Stożek (geometria)

W geometrii , A Stożek jest wykluczone powierzchni lub stałe .

Powierzchnia

Sprawa ogólna

Stożek jest wykluczone powierzchnia wyznaczona przez linię prostą ( d ), zwany tworząca , przechodząc przez ustalony punkt S zwana wierzchołek oraz zmienny punkt opisujące krzywą ( c ), zwany kierowania krzywej .

Mówimy również w tym przypadku o powierzchni stożkowej .

Stożek rewolucji

Spośród tych powierzchni stożkowych najlepiej zbadany jest stożek obrotu, w którym krzywą kierującą jest okrąg ze środkiem O znajdującym się w płaszczyźnie prostopadłej do (SO). Ten stożek nazywany jest obrotem, ponieważ można go wygenerować po prostu przez obrót linii (d) przechodzącej przez S wokół osi (Sz) różnej od (d). Generator stożka tworzy wtedy stały kąt z osią obrotu. $\alfa$

To właśnie z tego stożka rewolucji matematycy (w tym Apollonius de Perga ) sklasyfikowali zestaw krzywych jako stożki (przecięcie stożka i płaszczyzny): koła , elipsy , parabole , hiperbola .

W ortonormalnym układzie współrzędnych ( S , i , j , k ) równanie stożka obrotu z osią ( Sz ) i wierzchołkiem S jest dane wzorem :

x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} (\ tan \ \ alpha) ^ {2}

gdzie jest kąt stożka (lub półkąt u góry), utworzony przez oś obrotu i generator. $\alfa$

Sekcje stożka obrotu samolotu

W przypadkach, gdy płaszczyzna jest równoległa lub prostopadła do osi obrotu stożka, uzyskuje się następujące krzywe:

Odcinek stożka obrotu płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu to okrąg.
Przekrój stożka obrotu przez płaszczyznę równoległą do osi obrotu wynosi
- połączenie dwóch siecznych linii, jeśli płaszczyzna zawiera oś obrotu
- hiperbola w przeciwnym przypadku

Mówiąc bardziej ogólnie, przekrój stożka obrotu przez płaszczyznę daje stożek . Więc znajdujemy

parabolą (ewentualnie redukuje się do generatora), gdy samolot znajduje się dokładnie równoległe do generatora stożka
elipsy (ewentualnie zmniejszyć do pewnego stopnia), gdy kąt utworzony przez wektor prostopadły do płaszczyzny, a oś obrotu jest mniejsza niż p / 2 - a
hiperbola (prawdopodobnie zredukowana do dwóch siecznych linii), gdy kąt utworzony przez wektor normalny do płaszczyzny i oś obrotu jest większy niż π / 2 - α

Solidny

Sprawa ogólna

Też połączenia stożka stałe ograniczony przez powierzchnię stożkową, wierzchołku S a płaszczyzna ( P ) nie zawiera S i sieczny wszystkich tworzących. Odcinek płaszczyzny i powierzchni nazywany jest podstawą stożka.

Gdy przekrój jest okrągły ze środkiem O, a linia ( OS ) jest prostopadła do przekroju, stożek nazywany jest stożkiem obrotu lub prawym okrągłym stożkiem . To najsłynniejszy rożek ( rożek do lodów , kapelusz klauna ). W tym przypadku odległość między wierzchołkiem dowolnego punktu na okręgu jest stała i nazywana jest apotemem stożka.

Kiedy zamknięta krzywa jest wielokątem , otrzymujemy piramidę .

Tom

Niezależnie od kształtu stożka, jego objętość stanowi zawsze jedną trzecią objętości cylindra o tej samej podstawie i wysokości:

{\ Displaystyle V = {\ Frac {1} {3}} B \ razy h}

gdzie B to obszar podstawy, a h to wysokość stożka, czyli odległość między wierzchołkiem S a płaszczyzną ( P ).

