Epigraf (matematyka)

Pozwolić funkcja określona na zbiorze z wartościami w wypełnionym prostej rzeczywistej . Epigraf od jest zestaw zauważyć i określona $fa$ $\ mathbb {E}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ $fa$ $\ nazwa operatora {epi} \, f$

\ nazwa operatora {epi} \, f: = \ {(x, \ alpha) \ in {\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}: f (x) \ leqslant \ alpha \}.

Chodzi więc o zbiór punktów zbioru iloczynów, które znajdują się nad wykresem ( ucho pochodzi ze starożytnej greki i znaczy dalej , powyżej ). ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ times \ mathbb {R}}$ $fa$

Surowe epigraf od jest zestaw zauważyć i określona $fa$ $\ nazwa operatora {epi} _ {s} \, f$

$\ nazwa operatora {epi} _ {s} \, f: = \ {(x, \ alpha) \ in {\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}: f (x) <\ alpha \}.$

Przykłady użycia

Epigraf umożliwia przeniesienie pojęć zdefiniowanych dla zbiorów na funkcje. Oto dwa przykłady.

Jeśli jest przestrzenią topologiczną , udowodnimy, że mapa jest inferiorly pół-ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jego motto jest zamknięty jeden z przestrzeni topologicznej produktu . W analizie wypukłej mówi się, że taka mapa jest zamknięta. $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ do {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}$
Jeśli jest prawdziwa wektor przestrzeń , mówimy, że jest wypukły , jeśli jego motto jest wypukły w przestrzeni wektorowej produkt . $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {E} \ do {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ mathbb {E}} \ times \ mathbb {R}$

Uwagi i odniesienia

Pojęcia tego nie należy mylić z pojęciem zamkniętej aplikacji w ogólnej topologii .
(w) Charalambos D. Aliprantis i Kim C. Border Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007, 3 e ed. ( czytaj online ) , s. 254.

Powiązany artykuł

Hipograf