right.}
W szczególności
(0,0)∈T(x,y)⟺(x,y) jest punktem siodła φ.{\ Displaystyle (0,0) \ w T (x, r) \ qquad \ Longleftrightarrow \ qquad (x, y) ~ {\ mbox {to punkt siodłowy}} ~ \ varphi.}
Maksymalna monotonia
W tej sekcji zbadamy maksymalną monotonię operatora monotonicznego skojarzonego z funkcją wypukło-wklęsłą, przedstawioną w poprzedniej sekcji . Właściwość ta odgrywa istotną rolę w tym, że inkluzja może mieć rozwiązanie , a także w zbieżności algorytmów obliczających takie rozwiązanie; jest w pewnym sensie odpowiednikiem niższej półciągłości funkcji w optymalizacji.
T{\ displaystyle T}0∈T(x){\ Displaystyle 0 \ w T (x)}x{\ displaystyle x}
Zaczynamy od wyniku dla funkcji wypukło-wklęsłych przyjmujących tylko wartości skończone.
Maksymalna monotonia I (funkcja o skończonej wartości) - Niech i będzie dwiema oddzielnymi lokalnie wypukłymi przestrzeniami wektorów topologicznych i funkcją wypukła-wklęsłą, przyjmującą wartości skończone i taką, że
mi{\ displaystyle \ mathbb {E}}fa{\ displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×fa→R{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do \ mathbb {R}}
- za wszystko , jest ciągła,y∈fa{\ displaystyle y \ in \ mathbb {F}}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)}
- za wszystko , jest ciągła.x∈mi{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}φ(x,⋅){\ Displaystyle \ varphi (x, \ cdot)}
Wtedy operator monotoniczny powiązany z jest maksymalnym monotonicznym. Ponadto dla wszystkich , to osłabienie siły kompaktowy niepusty wypukły od .
T{\ displaystyle T}φ{\ displaystyle \ varphi}(x,y)∈mi×fa{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F}}T(x,y){\ Displaystyle T (x, y)}∗{\ displaystyle *}mi′×fa′{\ displaystyle \ mathbb {E} '\ times \ mathbb {F}'}
Wiedząc, że funkcja wypukła przyjmująca tylko skończone wartości i zdefiniowana w skończonej wymiarowej przestrzeni wektorowej jest z konieczności ciągła, natychmiast otrzymujemy następujący wniosek.
Wniosek (wymiar skończony) - Niech i będą dwiema skończonymi wymiarami przestrzeniami wektorowymi i funkcją wypukła-wklęsłą przyjmującą skończone wartości. Wtedy operator monotoniczny skojarzony z jest maksymalnym monotonicznym i, dla wszystkich , jest zwartym niepustym wypukłym of .
mi{\ displaystyle \ mathbb {E}}fa{\ displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×fa→R{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do \ mathbb {R}}T{\ displaystyle T}φ{\ displaystyle \ varphi}(x,y)∈mi×fa{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F}}T(x,y){\ Displaystyle T (x, y)}mi′×fa′{\ displaystyle \ mathbb {E} '\ times \ mathbb {F}'}
Maksymalny wynik monotoniczności poniżej uogólnia poprzedni, pozwalając funkcji wypukło-wklęsłej na przyjmowanie nieskończonych wartości. Jednak ta funkcja musi być zamknięta, a przestrzenie muszą być przestrzeniami Banacha (z których jedna jest refleksyjna).
Maksymalna monotonia II (funkcja o nieskończonych wartościach) - Niech i będzie dwiema przestrzeniami Banacha, z których przynajmniej jedna jest refleksyjna i właściwa zamknięta funkcja wypukła-wklęsła. Wtedy operator monotoniczny powiązany z jest maksymalnym monotonicznym.
mi{\ displaystyle \ mathbb {E}}fa{\ displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×fa→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do {\ bar {\ mathbb {R}}}}φ{\ displaystyle \ varphi}
Jeśli jest zamknięty właściwa funkcja wypukła-wklęsła, niekoniecznie obniżają przerywanego i niekoniecznie jest górna pół-ciągłe, ale jeśli uda nam się te założenia Funkcja Półciągła cokolwiek i , następnie zostaje zamknięty i możemy zastosować twierdzenie.
