Równanie eikonalne

W optyki geometrycznej The eikonal lub charakterystyczny równanie jest podstawowym równaniem regulujące ścieżkę światła w podłożu. Pozwala zademonstrować wszystkie inne prawa, takie jak prawa Snella-Kartezjusza , oraz wyznaczyć trajektorie promieni świetlnych .

Postępująca fala elektromagnetyczna w niejednorodnym ośrodku

Stanowisko problemu

W izotropowym , ale niejednorodnym lokalnym ośrodku liniowym składowe widmowe pól są podane przez równania Maxwella  ; bez wolnych źródeł wszystkie pola można zapisać w takiej samej formie jak pole elektryczne  :

mi→(r→,t)=mio→(r→)exp⁡(-ja(ωt-koS(r→))){\ Displaystyle {\ vec {E}} \ lewo ({\ vec {r}}, t \ prawej) = {\ vec {E_ {o}}} \ lewo ({\ vec {r}} \ prawo) \ exp \ left (-i \ left (\ omega t-k_ {o} \, S ({\ vec {r}}) \ right) \ right)}

gdzie . ko=ωvs{\ displaystyle k_ {o} = {\ tfrac {\ omega} {c}}}

Dla danego pola monochromatycznego istnieje nieskończona liczba możliwych par . Odtąd brana jest pod uwagę tylko taka, w której zmiana jest najmniejsza na skali długości fali  ; Odpowiednia funkcja nazywana jest funkcją eikonal (lub ikoniczną) i można zauważyć, że powierzchnie o stałej odpowiadają powierzchniom fal. (mio→,S){\ displaystyle ({\ vec {E_ {o}}}, S)}mio→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}λo{\ displaystyle \ lambda _ {o}}S{\ displaystyle S}S(r→){\ Displaystyle S ({\ vec {r}})}

Podstawowe przybliżenie optyki geometrycznej

Podstawowe przybliżenie optyki geometrycznej polega na rozważeniu, że względne zmiany amplitud, a także stałych i ośrodka są bardzo słabe w skali długości fali: εr{\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}μr{\ displaystyle \ mu _ {r}}

λo=2πko{\ Displaystyle \ lambda _ {o} = {\ Frac {2 \ pi} {k_ {o}}}}.

Analiza rzędów wielkości pokazuje, że w każdym pierwszym elemencie równań Maxwella termin obejmujący jest przeważający, a drugi nieistotny. Rzeczywiście mamy kosolrwreS{\ Displaystyle k_ {o} \, \ mathrm {grad} \, S}

∂jami→(r→,t)=(∂jami→0+jami→0k0∂jaS)mi-ja(ωt-k0S(r→)){\ Displaystyle \ częściowe _ {i} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = (\ częściowe _ {i} {\ vec {E}} _ {0} + ja {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} \ częściowy _ {i} S) e ^ {- i (\ omega t-k_ {0} S ({\ vec {r}}))}} ∂ja2mi→(r→,t)=(∂ja2mi→0+2ja∂jami→0k0∂jaS+jami→0k0∂ja2S-mi→0k02(∂jaS)2)mi-ja(ωt-k0S(r→)){\ Displaystyle \ częściowe _ {i} ^ {2} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = (\ częściowe _ {i} ^ {2} {\ vec {E}} _ {0} + 2i \ częściowe _ {i} {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} \ częściowe _ {i} S + i {\ vec {E}} _ {0} k_ {0 } \ częściowe _ {i} ^ {2} S - {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} ^ {2} (\ częściowe _ {i} S) ^ {2}) e ​​^ {- i (\ omega t-k_ {0} S ({\ vec {r}}))}} ∂t2mi→(r→,t)=-ω2mi→0(r→)mi-ja(ωt-k0S(r→)){\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {2} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = - \ omega ^ {2} {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {r}}) e ^ {- i (\ omega t-k_ {0} S ({\ vec {r}}))}}

Co daje, po wstrzyknięciu do równania propagacji dla liniowego, jednorodnego i izotropowego ośrodka materiałowego

