C * -algebra

W matematyce , A C * -algebra (kompleks) jest involutive Algebra Banacha , to znaczy całkowitą znormalizowaną przestrzeń wektorową, w stosunku do pola z kompleksów , wyposażony w zauważyć inwolucji i strukturę złożoną Algebra . Nazywa się to również algebrą gwiazd . W C * -algebras są ważnymi narzędziami geometrii non-przemiennej . Pojęcie to zostało sformalizowane w 1943 roku przez Israela Gelfanda i Irvinga Segala . $*$

Algebry gwiazdowe odgrywają kluczową rolę w badaniu jednolitych reprezentacji lokalnie zwartych grup.

Definicja

Gwiezdna algebra A jest złożoną algebrą Banacha:

wyposażony w inwolucję ${\ displaystyle *: A \ rightarrow A: x \ mapsto x ^ {*}}$ ${\ Displaystyle (x + \ lambda y) ^ {*} = x ^ {*} + {\ bar {\ lambda}} y ^ {*}; (xy) ^ {*} = y ^ {*} x ^ {*}; (x ^ {*}) ^ {*} = x}$ dla wszystkich $x , y$ w A i wszystkich zespolonych $λ$ ;
tak, że norma i inwolucja są połączone ${\ Displaystyle \ | xx ^ {*} \ | = \ | x \ | ^ {2}}$ dla każdego $x$ w A .

Zgodnie z drugim warunkiem ${\ Displaystyle \ | xx ^ {*} \ | = \ | x \ | ^ {2} \ równoważnik \ | x \ | \ | x ^ {*} \ |}$ i dlatego przez symetrię otrzymujemy:

{\ Displaystyle \ | x \ | = \ | x ^ {*} \ |.}

A * -homorfizm jest morfizmem algebr inwolutujących . W szczególności sprawdza

{\ Displaystyle f (x ^ {*}) = f (x) ^ {*}.}

Ta definicja - jakkolwiek czysto algebraiczna - implikuje, że $f$ jest automatycznie ciągłe, a nawet 1- lipschitzowskie : patrz poniżej . Jeśli $f$ jest iniekcyjne, to jest izometrią. Jeśli $f$ jest bijektywne, jej odwrotność jest * -homorfizmem; w takim przypadku $f$ nazywa się * -izomorfizmem .

Przykłady

Jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią , algebra inwolutywna C 0 ( X ) funkcji ciągłych z X w ℂ, które dążą do zera w nieskończoności, wyposażona w jednorodną normę zbieżności , jest przemienną C * -algebrą. Kiedy X jest zwarte , C 0 ( X ) jest więc po prostu (unitarną) algebrą funkcji ciągłych od X do ℂ. Gdy X nie jest zwarty, C 0 ( X ) nie ma jednostki, a jedynie jednostkę przybliżoną , której istnienie wynika z twierdzenia Tietze-Urysohna .
Jeśli H oznacza przestrzeń Hilberta , każda zamknięta podalgebra dla normy operatora algebry ograniczonych operatorów nad H jest C * -algebrą, nieprzemienną a priori .

Widmo elementów C * -algebry

Podobnie jak w przypadku operatorów w przestrzeni Hilberta, możemy zdefiniować widmo elementów C * -algebry. Widmo $x$ jest zbiorem jego wartości widmowych :

{\ Displaystyle \ sigma (x) = \ {\ lambda \ in \ mathbb {C} \ mid x- \ lambda 1 ~ {\ tekst {nie jest odwracalny}} \}}

Ta definicja zakłada, że algebra zawierająca $x$ ma jednostkę. Jeśli jednak tak nie jest, zawsze możemy zdefiniować widmo, dodając jednostkę do algebry .

Dla każdego normalnego elementu $x$ w C * -algebrze (w przeciwieństwie do Banacha * -algebr), norma $x$ jest równa jego promieniu widmowemu :

{\ Displaystyle \ | x \ | = \ sup \ {| \ lambda | \ mid \ lambda \ in \ sigma (x) \}.}

Dotyczy to w szczególności dowolnego autozłącza x , na przykład x = yy *, którego normą jest kwadrat z y . W ten sposób struktura algebraiczna określa normę (a tym samym topologię). To właśnie ta właściwość sprawia, że * -morfizmy (odpowiednio iniekcyjne) są automatycznie ciągłe (odpowiednio izometryczne).

