Funkcja ograniczona

W matematyce , o funkcja zdefiniowana w zestawie z rzeczywistych lub zespolonych wartości nazywany jest ograniczone jeśli zbiór jego wartości jest ograniczony . Innymi słowy, istnieje liczba rzeczywista taka, że $fa$ ${\ textstyle X}$ ${\ textstyle M}$

|fa(x)|≤M{\ Displaystyle | f (x) | \ równoważnik M}

{\ Displaystyle | f (x) | \ równoważnik M}

dla wszystkich x w (zauważamy, że jest to z konieczności dodatnie) . O funkcji, która jest nieograniczona, mówi się, że jest nieograniczona . ${\ textstyle X}$ ${\ textstyle M}$

Jeśli jest z prawdziwymi wartościami, a jeśli dla wszystkich IN , funkcja mówi się być ograniczona przez . Jeśli dla wszystkich IN , funkcja mówi się być niedoceniane przez . Funkcja o wartościach rzeczywistych jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno ograniczona, jak i ograniczona. $fa$ ${\ displaystyle f (x) \ leqslant A}$ $x$ ${\ textstyle X}$ $W$ ${\ Displaystyle f (x) \ geqslant B}$ $x$ ${\ textstyle X}$ $b$

Ważnym szczególnym przypadkiem jest ciąg ograniczony , w którym jest uważany za zbiór liczb naturalnych . Zatem sekwencja jest ograniczony, jeśli istnieje rzeczywistej liczby takie, że ${\ textstyle X}$ $\ mathbb {N}$ ${\ displaystyle f = (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ...)}$ $M$

|wnie|≤M{\ Displaystyle | a_ {n} | \ równoważnik M}

{\ Displaystyle | a_ {n} | \ równoważnik M}

dla każdej liczby naturalnej . Zbiór wszystkich ograniczonych ciągów tworzy przestrzeń ograniczonych ciągów , oznaczoną . $nie$ ${\ displaystyle l ^ {\ infty}}$

Definicja związany można uogólnić do cenionych funkcji w bardziej ogólnym przestrzeni poprzez wymóg, że obraz będzie zbiór ograniczony w . ${\ textstyle f: X \ rightarrow Y}$ ${\ textstyle Y}$ ${\ displaystyle f (X)}$ ${\ textstyle Y}$

Pojęcia pokrewne

Pojęcie ograniczenia lokalnego jest słabsze niż pojęcie związane. Rodzina ograniczonych funkcji może być jednolicie ograniczona .

Operator liniowy ograniczony nie jest ograniczonym funkcja w rozumieniu definicji tej stronie (z wyjątkiem, gdy jest funkcja NULL), ale ma słabsze właściwości konserwujące pojęcie związane : zbiór ograniczony wysyłanych przez zbiór ograniczony . Definicja ta może zostać rozszerzona do dowolnej funkcji if i pozwalają koncepcję zbiór ograniczony. ${\ textstyle T: X \ rightarrow Y}$ $T$ ${\ textstyle M \ subseteq X}$ ${\ textstyle T (M) \ subseteq Y}$ ${\ textstyle f: X \ rightarrow Y}$ ${\ textstyle X}$ ${\ textstyle Y}$

Przykłady

Funkcja jest ograniczona. ${\ Displaystyle \ sin: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$
Funkcja zdefiniowana dla wszystkich rzeczywistych x z wyjątkiem i jest nieograniczona. Gdy zbliża się x lub , wartości tej funkcji stają się coraz większe. Ta funkcja może być ograniczona, jeśli weźmiemy pod uwagę, że jej domeną jest na przykład lub . ${\ Displaystyle f (x) = (x ^ {2} -1) ^ {- 1}}$ $-1$ $1$ $-1$ $1$ ${\ Displaystyle [2, + \ infty [}$ ${\ displaystyle] - \ infty, -2]}$

Funkcja zdefiniowana dla dowolnego rzeczywistego x jest ograniczona. ${\ textstyle f (x) = (x ^ {2} +1) ^ {- 1}}$
Odwrotny tangens trygonometryczny funkcji określonej jako jest zwiększenie dla wszystkich liczb rzeczywistych x i jest ograniczony do radianach . ${\ Displaystyle y = \ arctan (x) \, {\ textrm {lub}} \, x = \ tan (y)}$ ${\ Displaystyle - {\ Frac {\ pi} {2}} <y <{\ Frac {\ pi} {2}}}$
Każda funkcja ciągła jest ograniczona. Mówiąc bardziej ogólnie, każda ciągła funkcja zwartej przestrzeni w przestrzeni metrycznej jest ograniczona ( więcej szczegółów można znaleźć w Twierdzeniu o wartościach ekstremalnych ). ${\ displaystyle f: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R}}$
Wszystkie funkcje o wartościach zespolonych, które są liczbami całkowitymi, są albo nieograniczone, albo stałe, co jest konsekwencją twierdzenia Liouville'a . W szczególności złożona zatoka musi być nieograniczona, ponieważ jest cała. ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ sin: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$
Funkcja, która przyjmuje wartość, jeśli jest liczbą wymierną, a jeśli jest liczbą niewymierną (por. Funkcja Dirichleta ), jest ograniczona. Dlatego funkcja nie musi być „ładna” ani „ładna”, aby mogła zostać ograniczona. Zbiór wszystkich zdefiniowanych funkcji ograniczonych jest znacznie większy niż zbiór funkcji ciągłych w tym przedziale. $fa$ ${\ textstyle 0}$ ${\ textstyle x}$ ${\ textstyle 1}$ ${\ textstyle x}$ $[0,1]$

Uwagi

Zbiór funkcji rzeczywistych ograniczonych do tego samego zbioru tworzy stabilną podprzestrzeń wektorową również przez mnożenie , co czyni go algebrą znormalizowaną przez nieskończoną normę . Bardziej ogólnie, ten zestaw jest stabilny dzięki składowi dzięki funkcji ciągłej. Oznacza to w szczególności, że każda ograniczona rzeczywista zmienna losowa dopuszcza momenty dowolnego rzędu.

Istnienie granic pozwala uzasadnić istnienie skończonych granic dla rosnącej funkcji w przedziale.

Zobacz też

Zbiór ograniczony
Kompaktowy stojak
Terminal lokalny
Jednolity terminal