Równanie burgerów

Równanie hamburgery to równanie różniczkowe cząstkowe wynikające z mechaniki płynów . Występuje w różnych dziedzinach matematyki stosowanej , takich jak modelowanie dynamiki gazów, akustyka czy ruch drogowy. Swoją nazwę zawdzięcza Johannesowi Martinusowi Burgersowi, który omówił ją w 1948 roku. Pojawia się we wcześniejszej pracy Andrew Russela Forsytha i Harry'ego Batemana .

Sformułowanie

Przez oznaczający $u$ o prędkości i $v$ współczynnik kinematycznej lepkości , ogólna postać równania Burgers jest:

{\ frac {\ Part u} {\ Part t}} + u {\ frac {\ Part u} {\ Part x}} = \ nu {\ frac {\ Partial ^ {2} u} {\ Partial x ^ {2}}}

Gdy $ν = 0$ , równanie Burgersa staje się równaniem Burgersa bez lepkości:

{\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} + u {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe x}} = 0

Jakobian macierz tego równania redukuje się do skalarna $u$ rzeczywistą wartością. Jest to zatem hiperboliczne równanie różniczkowe cząstkowe . Może zatem obejmować nieciągłości ( fale uderzeniowe ).

Konserwatywna postać tego równania to:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} + {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} \ lewo (u ^ {2} \ right) = 0}

Równanie bez lepkości

Regularne rozwiązanie

Przy sposobie charakterystykę

Szukamy linii charakterystycznej $[ x ( s ), t ( s )],$ wzdłuż której równanie Burgersa sprowadza się do zwykłego równania różniczkowego. Obliczmy pochodną $v$ wzdłuż takiej krzywej:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ mathrm {d} u [x (s), t (s)]} {\ mathrm {d} s}} & = 0 \\ [1em] & = & {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} {\ frac {\ części u} {\ częściowy t}} + {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} s}} {\ frac {\ częściowy u} {\ częściowy x}} \ end {aligned}}}

Identyfikujemy równanie Burgersa wykonując (zakładamy $t (0) = 0$ ):

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} = 1 \ qquad \ Rightarrow \ qquad t (s) = s}

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} s}} = u \ qquad \ Rightarrow \ qquad x (s) = x_ {0} + nas = x_ {0} + ut}

Charakterystyki na płaszczyźnie $( x , t )$ są prostymi liniami nachylenia $ν,$ wzdłuż których rozwiązanie jest stałe.

Wartość w punkcie $( x c , t c )$ uzyskuje się przez „wznoszenie” charakterystyki do jej początku $x 0 = x c - ut c$ . Ta wartość to $u = u ( x 0 )$ .

Metoda wykorzystująca ansatz

Ogólne rozwiązanie możemy podać w formie

{\ Displaystyle u (x, t) = f (w)}

gdzie $f$ jest dowolną funkcją zmiennej $w = x - ut$ .

Zauważamy ${\ displaystyle f '= {\ Frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} w}}}$

Jeśli przejdziemy do równania Burgersa, otrzymamy:

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} + u {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe x}} \ w prawo) \ lewo (1 + tf '\ po prawej) = 0}

$f$ jest więc rozwiązaniem, chyba że znika drugi człon równania.

Pochodną $u jest$ napisane:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} = {\ Frac {f '} {1 + tf'}}}

Funkcja $u$ staje się osobliwa dla $1 + tf ' = 0$ , punkt przecięcia cech. Poza regularnym rozwiązaniem równania nie ma już fizycznego znaczenia, ponieważ rozwiązanie jest wielowartościowe.

Konserwatywna kwota

Całkuj równanie w formie zachowawczej od $a$ do $b$ :

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {a} ^ {b} u \ mathrm {d} x = {\ Frac {u_ {a} ^ { 2}} {2}} - {\ frac {u_ {b} ^ {2}} {2}} \; \; \; \ dla wszystkich a, b}

Jeśli $u$ znika w dwóch skończonych (problem okresowy) lub nieskończonych granicach, to:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {a} ^ {b} u \ mathrm {d} x = 0}

W systemie zamkniętym ilość jest utrzymywana w czasie. ${\ displaystyle \ int u \ mathrm {d} x}$

Nieciągłość

Dla układu równań hiperbolicznych zapisanych w postaci

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} + {\ Frac {\ częściowe g (u)} {\ częściowe x}} = 0}

prędkość propagacji wstrząsu określa równanie Rankine-Hugoniot

{\ displaystyle c = {\ frac {\ delta g} {\ delta u}}}

W naszym przypadku , gdzie ${\ displaystyle g = {\ frac {u ^ {2}} {2}}}$

{\ Displaystyle c = {\ Frac {{\ Frac {u_ {G} ^ {2}} {2}} - {\ Frac {u_ {D} ^ {2}} {2}}} {u_ {G} -u_ {D}}} = {\ frac {u_ {G} + u_ {D}} {2}}}

gdzie $u G$ i $u D$ są prędkościami po obu stronach wstrząsu.

Równanie z lepkością

Możemy przekształcić to równanie za pomocą transformacji Hopf-Cole'a:

{\ Displaystyle u = - {\ Frac {2 \ nu} {\ phi}} {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe x}}}

Niosąc ze sobą równanie, otrzymujemy:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} \ lewo ({\ Frac {1} {\ phi}} {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe t}} \ prawej) = { \ frac {\ części} {\ częściowy x}} \ left ({\ frac {\ nu} {\ phi}} {\ frac {\ części ^ {2} \ phi} {\ części x ^ {2}}} \ dobrze)}

Przez całkowanie w stosunku do $x$ wprowadza się „stałą” funkcji całkowania czasu, którą zauważa się $g ( t )$ , określoną przez warunki brzegowe:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe t}} = \ nu {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ phi} {\ częściowe x ^ {2}}} + g (t) \ phi}

Nowa zmiana zmiennej $ψ = ϕ exp (\int g d t )$ pozwala napisać:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ psi} {\ częściowe t}} = \ nu {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ psi} {\ częściowe x ^ {2}}}}

Otrzymujemy równanie dyfuzji analogiczne do równania ciepła, dla którego istnieją rozwiązania analityczne.

Uwagi i odniesienia

(w) Jan Burgers , „ Model matematyczny ilustrujący teorię turbulencji ” , Postępy w mechanice stosowanej , Academic Press, vol. 1,1948
(w) Andrew Russell Forsyth, „ Teoria równań różniczkowych, część 4 ” , Równania różniczkowe cząstkowe , Cambridge University Press, tom. 5-6,1906
(w) Harry Bateman , „ Some Recent Researches on the Motion of Fluids ” , Monthly Weather Review , 1915 [1]
(w) Jan Burgers , The Nonlinear Diffusion Equation , Springer,1974( ISBN 978-94-010-1747-3 )
(w) Eberhard Hopf , „ The Partial Differential Equationy there t + yy x = μ xx ” , Communications is Pure and Applied Mathematics , tom. 3 n o 3,Wrzesień 1950

Linki zewnętrzne

(en) Leon van Dommelen, The Inviscid Burger's Equation [2]
(en) Burgers 'Equation , Institut für Theoretische Physik, Münster [3]
(en) Równanie NEQwiki Burgers
(en) John Burkardt, 40 Solutions of the Burgers Equation (kody na licencji GNU ) [4]

Powiązane artykuły