Kontakt Hertza
W budowie maszyn i trybologii The kontakt Hz przedstawiono opis w związku z Heinrich Hertz (którego nazwa jest również związane z SI modułu częstotliwości, w hercach ) naprężenia w ciągu dwóch elastycznych obiektów będących w kontakcie. Opis kontaktu Hertza, uzyskany w 1880 roku i opublikowany w 1881 roku, dotyczy kontaktu dwóch sfer o różnych promieniach.
Generał
Kontakt Hertza odnosi się do zlokalizowanych naprężeń, które powstają, gdy dwie zakrzywione powierzchnie wchodzą w kontakt i odkształcają się nieznacznie pod działaniem przyłożonych sił. Stopień odkształcenia zależy od sprężystości stykającego się materiału, innymi słowy od jego modułu sprężystości. Teoria kontaktu Hertza podaje naprężenie w obszarze kontaktu jako funkcję przyłożonej siły normalnej, promieni krzywizny dwóch ciał i ich modułu sprężystości .
W ruchomych przekładniach i łożyskach te siły kontaktowe mają charakter cykliczny. Z czasem powodują zmęczenie materiału i pojawienie się pęknięć pod powierzchnią.
Teoria kontaktu Hertza stanowi podstawę równań do obliczania dopuszczalnego obciążenia łożysk, kół zębatych i innych części o dwóch stykających się powierzchniach.
Najważniejsze wyniki
Najpierw przedstawiamy podstawy teorii Hertza. Czytelnik zainteresowany dokładnymi kompletnymi równaniami znajdzie je w formularzu na końcu artykułu.
Weźmy prostą sytuację kuli i płaszczyzny (granica, w której jedna ze kul ma nieskończony promień). Zagłębienie kuli w materiale sprężystym zwiększa się wraz z przyłożoną siłą ściskającą, jak w każdej sytuacji sprężystości. Ale w przypadku kontaktu Hertza dwa ważne wyniki nie są trywialne i stanowią przedmiot zainteresowania tej teorii.
Powierzchnia styku
Pierwszym ważnym wynikiem jest to, że powierzchnia styku zwiększa się wraz z zagłębieniem. Wynika to głównie z geometrii: kontakt jest początkowo punktowy i rozszerza się wraz z tonięciem. Gdy kula tonie, jej przecięciem z płaszczyzną początkową jest dysk, którego promień a spełnia:
w2≃Rδ{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}![{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4177f3969fdf7136de795ba4ec0e9cbfcde413ea)
,
gdzie jest depresja i promień kuli.
δ{\ styl wyświetlania \ delta}
R{\ styl wyświetlania \ matematyka {R}}![{\ styl wyświetlania \ matematyka {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d35b45fa4cf4c6ce6406d97f28b483a766097)
Odpowiedź nieliniowa
Drugim nietrywialnym wynikiem jest to, że chociaż konstytutywne prawo materii jest liniowe ( prawo Hooke'a ), związek między przyłożoną siłą a zwisem nie jest:
fa{\ styl wyświetlania \ matematyka {F}}
δ{\ styl wyświetlania \ delta}![\delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
faαδ3/2{\ styl wyświetlania \ matematyka {F} \ propto \ delta ^ {3/2}}![{\ styl wyświetlania \ matematyka {F} \ propto \ delta ^ {3/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6e8e58f44cf7f6ebad6462d19e10c8fe686eb5)
.
Istotnym powodem jest właśnie to, że podczas depresji zwiększa się powierzchnia styku kuli z płaszczyzną. Wszelkie wykonane obliczenia (patrz poniżej), promień strefy kontaktu zmienia się w zależności od:
πw2{\ styl wyświetlania \ pi a ^ {2}}![{\ styl wyświetlania \ pi a ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c8012cda8f5bcfe65a014d760eb7b676ad3055)
wαfa1/3{\ displaystyle a \ propto \ mathrm {F} ^ {1/3}}![{\ displaystyle a \ propto \ mathrm {F} ^ {1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f23f861b2eab8263d0d60527744ce53730417bd)
.