φ:mi×fa→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do {\ bar {\ mathbb {R}}}}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)}φ(x,⋅){\ Displaystyle \ varphi (x, \ cdot)}x∈mi{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}y∈fa{\ displaystyle y \ in \ mathbb {F}}φ{\ displaystyle \ varphi}
Wniosek (funkcja sci-scs) - Niech i będą dwiema przestrzeniami Banacha, z których przynajmniej jedna jest refleksyjna i właściwa funkcja wypukła-wklęsła, taka że
mi{\ displaystyle \ mathbb {E}}fa{\ displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×fa→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do {\ bar {\ mathbb {R}}}}
- dla wszystkich , są półciągły niżejy∈fa{\ displaystyle y \ in \ mathbb {F}}φ(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, y)}
- dla wszystkich , jest superiorly półciągły.x∈mi{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}φ(x,⋅){\ Displaystyle \ varphi (x, \ cdot)}
Następnie jest zamykany, a powiązany operator monotoniczny jest maksymalny monotoniczny.
φ{\ displaystyle \ varphi}
Można dalej uszczegółowić wynik podany w poprzednim wniosku w przypadku, gdy funkcję wypukło-wklęsłą uzyskuje się przez ograniczenie do iloczynu wypukłości i funkcji wypukło-wklęsłej przyjmującej tylko wartości skończone.
φ:mi×fa→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do {\ bar {\ mathbb {R}}}}VS⊂mi{\ displaystyle C \ subset \ mathbb {E}}re⊂fa{\ displaystyle D \ subset \ mathbb {F}}φ0:mi×fa→R{\ Displaystyle \ varphi _ {0}: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do \ mathbb {R}}
Wniosek (ograniczenie funkcji o skończonych wartościach) - Niech i będzie dwiema przestrzeniami Banacha, z których przynajmniej jedna jest refleksyjna i właściwa funkcja wypukła-wklęsła zdefiniowana w par.
mi{\ displaystyle \ mathbb {E}}fa{\ displaystyle \ mathbb {F}}φ:mi×fa→R¯{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do {\ bar {\ mathbb {R}}}}(x,y)∈mi×fa{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F}}
φ(x,y)={φ0(x,y)gdybyx∈VS i y∈re+∞gdybyx∉VS i y∈re-∞gdybyy∉re,{\ Displaystyle \ varphi (x, y) = \ lewo \ {{\ początek {tablica} {lll} \ varphi _ {0} (x, y) i {\ mbox {si}} i x \ w C ~ { \ mbox {et}} ~ y \ in D \\ + \ infty & {\ mbox {si}} & x \ notin C ~ {\ mbox {et}} ~ y \ in D \\ - \ infty & {\ mbox {si}} & y \ notin D, \ end {tablica}} \ right.}
gdzie i są dwoma zamkniętymi niepustymi wypukłościami i jest funkcją wypukło-wklęsłą przyjmującą tylko skończone wartości i taką, że cokolwiek może być , jest półciągłe poniżej i półciągłe powyżej. Wtedy jest prawidłowa funkcja wypukła-wklęsła, a powiązany z nią operator monotoniczny jest maksymalny monotoniczny.
VS⊂mi{\ displaystyle C \ subset \ mathbb {E}}re⊂fa{\ displaystyle D \ subset \ mathbb {F}}φ0:mi×fa→R{\ Displaystyle \ varphi _ {0}: \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F} \ do \ mathbb {R}}(x,y)∈mi×fa{\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {E} \ razy \ mathbb {F}}φ0(⋅,y){\ Displaystyle \ varphi _ {0} (\ cdot, y)}φ0(x,⋅){\ Displaystyle \ varphi _ {0} (x, \ cdot)}φ{\ displaystyle \ varphi}
Załączniki
Uwagi
-
Rozdział 34 w Rockafellar (1970a)
-
Twierdzenie 1 w Rockafellar (1970b).
-
Twierdzenie 2 w Rockafellar (1970b).
-
Wniosek 1 w Rockafellar (1970b).
-
Twierdzenie 3 w Rockafellar (1970b).
-
Sekcja 34 w Rockafellar (1970a).
Powiązane artykuły
Bibliografia
-
(en) RT Rockafellar (1970a). Analiza wypukła . Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
-
(en) RT Rockafellar (1970b). Operator monotoniczny związany z funkcjami siodełka i problemami z minimaksem. W FE Browder, edytor, Nonlinear Functional Analysis , część 1, strony 397–407. Sympozja w Pure Math., Vol. 18, Amer. Matematyka. Soc., Providence, RI
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">