Δmi→-εr1vs2∂2mi→∂t2=0→{\ displaystyle \ delta {\ vec {E}} - \ varepsilon _ {r} {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ częściowy ^ {2} {\ vec {E}} } {\ częściowe t ^ {2}}} = {\ vec {0}}}

równanie

Δmi→0+2jak0(∇→S.∇→)mi→0+jami→0k0ΔS-mi→0k02(∇→S)2+εrvs2ω2mi→0(r→)=0→{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} _ {0} + 2ik_ {0} ({\ vec {\ nabla}} S. {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {E}} _ { 0} + i {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} \ Delta S - {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} ^ {2} ({\ vec {\ nabla} } S) ^ {2} + {\ frac {\ varepsilon _ {r}} {c ^ {2}}} \ omega ^ {2} {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {r }}) = {\ vec {0}}}

gdzie możemy oddzielić część rzeczywistą i urojoną oraz użyć i otrzymać dwa równania λo=2πko{\ Displaystyle \ lambda _ {o} = {\ Frac {2 \ pi} {k_ {o}}}}k0=ωvs{\ Displaystyle k_ {0} = {\ Frac {\ omega} {c}}}

λ2Δmi→0-mi→0(∇→S)2+εrmi→0(r→)=0→{\ Displaystyle \ lambda ^ {2} \ Delta {\ vec {E}} _ {0} - {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {\ nabla}} S) ^ {2} + \ varepsilon _ {r} {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {r}}) = {\ vec {0}}} 2(∇→S.∇→)mi→0+mi→0k0ΔS=0→{\ Displaystyle 2 ({\ vec {\ nabla}} S. {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {E}} _ {0} + {\ vec {E}} _ {0} k_ {0 } \ Delta S = {\ vec {0}}}

teraz przybliżenie optyki geometrycznej polega na rozważeniu, że zmiany ośrodka, a tym samym amplitudy pola są słabe w skali długości fali, co oznacza, że ​​pojęcie to jest pomijalne, odjęliśmy λ2Δmi→0{\ Displaystyle \ lambda ^ {2} \ Delta {\ vec {E}} _ {0}}

(grad→S)2=εr=nie2{\ Displaystyle \ lewo ({\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} S \ prawej) ^ {2} = \ varepsilon _ {r} = n ^ {2}}

czyli relacja zwana równaniem eikonal, która jest nadal zapisywana

grad→S=nieu→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} S = n \, {\ vec {u}}}

gdzie oznacza wektor jednostkowy . u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}VS3{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}

Następnie łatwo wywnioskować strukturę tej fali monochromatycznej, zwanej falą optyki geometrycznej  : pola są poprzeczne:

bo→=grad→S×mio→vs{\ displaystyle {\ vec {B_ {o}}} = {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \, S \ times {\ frac {\ vec {E_ {o}}} {c}}}

To równanie nie obejmuje ani jednoznacznie pozwalania na dotarcie do ścieżki optycznej . mio→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}ω{\ displaystyle \ omega}

Lokalna struktura tej fali jest podobna do progresywnej fali płaskiej, ponieważ w skali długości fali zapisana jest jej faza

φ=koS(r→)=ko[S(ro→)+grad→S⋅(r→-ro→)]≡koS(ro→)+niekou→⋅(r→-ro→){\ Displaystyle \ varphi = k_ {o} \, S ({\ vec {r}}) = k_ {o} \ lewo [S ({\ vec {r_ {o}}}) + {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \, S \ cdot \ left ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {o}}} \ right) \ right] \ equiv k_ {o} \, S ({\ vec {r_ {o}}}) + nk_ {o} {\ vec {u}} \ cdot \ left ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {o}}} \ right)}

Jest

φ≡k→⋅r→+φo{\ Displaystyle \ varphi \ equiv {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} + \ varphi _ {o}}

stąd wynika prostota fali optyki geometrycznej, a wykonywane operacje matematyczne są takie same, jak w przypadku progresywnych monochromatycznych fal płaskich.