Szacowanie energii sprężystej
Wszystkie obliczenia są przeprowadzane w kolejności wielkości, bez uwzględniania czynników liczbowych.
Odkształcenie materiału
Podczas tonięcia z promieniową powierzchnią styku (z ) odkształcenie jest rzędu:
δ{\ styl wyświetlania \ delta}
w{\ styl wyświetlania a}
w«R{\ displaystyle a \ ll \ mathrm {R}}![{\ displaystyle a \ ll \ mathrm {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a00576923dc253d69919fb25c641c7e388f7bbd)
ε=δ/w{\ displaystyle \ varepsilon = \ delta / a}![{\ displaystyle \ varepsilon = \ delta / a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91d32c6e422601ce6ea90e04c5b4e4b9040113d)
.
Obszar, w którym odkształcenie materiału jest rzędu δ / a ma objętość rzędu
V≈w3{\ displaystyle V \ ok ^ {3}}![{\ displaystyle V \ ok ^ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c2a7a9862577c453d1af2a2c5c454faddc1393)
.
Energia sprężysta
Elastyczny energii na jednostkę objętości dla szczepu napisany
ε{\ styl wyświetlania \ varepsilon}![\ varepsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
wmija=12miε2≃mi(δw)2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {el}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {E} \ varepsilon ^ {2} \ simeq \ mathrm {E} \ lewo ({\ frac {\ delta } {a}} \ po prawej) ^ {2}}![{\ displaystyle w _ {\ mathrm {el}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {E} \ varepsilon ^ {2} \ simeq \ mathrm {E} \ lewo ({\ frac {\ delta } {a}} \ po prawej) ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231f0d19e5f1b589bea77d4dc58153d80a5bac73)
.
gdzie jest moduł Younga materiału.
mi{\ styl wyświetlania \ matematyka {E}}![{\ matematyka {E}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1811407dea8b43727d28dbe8da7251985b03e8)
Całkowitą energię sprężystości uzyskuje się przez całkowanie. Tutaj jego rząd wielkości jest iloczynem maksymalnej gęstości energii sprężystej pomnożonej przez silnie odkształconą objętość:
Wmija≃wmija×V≃mi(δw)2w3≃miwδ2{\ displaystyle \ mathrm {W_ {el}} \ simeq w _ {\ mathrm {el}} \ razy \ mathrm {V} \ simeq \ mathrm {E} \ po lewej ({\ frac {\ delta} {a}} \ prawo) ^ {2} a ^ {3} \ simeq \ mathrm {E} a \ delta ^ {2}}![{\ displaystyle \ mathrm {W_ {el}} \ simeq w _ {\ mathrm {el}} \ razy \ mathrm {V} \ simeq \ mathrm {E} \ po lewej ({\ frac {\ delta} {a}} \ prawo) ^ {2} a ^ {3} \ simeq \ mathrm {E} a \ delta ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb43f88677930c0245ef1717dcd20e69f611d96b)
.
Łącząc z relacją geometryczną otrzymujemy:
w2≃Rδ{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}![{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4177f3969fdf7136de795ba4ec0e9cbfcde413ea)
Wmija≃miwδ2=miw5R2=miR1/2δ5/2{\ displaystyle \ mathrm {W_ {el}} \ simeq \ mathrm {E} a \ delta ^ {2} = \ mathrm {E} {\ frac {a ^ {5}} {\ mathrm {R} ^ {2 }}} = \ matematyka {E} \ matematyka {R} ^ {1/2} \ delta ^ {5/2}}![{\ displaystyle \ mathrm {W_ {el}} \ simeq \ mathrm {E} a \ delta ^ {2} = \ mathrm {E} {\ frac {a ^ {5}} {\ mathrm {R} ^ {2 }}} = \ matematyka {E} \ matematyka {R} ^ {1/2} \ delta ^ {5/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2060112f4310b178043f358a4c0ce772b269c266)
.