Demonstracja

Załóżmy, że wymiary płaskiego przekroju równoległego do podstawy zwiększają się liniowo od wierzchołka S w kierunku podstawy. Płaski przekrój, w dowolnej odległości y od S , jest podstawą przeskalowaną przez współczynnik y / h , gdzie h jest odległością między S a podstawą. Ponieważ obszar o dowolnym kształcie jest mnożona przez kwadrat skalowanego kształt, powierzchnia płaskiej części w odległości r od S jest przez 2 / h 2 .

Objętość jest podana przez całkę

${\ frac B {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} y ^ {2} {{\ rm {d}}} y = {\ frac B {h ^ {2}}} \ left [{\ frac {y ^ {3}} 3} \ right] _ {0} ^ {h} = {\ frac {Bh} 3}.$

Stożek ścięty

Kiedy przecinamy stożek płaszczyzną równoległą do jego podstawy, otrzymujemy dwie bryły. Ten, który zawiera wierzchołek, jest redukcją pierwotnego stożka, druga bryła to ścięty stożek. Jego objętość jest wyrażona jako funkcja jego dwóch podstaw B 1 i B 2 oraz jego wysokości h (odległość oddzielająca dwie podstawy) zgodnie ze wzorem: $V = {\ frac {h} {3}} \ times (B_ {1} + {\ sqrt {B_ {1} B_ {2}}} + B_ {2})$

Przypadek stożka rewolucji

W szczególnym przypadku stożka obrotu, wzory na objętość V i pole A (pole powierzchni otaczającej stożek: powierzchnia boczna + okrągła podstawa) są

V = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} \ times h

A = \ pi r (r + a) \,

gdzie r jest promieniem podstawowego koła, h jest wysokością stożka i

a = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}

apotema stożka.

Obszar boczny

Powierzchnia boczna A l (bez podstawy) to

A_ {l} = \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} = \ pi r ^ {2} {\ sqrt {1 + {\ frac {h ^ {2}} { r ^ {2}}}}}

teraz, zgodnie z zależnościami trygonometrycznymi w prawym trójkącie, mamy

1 + {\ frac {h ^ {2}} {r ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ alpha}}

gdzie α jest półkątem wierzchołka. Jeśli A 0 jest polem podstawy π⋅ r 2 , to mamy

A_ {l} = {\ frac {A_ {0}} {\ sin \ alpha}}

Ten wzór jest używany na przykład do obliczenia powierzchni czoła płomienia w przypadku płomienia stożkowego, a więc zużycia gazu i mocy tego płomienia.

Przekrój stożka obrotu o płaszczyznę

Kiedy przecinamy bryłę, stożek obrotu, płaszczyzną równoległą do podstawy, otrzymujemy okrąg. Promień r 1 tego okręgu uzyskuje się jako funkcję promienia r podstawy, wysokości h stożka i odległości h 1 między płaszczyzną a wierzchołkiem stożka za pomocą twierdzenia Talesa :

{\ frac {r} {h}} = {\ frac {r_ {1}} {h_ {1}}}

Kiedy przecinamy ten sam stożek płaszczyzną zawierającą jego oś obrotu, otrzymujemy trójkąt równoramienny o podstawie 2r i wysokości h .

Wzór lub rozwinięcie stożka rewolucji

Aby otrzymać wzór stożka obrotu o promieniu r i wysokości h , musimy najpierw obliczyć apotem

a = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}

Wystarczy wtedy narysować okrąg o promieniu r i fragment koła o promieniu a, którego kąt środkowy jest równy pełnemu kątowi. ${\ frac {r} {a}}$

Zobacz też

Powiązane artykuły

W naturze

Conodonta , klasa skamieniałych ryb agnatowatych, których etymologia oznacza „ząb” w kształcie stożka.

Link zewnętrzny

A. Javary, Treatise on descriptive geometry , 1881 (on Gallica ): Stożki i cylindry, kula i powierzchnie drugiego stopnia