W materiałoznawstwie , aw szczególności w mechanice ośrodków ciągłych i wytrzymałości materiałów , naprężeniami głównymi (σ I , σ II , σ III ) są naprężenia wyrażone w takiej podstawie , że tensor naprężeń jest matrycą diagonalną . Ta podstawa jest ortonormalna (patrz macierz symetryczna, § rozkład widmowy ).
Stan naprężenia elementu materii można przedstawić za pomocą tensora, czyli tensora naprężenia. W danej bazie przestrzeni ten tensor jest reprezentowany przez macierz 3 × 3:
.Jeśli tensor naprężenia opisuje stan równowagi, to macierz jest symetryczna ; jest ponadto z rzeczywistymi współczynnikami .
Zgodnie z twierdzeniem spektralnym o skończonych wymiarach macierz ta jest diagonalizowalna ; istnieje podstawa ortonormalna, dla której ta macierz jest macierzą diagonalną :
.Kierunki nazywane są głównymi kierunkami .
Umownie przyjmuje się, że σ I ≥ σ II ≥ σ III .
Naprężenie σ I odpowiada naprężeniu maksymalne rozciąganie. Jeśli σ III <0, to σ III odpowiada maksymalnemu naprężeniu ściskającemu. Maksymalne naprężenie ścinające, które zostało zachowane dla kryterium Tresca , odpowiada
.Jeśli nie narzucimy kolejności malejących ograniczeń, to
.Te obecne kierunki naprężeń głównych, to znaczy krzywe, które są styczna do głównych wektorów naprężeń w dowolnym punkcie, są nazywane izostatyczne linii . Umożliwiają one wizualizację rozkładu sił wewnętrznych w materiale.
Wynik - Maksymalne naprężenie główne odpowiada maksymalnemu naprężeniu rozciągającemu.
Jeśli minimalne naprężenie główne jest ujemne, odpowiada ono maksymalnemu naprężeniu ściskającemu.
Wartość maksymalnego naprężenia ścinającego:
.Jest to ważne, gdy chcemy zbadać ryzyko pęknięcia. Rzeczywiście, zastosowanie równoważnego naprężenia skalarnego, takiego jak naprężenie von Misesa lub naprężenie Tresca , nie wskazuje, czy obszar jest poddawany rozciąganiu, ściskaniu i / lub ścinaniu. Jednak naprężenia typu ściskania są mniej niebezpieczne, ponieważ mają tendencję do zamykania pęknięć .
Można określić główne kierunki i naprężenia:
Wartości własne λ weryfikują równanie
det (T - λI) = 0gdzie T jest tensorem naprężeń, a ja macierzą tożsamości. Możemy przepisać to równanie z niezmiennikami tensora naprężenia :
λ 3 - I 1 λ 2 + I 2 λ - I 3 = 0.Narzucamy σ I > σ II > σ III .
Zauważ, że zgodnie z definicją pierwiastka wielomianu mamy
(λ - σ I ) (λ - σ II ) (λ - σ III ) = 0Rozważmy sześcian, którego ściany są prostopadłe do głównych kierunków. Naprężenia σ I , σ II i σ III są naprężeniami normalnymi do ścian tego sześcianu; naprężenia styczne wynoszą zero.
Rozważmy teraz ośmiościan, którego wierzchołki są środkami ścian sześcianu. Dla każdej twarzy mamy:
Te ograniczenia nazywane są ograniczeniami oktaedrycznymi .
Naprężenia normalne i styczne na ośmiu ścianach ośmiokąta są identyczne i są warte:
; .Zauważ, że w porównaniu z ciśnieniem izostatycznym P i równoważnym naprężeniem von Misesa σ e otrzymujemy:
; .Termin „oktaedryczny stres normalny” jest czasami używany jako synonim „ciśnienia izostatycznego”.
Normalne naprężenie ośmiościanu σ oct ma tendencję do zmiany objętości ośmiościanu bez jego wypaczania (bez zmiany kątów). I odwrotnie, cisja oktaedryczna ma tendencję do zniekształcania ośmiościanu bez zmiany jego objętości; Dlatego logicznie znajdujemy związek z ograniczeniem von Misesa.
W przypadku naprężenia jednoosiowego dwa główne naprężenia wynoszą zero. Wybieramy umownie σ I ≠ 0; x I jest osią naprężenia, mamy | σ I | = F / S (naprężenie nominalne), σ II = σ III = 0. W ten sposób zapisujemy tensor naprężeń głównych
W przypadku kompresji jednoosiowej mamy σ I <0, a więc σ I <σ II i σ I <σ III wbrew pierwotnej konwencji. We wszystkich przypadkach mamy τ max = ½ | σ I |.
W przypadku naprężeń płaskich jedno z głównych naprężeń jest zerowe. Dowolnie wybieramy σ III = 0; wtedy możemy mieć σ II <0, a zatem σ II <σ III , w przeciwieństwie do poprzedniej konwencji. We wszystkich przypadkach mamy τ max = ½ | σ I - σ II |.
W ten sposób zapisywany jest tensor głównych naprężeń
W przypadku ciśnienia izostatycznego P mamy σ I = σ II = σ III = P.Tensor naprężeń głównych jest zapisany
i τ max = 0.
W tej bazie danych prawa są wyrażone w prostszy sposób. W szczególności główne naprężenia pozwalają na ustalenie kryterium plastyczności lub ruiny , na przykład poprzez uwzględnienie maksymalnego pęknięcia ( kryterium Tresca ). Znajomość głównych kierunków pozwala