Oszacowanie siły, zwisu i wielkości powierzchni styku
Tutaj ponownie wszystkie obliczenia są przeprowadzane w kolejności według formy, bez uwzględniania czynników liczbowych.
Siłę uzyskuje się z energii dryfując względem przemieszczenia (patrz artykuł Praca siły ):
Wmija{\ displaystyle W_ {el}}
δ{\ styl wyświetlania \ delta}![\delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
fa≃miR1/2δ3/2{\ displaystyle \ mathrm {F} \ simeq \ mathrm {E} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {3/2}}![{\ displaystyle \ mathrm {F} \ simeq \ mathrm {E} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {3/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26dba406f57bd1a333f094475fbeb49e6017090)
.
Odwrotnie, depresja jest napisana:
δ≃(fa2mi2R)1/3{\ displaystyle \ delta \ simeq \ po lewej ({\ frac {\ matematyka {F} ^ {2}} {\ matematyka {E} ^ {2} \ matematyka {R}}} \ po prawej) ^ {1/3} }![{\ displaystyle \ delta \ simeq \ po lewej ({\ frac {\ matematyka {F} ^ {2}} {\ matematyka {E} ^ {2} \ matematyka {R}}} \ po prawej) ^ {1/3} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445308fbdeac7312162d67f6801fdc659f93095e)
.
Wykorzystując zależność geometryczną otrzymujemy wielkość strefy kontaktu:
w2≃Rδ{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}![{\ displaystyle a ^ {2} \ simeq \ mathrm {R} \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4177f3969fdf7136de795ba4ec0e9cbfcde413ea)
w≃(faRmi)1/3{\ displaystyle a \ simeq \ lewo ({\ frac {\ matematyka {F} \ matematyka {R}} {\ matematyka {E}}} \ po prawej) ^ {1/3}}![{\ displaystyle a \ simeq \ lewo ({\ frac {\ matematyka {F} \ matematyka {R}} {\ matematyka {E}}} \ po prawej) ^ {1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c98627f1a08c620500f24ff8b1eeacbff7a2b1)
.
Pełny wynik
Kompletna kalkulacja zapewnia:
fa=4w3mi⋆3R{\ displaystyle \ mathrm {F} = {\ frac {4a ^ {3} \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda}} {3 \ mathrm {R}}}}![{\ displaystyle \ mathrm {F} = {\ frac {4a ^ {3} \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda}} {3 \ mathrm {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbb223fc9e43f4ddaf8b5b4b26cc729ea832ccc)
gdzie jest moduł Younga zrenormalizowany przez współczynnik Poissona ν :
mi*{\ styl wyświetlania \ matematyka {E} ^ {*}}
mi⋆=mi1-ν2{\ displaystyle \ matematyka {E} ^ {\ gwiazda} = {\ frac {\ matematyka {E}} {1- \ nu ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ matematyka {E} ^ {\ gwiazda} = {\ frac {\ matematyka {E}} {1- \ nu ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793b03a44cd3d35e5acea1634df51d86af8df502)
.
Szkic kompletnego obliczenia kuli i płaszczyzny
Profil nacisku wywieranego pomiędzy dwoma obiektami w obrębie ich tarczy stykowej jest pokazany schematycznie na rysunku: jest on maksymalny w środku styku i maleje, gdy ktoś oddala się od środka, aż do zniesienia się na krawędzi styku. . W tym akapicie wskazujemy główne linie obliczeń pozwalające na uzyskanie dokładnego profilu ciśnienia oraz dokładnego ugięcia początkowo płaskiej powierzchni.
Połączenie między profilem ciśnienia a profilem ugięcia
Siła punktowa wywierana na powierzchnię płaszczyzny (przyjęta jako pozioma w celu utrwalenia idei) powoduje bardzo głębokie odchylenie pionowe (w zasadzie nieskończone) w punkcie przyłożenia siły. Odchylenie to zmniejsza się w miarę oddalania się (odległość pozioma ) od punktu aplikacji. To pionowe ugięcie zostało opisane przez Josepha Boussinesqa jako:
r{\ styl wyświetlania r}
ty(r){\ styl wyświetlania u (r)}![{\ styl wyświetlania u (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ee08e4212a61ad9d8915ae7082df4f50d46bd0)
ty(r)=faπmi⋆r{\ displaystyle u (r) = {\ frac {\ matematyka {F}} {\ pi \ matematyka {E} ^ {\ gwiazda} r}}}![{\ displaystyle u (r) = {\ frac {\ matematyka {F}} {\ pi \ matematyka {E} ^ {\ gwiazda} r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b033356c3e767b06320837463ba9175c5b7834)
.