Uwagi:

• równanie eikonalne pozostaje ważne w ośrodkach anizotropowych, oznaczając falę normalną w punkcie i jest jednym z dwóch możliwych wskaźników w tym punkcie, biorąc pod uwagę kierunek .u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}nie{\ displaystyle n}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
• pole elektryczne jest następnie zapisywane ogólnie za pomocąmi→(r→,t)=W→exp⁡(ja(k→⋅r→-ω0t)){\ Displaystyle {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = {\ vec {A}} \ exp \ lewo (ja ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r }} - \ omega _ {0} t) \ right)}W→=mi0→exp⁡(jaφ0).{\ displaystyle {\ vec {A}} = {\ vec {E_ {0}}} \ exp (i \ varphi _ {0}).}

Rozchodzenie się energii - pojęcie promienia świetlnego

Ze względów eksperymentalnych w optyce interesuje nas tylko średni przepływ energii, obliczony za pomocą średniego wektora Poyntinga . Promienie świetlne definiuje się jako linie pola , czyli średnie bieżące linie energii elektromagnetycznej. Jeśli , lub jeśli jest rzeczywista, ale czysto urojona, mówimy, że fala jest niejednorodna (lub zanikająca, jeśli  ; w tym przypadku nie jest równoległa ani do , ani do miejsca , ani do płaszczyzny z - ale dla ustalonego kierunku zależy również od . dlatego polaryzacja fali jest niejednorodna, jednak jeśli jest rzeczywista w dowolnym miejscu, mówi się, że fala jest jednorodna, a następnie jest równoległa do , niezależnie od cudu optyki geometrycznej: promienie świecące są liniami pola (lub ) i nie zależą od charakterystyki fal ( i ). W pozostałych przypadkach uznamy, że jest to rzeczywiste wszędzie; pokazujemy, że można to osiągnąć tylko wtedy, gdy n < jest rzeczywiste w każdym przypadku. ⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}u→∈VS3∖R3{\ Displaystyle {\ vec {u}} \ in \ mathbb {C} ^ {3} \ smallsetminus \ mathbb {R} ^ {3}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}nie{\ displaystyle n}nie2∈R{\ Displaystyle n ^ {2} \ in \ mathbb {R}}⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}u′→=Re⁡(u→){\ displaystyle {\ vec {u '}} = \ operatorname {Re} \ lewo ({\ vec {u}} \ prawo)}v′→=Re⁡(v→){\ displaystyle {\ vec {v '}} = \ operatorname {Re} \ lewo ({\ vec {v}} \ prawej)}v→=nieu→{\ displaystyle {\ vec {vb}} = n \, {\ vec {u}}}(u→,w→){\ Displaystyle \ lewo ({\ vec {u}}, {\ vec {w}} \ prawej)}w→=Im⁡(u→){\ displaystyle {\ vec {w}} = \ operatorname {im} \ lewo ({\ vec {u}} \ prawo)}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}mio→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}mio→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}mio→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}ω{\ displaystyle \ omega}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

Równanie promieni świetlnych

Promień jest parametryzowany przez krzywoliniową odciętą , dlatego punkt promienia jest reprezentowany przez wektor . Z definicji jest styczna do promienia: s{\ displaystyle s}r→(s){\ displaystyle {\ vec {r}} (s)}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

rer→res=u→=∇→Snie{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {r}}} {ds}} = {\ vec {u}} = {\ frac {{\ vec {\ nabla}} S} {n}}}

Wyprowadzamy ogólne równanie promienia świetlnego w ośrodku o indeksie  : nie(r→){\ Displaystyle n ({\ vec {r}})}

reres(nierer→res)=∇→nie{\ Displaystyle {\ Frac {d} {ds}} \ lewo (n {\ Frac {d {\ vec {r}}} {ds}} \ prawej) = {\ vec {\ nabla}} n} Demonstracja