Klasyfikacja przemiennych C * -algebr

Przemienna C * -algebra A jest izometrycznie izomorficzna do C 0 ( X ), gdzie X jest lokalnie zwarty, a nawet zwarty, jeśli A ma jednostkę. Izomorfizmu jest wykonana za pośrednictwem Gelfand przekształcać, a poprzez badanie bohaterów algebry A .

Ciągłe obliczenia funkcjonalne

Jeśli x jest normalnym elementem C * -algebry A (tj. Dojazdem do jego dodatku), to istnieje izometryczny * -izomorfizm między algebrą funkcji ciągłych w widmie σ ( x ) x i pod-C * -algebra z generowane przez X i 1. innymi słowy, dla każdej F kontynuuje Ď ( x ) można określić , f ( x ) w unikalny sposób, jak element . Ten rachunek funkcyjny rozszerza wielomianowy rachunek funkcyjny, a σ ( f ( x )) = f (σ ( x )) (twierdzenie spektralne).

Konstrukcja GNS

Gelfandowi , Naimarkowi i Segalowi zawdzięczamy konstrukcję (en) izomorfizmu (lub wiernego odwzorowania) między jakąkolwiek C * -algebrą i zamkniętą podalgebrę algebry operatorów na pewnej przestrzeni Hilberta (którą budujemy jednocześnie czas jako izomorfizm). Teorię C * -algebr można zatem sprowadzić do teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta.

Uwagi

Fakt, że przemienne C * -algebry są algebrami funkcji, pozwala myśleć o teorii C * -algebr jako teorii funkcji nieprzemiennych. Ale ponieważ badanie funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni jest równoważne badaniu topologii tej przestrzeni (według twierdzenia Banacha-Stone'a), badaniom nad C * -algebrami łatwiej nadajemy nazwę topologii nieprzemiennej (w) .

Uwagi i odniesienia

Jacques Dixmier , Les C * -algebras i ich reprezentacje , Gauthier-Villars , 1964, reed. J. Gabay, 1996 ( ISBN 978-2-87647-013-2 ) , s. 7 .
E. Fricain, „ Analiza funkcjonalna i teoria operatorów ” , na Université Lille-I , 2009-2010 .

Bruce Blackadar, 2006, Algebry operatorów: teoria C * -algebr i algebr von Neumanna, Springer Verlag
Kenneth R. Davidson, 1996, C * -algebras by example, Fields Institute Monographs

Zobacz też

Powiązane artykuły

Reprezentacja Gelfand (w)
Ciągły rachunek funkcjonalny (en)
Widmo C * -algebry (en)
C * -algebra w przybliżeniu skończona (w)
Analiza funkcjonalna : Badanie C * -algebr, w szczególności w aspekcie spektralnym, jest gałęzią analizy funkcjonalnej.
Algebra operatorów : Badanie C * -algebr można zredukować, dzięki konstrukcji GNS, do analizy operatorów w przestrzeni Hilberta.
Teoria K: Narzędzia teorii K , opracowane po raz pierwszy do badania wiązek, można zaadaptować do badania C * -algebr. W pewnym sensie otrzymujemy nieprzemienną topologię algebraiczną.
Geometria nieprzemienna : to pole poszukuje analogii do pojęć geometrii różniczkowej (powiązania, kohomologia…) w nieprzemiennych ramach algebr operatorowych.
Twierdzenie Russo-Dye (en)
Algebra Calkina

Linki zewnętrzne

(en) Pierre de la Harpe i Vaughan Jones , Wprowadzenie do C * -algebr [ czytaj online ]
(en) William Arveson (en) , An Invitation to C * -algebras , Springer, pot. " GTM " ( N O 39)1976, 108 str. ( ISBN 978-0-387-90176-3 , prezentacja online )