W rzeczywistości całkowita siła F jest rozłożona na pewnej powierzchni w postaci nacisku, który zależy od położenia na powierzchni styku. Dlatego każdy element dociskowy przyczynia się do ugięcia . Zatem w dowolnym punkcie płaszczyzny (niekoniecznie wewnątrz styku) ugięcie jest sumą wkładów wszystkich elementów nacisku znajdujących się na powierzchni styku, poprzez zależność Boussinesqa cytowaną powyżej:
p(X→){\ displaystyle p ({\ vec {\ mathrm {X}}})}
X→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {X}}}}
ty{\ styl wyświetlania u}
x→{\ styl wyświetlania {\ vec {x}}}
ty(x→){\ styl wyświetlania u ({\ vec {x}})}![{\ styl wyświetlania u ({\ vec {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69c8edf334f7bdc43f1a3ac7317120e09bc3e4e)
ty(x→)=∫∫p(X→)πmi⋆rre2X→{\ displaystyle u ({\ vec {x}}) = \ int \! \! \! \ int {\ frac {p ({\ vec {\ mathrm {X}}})} {\ pi \ mathrm {E } ^ {\ gwiazda} r}} {\ rm {d}} ^ {2} {\ vec {\ matematyka {X}}}}![{\ displaystyle u ({\ vec {x}}) = \ int \! \! \! \ int {\ frac {p ({\ vec {\ mathrm {X}}})} {\ pi \ mathrm {E } ^ {\ gwiazda} r}} {\ rm {d}} ^ {2} {\ vec {\ matematyka {X}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e473767deb48c8645293459a583ddfdf1a3d00)
,
gdzie jest odległością między punktem przyłożenia elementu naciskowego a punktem, w którym obserwuje się ugięcie.
r=‖x→-X→‖{\ displaystyle r = \ | {\ vec {x}} - {\ vec {\ matematyka {X}}} \ |}
X→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {X}}}}
x→{\ styl wyświetlania {\ vec {x}}}![\ vec {x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c)
Uwaga
w kategoriach matematycznych całkowanie przeprowadzone w celu uzyskania profilu ugięcia stanowi tak zwany
splot profilu ciśnienia i odpowiedź Boussinesqa na siłę punktową.
ty(x→){\ styl wyświetlania u ({\ vec {x}})}
p(X→){\ displaystyle p ({\ vec {\ mathrm {X}}})}
ty(r){\ styl wyświetlania u (r)}
Profil Hertza
Znając odpowiedź Boussinesqa, praca Hertza polegała na znalezieniu odpowiedniego profilu docisku, aby uzyskać profil ugięcia, który pokrywa się w strefie styku, kołem i promieniem , z profilem kuli o promieniu zatopionym d 'odległości , czyli:
ty(r){\ styl wyświetlania u (r)}
w{\ styl wyświetlania a}
R{\ styl wyświetlania R}
δ{\ styl wyświetlania \ delta}![\delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
ty(r)=δ-r22R{\ displaystyle u (r) = \ delta - {\ frac {r ^ {2}} {2 \ mathrm {R}}}}![{\ displaystyle u (r) = \ delta - {\ frac {r ^ {2}} {2 \ mathrm {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7615f95b07baa19ea8a82783492d565cf8dbc969)
, dla .