reres(niererjares)=reres(∂S∂rja) =∑jotrerjotres⋅∂∂rjot(∂S∂rja) =∑jot1nie∂S∂rjot⋅∂∂rja(∂S∂rjot) =1nie∑jot12∂∂rja(∂S∂rjot)2 =12nie∂∂rja∑jot(∂S∂rjot)2 =12nie∂nie2∂rja =∂nie∂rja{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d} {ds}} \ lewo (n {\ Frac {dr_ {i}} {ds}} \ prawej) & = {\ Frac {d} {ds} } \ left ({\ frac {\ części S} {\ części r_ {i}}} \ right) \\\ & = \ sum _ {j} {\ frac {dr_ {j}} {ds}} \ cdot {\ frac {\ części} {\ częściowy r_ {j}}} \ left ({\ frac {\ częściowy S} {\ częściowy r_ {i}}} \ right) \\\ & = \ sum _ {j} {\ frac {1} {n}} {\ frac {\ części S} {\ części r_ {j}}} \ cdot {\ frac {\ części} {\ części r_ {i}}} \ left ({\ frac {\ części S} {\ części r_ {j}}} \ right) \\\ & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j} {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ części} {\ części r_ {i}}} \ left ({\ frac {\ części S} {\ części r_ {j}}} \ right) ^ {2} \\\ & = {\ frac {1} {2n}} {\ frac {\ części} {\ częściowy r_ {i}}} \ sum _ {j} \ left ({\ frac {\ części S} {\ częściowy r_ {j}}} \ right) ^ {2} \\\ & = {\ frac {1} {2n}} {\ frac {\ part n ^ {2}} {\ part r_ {i}}} \\\ & = {\ frac {\ częściowe n} {\ częściowe r_ {i}}} \ end {aligned}}}

Równanie to umożliwia opisanie drogi, jaką pokonuje światło w jednorodnym ośrodku (linia prosta), ale także na przykład podczas miraża lub w światłowodzie . Po przekroczeniu dioptrii , odbiega, to wówczas konieczne do korzystania z prawa Snell-Kartezjusza . ∇→nie{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} n}

Własność promieni świetlnych

Zasada Fermata (1650)

Z równania eikonal można łatwo wykazać, że ścieżka optyczna między dwoma punktami i ustalona jest minimalna w przypadku, gdy w dowolnym punkcie występuje tylko jedna fala geometrii optycznej (a zatem jeden powiązany dział ...). W bardziej ogólnym przypadku, w którym promienie różnych fal mogą się przecinać, jest tylko stacjonarny (można to udowodnić za pomocą równań Lagrange'a). Uczeń Euklidesa odgadł już tę zasadę w bardzo szczególnym przypadku: odbicia w lustrze płaskim. L{\ displaystyle L}W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}L{\ displaystyle L}

Natychmiastowe konsekwencje

• Prostoliniowa propagacja światła: w prostych przypadkach, gdy dioptrie lub zwierciadła oddzielone są jednorodnymi mediami, promienie będą zatem składać się z linii przerywanych w punktach znajdujących się na tych dioptriach (lub zwierciadłach), co oznacza, że ​​stacjonarność nie będzie poszukiwana tylko na ta ograniczona klasa krzywych; możemy wtedy znaleźć przypadki, w których dla promienia jest maksimum w tej klasie lub tylko stacjonarne, lub minimum - ale na zbiorze wszystkich krzywych przechodzących od do ustalonych, nigdy nie może być maksymalne (bezwzględne) dla promieni.L{\ displaystyle L}L{\ displaystyle L}W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}L{\ displaystyle L}
• Prawo odwrotnego powrotu ... ale przykład częściowego odbicia jasno pokazuje, że zasada Fermata tylko wskazuje, jakie są różne możliwe ścieżki światła, bez precyzowania, jak rozkłada się strumień świetlny między nimi!

Prawa Snell-Descartes (Harriot, 1598)

Dowód (znajdując ekstremum lub ciągłość składowej stycznej samochodu ) natychmiast prowadzi do konstrukcji Kartezjusza. L=nie1Wja+nie2jab{\ displaystyle L = n_ {1} AI + n_ {2} IB}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}beknięcie→v→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ vec {v}} = {\ vec {0}}}

Uwagi i odniesienia

1. JP Pérez, Optyka. Fundamentals and Applications , 5 th  Edition, Masson, Paryż, 1996, strona 169.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">