r<w{\ styl wyświetlania r <a}![{\ styl wyświetlania r <a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190fae834f5fc2306b21859f21d137bc6eede32f)
Ponieważ cały układ jest symetryczny wokół osi pionowej przechodzącej przez środek kuli, profil ciśnienia jest osiowosymetryczny i dlatego oznaczamy go teraz . Hertz wykazał, że ten profil ciśnienia jest zapisany:
p(r){\ styl wyświetlania p (r)}![{\ styl wyświetlania p (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a0b6c3f80917fa2e46f00b9bcf4a71b37bbec3)
p(r)=p01-r2w2{\ displaystyle p (r) = p_ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {r ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}![{\ displaystyle p (r) = p_ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {r ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe665aa1d4fb514ad47036e525751539ae867fb)
,
z
-
w=Rδ{\ displaystyle a = {\ sqrt {R \ delta}}}
i
-
p0=2mi⋆δπw=2wmi⋆πR=2mi⋆πδR{\ displaystyle p_ {0} = {\ frac {2 \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda} \ delta} {\ pi a}} = {\ frac {2a \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda}} { \ pi \ mathrm {R}}} = {\ frac {2 \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda}} {\ pi}} \, {\ sqrt {\ frac {\ delta} {\ mathrm {R}} }}}
.
Uwaga
Profil ugięcia poza strefą styku łączy się z niezdeformowaną płaszczyzną poziomą, gdy odległość od środka dąży do nieskończoności:
ty=0{\ styl wyświetlania u = 0}
r{\ styl wyświetlania r}
ty(r)=1πR[(2w2-r2)arcsin(wr)+wr2-w2]{\ displaystyle u (r) = {\ frac {1} {\ pi \ mathrm {R}}} \ po lewej [(2a ^ {2} -r ^ {2}) \ arcsin \ po lewej ({\ frac {a } {r}} \ po prawej) + a {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}} \ po prawej]}![{\ displaystyle u (r) = {\ frac {1} {\ pi \ mathrm {R}}} \ po lewej [(2a ^ {2} -r ^ {2}) \ arcsin \ po lewej ({\ frac {a } {r}} \ po prawej) + a {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}} \ po prawej]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89de1f8182b5dc475c4ae5c61bed883bbcaa52f6)
, dla .
r>w{\ displaystyle r> a}
wywierana siła
Siła w ten sposób wywierana jest niczym innym jak całką profilu ciśnienia:
fa=∫p(r)2πrrer=4mi⋆wδ3=4mi⋆w33R=4mi⋆R1/2δ3/23{\ displaystyle \ mathrm {F} = \ int p (r) 2 \ pi r {\ rm {d}} r = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda} a \ delta} {3} } = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda} a ^ {3}} {3 \ mathrm {R}}} = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {3/2}} {3}}}![{\ displaystyle \ mathrm {F} = \ int p (r) 2 \ pi r {\ rm {d}} r = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda} a \ delta} {3} } = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda} a ^ {3}} {3 \ mathrm {R}}} = {\ frac {4 \ mathrm {E} ^ {\ gwiazda} \ mathrm {R} ^ {1/2} \ delta ^ {3/2}} {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d7d2e3f57b255f9d99ac9faaf5721b3ec1adfd)
.
Formularz
Kontakt dwóch sfer
Niech będą dwie sfery oznaczone 1 i 2, o odpowiednich promieniach i , oraz materiałów, których odpowiednie moduły Younga to i oraz współczynniki Poissona i .
r1{\ styl wyświetlania r_ {1}}
r2{\ styl wyświetlania r_ {2}}
mi1{\ styl wyświetlania E_ {1}}
mi2{\ styl wyświetlania E_ {2}}
ν1{\ styl wyświetlania \ nu _ {1}}
ν2{\ styl wyświetlania \ nu _ {2}}![{\ styl wyświetlania \ nu _ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20157e640b69bcfc79a73194f1e80dbb456ab254)
Strefa kontaktu to tarcza o promieniu a :
w=(3fa41mi1⋆+1mi2⋆1r1+1r2)1/3{\ displaystyle a = \ lewo ({\ Frac {3 \ matematyka {F}} {4}} {\ Frac {{\ Frac {1} {\ matematyka {E} _ {1} ^ {\ gwiazda}}} + {\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {2} ^ {\ gwiazda}}}} {{\ frac {1} {r_ {1}}} + {\ frac {1} {r_ {2 }}}}} \ po prawej) ^ {1/3}}![{\ displaystyle a = \ lewo ({\ Frac {3 \ matematyka {F}} {4}} {\ Frac {{\ Frac {1} {\ matematyka {E} _ {1} ^ {\ gwiazda}}} + {\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {2} ^ {\ gwiazda}}}} {{\ frac {1} {r_ {1}}} + {\ frac {1} {r_ {2 }}}}} \ po prawej) ^ {1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04e735ec86f4a582d8ddf5b67d768ed9ec63d61)
gdzie jest moduł Younga zrenormalizowany przez współczynnik Poissona :
mija*{\ styl wyświetlania E_ {i} ^ {*}}
νja{\ styl wyświetlania \ nu _ {i}}![\ nie _ {{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb0577728049599bceabd5ed148f426e9d44308)
mija⋆=mija1-νja2{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {i} ^ {\ gwiazda} = {\ frac {\ mathrm {E} _ {i}} {1- \ nu _ {i} ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {i} ^ {\ gwiazda} = {\ frac {\ mathrm {E} _ {i}} {1- \ nu _ {i} ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e317cf1c239f57d4f45ea9afa669f6bc41389c)
.
Zmiażdżenie kul jest warte:
δ{\ styl wyświetlania \ delta}![\delta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
δ=(9/16)1/3(fa2(1mi1⋆+1mi2⋆)2(1r1+1r2))1/3{\ displaystyle \ delta = \ po lewej ({9/16} \ po prawej) ^ {1/3} \ po lewej (\ matematyka {F} ^ {2} \ po lewej ({\ frac {1} {\ matematyka {E}) _ {1} ^ {\ gwiazda}}} + {\ frac {1} {\ matematyka {E} _ {2} ^ {\ gwiazda}}} \ po prawej) ^ {2} \ po lewej ({\ frac {1 } {r_ {1}}} + {\ frac {1} {r_ {2}}} \ po prawej) \ po prawej) ^ {1/3}}![{\ displaystyle \ delta = \ po lewej ({9/16} \ po prawej) ^ {1/3} \ po lewej (\ matematyka {F} ^ {2} \ po lewej ({\ frac {1} {\ matematyka {E}) _ {1} ^ {\ gwiazda}}} + {\ frac {1} {\ matematyka {E} _ {2} ^ {\ gwiazda}}} \ po prawej) ^ {2} \ po lewej ({\ frac {1 } {r_ {1}}} + {\ frac {1} {r_ {2}}} \ po prawej) \ po prawej) ^ {1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516d8864f78480f253fed58c15d99070c5bed680)
.
Maksymalne ciśnienie znajduje się w środku strefy i jest równe
pmaks=3fa2πw2{\ displaystyle p _ {\ max} = {\ frac {3 \ matematyka {F}} {2 \ pi a ^ {2}}}}![{\ displaystyle p _ {\ max} = {\ frac {3 \ matematyka {F}} {2 \ pi a ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d5f0104fa83c9336042df4859ff0d5dcd825e0)
.
Nazwijmy oś normalną do płaszczyzny kontaktu, której początek znajduje się pomiędzy sferami. Wzdłuż tej osi główne naprężenia zmieniają się wraz z głębokością i są równe:
z{\ styl wyświetlania z}![z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
σXja=σTakja=-pmaks((1-zwarktan(1z/w))(1+νja)-12(1+(z/w)2)){\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {X} i} = \ sigma _ {\ mathrm {Y} i} = - p _ {\ max} \ w lewo (\ w lewo (1 - {\ frac {z} {a } } \ arctan \ lewo ({\ frac {1} {z / a}} \ prawo) \ prawo) (1+ \ nu _ {i}) - {\ frac {1} {2 \ lewo (1+ ( z / a) ^ {2} \ po prawej)}} \ po prawej)}
σZ=-pmaks1+(z/w)2{\ displaystyle \ sigma _ {\ matematyka {Z}} = {\ frac {-p _ {\ max}} {1+ (z / a) ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ sigma _ {\ matematyka {Z}} = {\ frac {-p _ {\ max}} {1+ (z / a) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded4c982c267e7b844ace6a16f1dc0ab716dc135)
, identyczny dla obu sfer.
Maksymalne naprężenie ścinające wynosi
τZX=τTakZ=σX-σZ2=σTak-σZ2{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {ZX}} = \ tau _ {\ mathrm {YZ}} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {X}} - \ sigma _ {\ mathrm {Z}} } {2}} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {Y}} - \ sigma _ {\ mathrm {Z}}} {2}}}![{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {ZX}} = \ tau _ {\ mathrm {YZ}} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {X}} - \ sigma _ {\ mathrm {Z}} } {2}} = {\ frac {\ sigma _ {\ mathrm {Y}} - \ sigma _ {\ mathrm {Z}}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c898c3c89eefe144fe9f0474d946f097dfe8904)
.
Jego maksymalna wartość wynosi około
τmaks≃pmaks2{\ displaystyle \ tau _ {\ max} \ simeq {\ frac {p _ {\ max}} {2}}}![{\ displaystyle \ tau _ {\ max} \ simeq {\ frac {p _ {\ max}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfea1f242b84b1ecccd5edfe5ea3f5a845f41e8)
i znajduje się pod powierzchnią, na wymiar
z≈0,5w{\ styl wyświetlania z \ ok 0,5a}![{\ styl wyświetlania z \ ok 0,5a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7415502c093f359ca2f4a07b539ee7c87cd4178)
.
To właśnie w tym obszarze zwykle zaczyna się zmęczenie .
Uwaga
W przypadku kontaktu kula/płaszczyzna wystarczy wziąć , to znaczy . Do kontaktu kuli we wklęsłej czapce wystarczy wziąć .
r2=+∞{\ displaystyle r_ {2} = + \ infty}
1/r2=0{\ styl wyświetlania 1 / r_ {2} = 0}
r2<0{\ styl wyświetlania r_ {2} <0}
Kontakt między dwoma cylindrami o równoległych osiach
Zastosowano notacje podobne do poprzedniego przypadku.
Niech będą dwa cylindry oznaczone 1 i 2, o tej samej długości , o odpowiednich średnicach i , oraz z materiałów, których odpowiednie moduły Younga to i oraz współczynniki Poissona i . Normalna kontaktu jest osią, a osie cylindrów są równoległe do osi .
r1{\ styl wyświetlania r_ {1}}
re1{\ styl wyświetlania d_ {1}}
re2{\ styl wyświetlania d_ {2}}
mi1{\ styl wyświetlania E_ {1}}
mi2{\ styl wyświetlania E_ {2}}
ν1{\ styl wyświetlania \ nu _ {1}}
ν2{\ styl wyświetlania \ nu _ {2}}
z{\ styl wyświetlania z}
tak{\ styl wyświetlania y}![tak](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
Powierzchnia styku to prostokąt o długości i szerokości :
L{\ styl wyświetlania L}
2b{\ styl wyświetlania 2b}![2b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da45af0250645a54cab2ef45483c4399e4a40df)
b=(2faπL1mi1⋆+1mi2⋆1re1+1re2)1/2{\ displaystyle b = \ lewo ({\ frac {2 \ mathrm {F}} {\ pi \ mathrm {L}}} {\ frac {{\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {1} ^ {\ gwiazda}}} + {\ frac {1} {\ matematyka {E} _ {2} ^ {\ gwiazda}}}} {{\ frac {1} {d_ {1}}} + {\ frac { 1} {d_ {2}}}}} \ po prawej) ^ {1/2}}![{\ displaystyle b = \ lewo ({\ frac {2 \ mathrm {F}} {\ pi \ mathrm {L}}} {\ frac {{\ frac {1} {\ mathrm {E} _ {1} ^ {\ gwiazda}}} + {\ frac {1} {\ matematyka {E} _ {2} ^ {\ gwiazda}}}} {{\ frac {1} {d_ {1}}} + {\ frac { 1} {d_ {2}}}}} \ po prawej) ^ {1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb2de03a174d47136472700cc4b6498b6dcf9db)
.
Maksymalne ciśnienie znajduje się na linii równoległej do osi cylindrów i znajduje się w środku strefy i jest równe
pmaks=2faπbL{\ displaystyle p _ {\ max} = {\ frac {2 \ mathrm {F}} {\ pi b \ mathrm {L}}}}![{\ displaystyle p _ {\ max} = {\ frac {2 \ mathrm {F}} {\ pi b \ mathrm {L}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18935223a5f6e7e23bd59e2284da2e42031af4b3)
.
Główne naprężenia wzdłuż normalnego przejścia przez tę linię są warte:
σX=-pmaks((2-11+(z/b)2)1+(z/b)2-2z/b){\ displaystyle \ sigma _ {\ matematyka {X}} = - p _ {\ max} \ lewo (\ lewo (2 - {\ frac {1} {1+ (z / b) ^ {2}}} \ po prawej ) {\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}} - 2z / b \ po prawej)}![{\ displaystyle \ sigma _ {\ matematyka {X}} = - p _ {\ max} \ lewo (\ lewo (2 - {\ frac {1} {1+ (z / b) ^ {2}}} \ po prawej ) {\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}} - 2z / b \ po prawej)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7146ce0ccc448bf141fda7a77b4768bcec8cb45)
, identyczne dla obu cylindrów
σTakja=-2νjapmaks(1+(z/b)2-z/b){\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {Y} i} = - 2 \ nu _ {i} p _ {\ max} \ lewo ({\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}} - z / b \ prawo)}
σZ=-pmaks1+(z/b)2{\ displaystyle \ sigma _ {\ matematyka {Z}} = {\ frac {-p _ {\ max}} {\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}}}}![{\ displaystyle \ sigma _ {\ matematyka {Z}} = {\ frac {-p _ {\ max}} {\ sqrt {1+ (z / b) ^ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcf1793312e3baa50e8770784902ba88a0e4e2d)
, identyczne dla obu cylindrów.
Maksymalne naprężenie ścinające wynosi τ ZX , jego maksymalna wartość wynosi w przybliżeniu
τmwx≈0,3×pmwx{\ displaystyle \ tau _ {max} \ ok 0,3 \ razy p_ {max}}![{\ displaystyle \ tau _ {max} \ ok 0,3 \ razy p_ {max}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f546629df5444d473824094227362b9c50b44cf8)
i znajduje się pod powierzchnią, na wymiar
z≈0,78b{\ styl wyświetlania z \ około 0,78b}![{\ styl wyświetlania z \ około 0,78b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8eebd908fbdf10d55f19a032633b6d7aad9a7fc)
.Uwaga
W przypadku kontaktu cylinder/samolot wystarczy wziąć . W przypadku styku cylindra w wydrążonym cylindrze (na przykład w łożysku ślizgowym) wystarczy wziąć .
re2=+∞{\ displaystyle d_ {2} = + \ infty}
re2<0{\ styl wyświetlania d_ {2} <0}
Uwagi i referencje
-
(w) KL Johnson, Contact mechanics , Cambridge University Press,1985, 452 s. ( ISBN 9780521347969 ) , s. 90
-
(De) Heinrich Hertz, „ Über die Berührung fester elastischer Körper (O styku ciał elastycznych) ” , J. für Reine und angewandte Mathematik , tom. 92,1881, s. 156-171 ( czytaj online )
-
W celu kontekstualizacji tej niezwykłej pracy dla ucznia w wieku zaledwie 23 lat, zauważmy jednak, że Joseph Boussinesq, dwa lata wcześniej, opublikował rozwiązania kilku konkretnych przypadków tego problemu, rozwiązania zawarte w jego Teorii potencjałów.
Zobacz również
Oprogramowanie
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">