Podstawowe twierdzenie funkcji symetrycznych

W matematyce , a dokładniej w algebrze przemiennej , podstawowe twierdzenie funkcji symetrycznych , często nazywane „  fundamentalnym twierdzeniem wielomianów symetrycznych  ” lub „  twierdzeniem Newtona  ”, stwierdza, że ​​każdy wielomian symetryczny w nieokreślonym n ze współczynnikami w ( przemiennym ) pierścieniu A jest wyrażone w unikalny sposób przez funkcję wielomianu n elementarnych wielomianów symetrycznych . Innymi słowy, brak elementarnych wielomiany symetryczne tworzą część wytwórczych z algebry symetrycznych wielomianów n wielomianami nad A i są algebraicznie niezależne nad A .

Definicje i uwagi wstępne

Podstawowe twierdzenie funkcji symetrycznych

Twierdzenie: Niech A będzie pierścieniem przemiennym. Jeśli P jest wielomianem symetrycznym w n nieokreślonym ze współczynnikami w A , to istnieje unikalny wielomian T ze współczynnikami w A , taki, że

P ( X 1 ,…, X n ) = T ( s n , 1 ,…, s n, n ),

y n, że jako elementarne wielomiany symetryczne w wielomianami X 1 , ..., X N .

W następujących następstwem uzasadnia nazwa zwyczajowa twierdzenia:

Jeśli f jest ułamkiem wymiernym symetrycznym w n nieokreślonym nad ciałem K , to istnieje unikalny ułamek wymierny Φ nad K taki, że

f ( X 1 ,…, X n ) = Φ ( s n , 1 ,…, s n, n ).

Rzeczywiście, każdy symetryczny ułamek wymierny jest ilorazem dwóch symetrycznych wielomianów .

Uwaga Wyjątkowość reprezentacji jest równoznaczna z faktem, że nie istnieje niezerowy wielomian T spełniający T ( s n , 1 ,…, s n, n ) = 0. Jeśli pierścień A jest ciałem, to znaczy, że: w języku teorii ciała, że ​​elementarne wielomiany symetryczne są algebraicznie niezależne. Stanowią one zatem bazowych TRANSCENDENCJA symetrycznych frakcje racjonalny n wielomianami ponad K .

Dowody twierdzenia

Istnieje wiele dowodów na twierdzenie o funkcjach symetrycznych. Niższe stosują porządek leksykograficzny na jednomianach unitarnych , a następnie sztuczkę obniżenia „stopnia leksykograficznego” wielomianu symetrycznego, co stanowi niezbędny krok do zademonstrowania przez indukcję w tym dobrym porządku . Pomysł na ten algorytm sięga czasów Edwarda Waringa w 1700 roku . Demonstracja została sformalizowana przez Gaussa w 1815 roku i „jest taka sama, jaką można znaleźć we współczesnych podręcznikach” .

Dowód indukcyjny przy użyciu porządku leksykograficznego

Zbiór wielostopni ( α 1 ,…, α n ) jednomianów unitarnych X 1 α 1 … X n α n jest równy N n , co można uporządkować według porządku leksykograficznego: z definicji,

X 1 α 1 … X n α n > X 1 β 1 … X n β n

jeśli dochodząc do pierwszego i takiego, że α i ≠ β i , mamy α i > β i .

Istnienie Niech P będzie niezerowym wielomianem symetrycznym, a X 1 α 1 … X n α n jego maksymalnym jednomianem jednostkowym. Załóżmy, że każda wielomian indukcyjnie symetryczne niezerowe maksymalnej jednostki Jednomian ściśle niższe niż P jest do ekspresji przez wielomianowym funkcji elementarnych wielomianów symetrycznych, i pokazują, że to samo na P . Ponieważ P jest symetryczny, zawiera, przypisany temu samemu niezerowemu współczynnikowi a ∈ A , wszystkie jednomiany otrzymane przez permutację wykładników jednomianu X 1 α 1 … X n α n . Przez maksymalność tego ostatniego mamy zatem α 1 ≥ α 2 ≥… ≥ α n . Niech t i = α i - α i +1 dla 1 ≤ i <n , a t n = α n . T i są w związku z tym wszystkie pozytywne lub zero. Rozważmy symetryczny wielomian Q = as n , 1 t 1  s n , 2 t 2  …  s n, n t n .Jego maksymalny jednomian jednostkowy jest taki sam jak w przypadku P  : X 1 t 1  ( X 1 X 2 ) t 2  ( X 1 X 2 X 3 ) t 3  … ( X 1 … X n ) t n = X 1 α 1  X 2 α 2  …  X n α n Tak więc, symetryczne wielomian P - P jest zero lub ma maksymalnej jednostki Jednomian ściśle niższa niż P . Zgodnie z hipotezą indukcyjną istnieje zatem wielomian W taki, że P - Q = W ( s n , 1 ,…, s n, n ) . W rezultacie, P = P - Q + Q = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), gdzie     T ( S 1 ,…, S n ) = W ( S 1 ,…, S n ) + a S 1 t 1 S 2 t 2 … S n t n . Wyjątkowość Niech T ( S 1 ,…, S n ) będzie niezerowym wielomianem. Rozważmy w T jednomian a S 1 t 1 S 2 t 2 … S n t n, dla którego jednostka jednomian X 1 t 1 + t 2 +… + t n X 2 t 2 +… + t n … X n t n jest maksimum dla powyższego porządku leksykograficznego. Wtedy ta jednostka jednomianu jest największym, który pojawia się (pod wpływem współczynnika a ≠ 0) w wielomianu P = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), więc ten wielomian P jest niezerowy. Uwaga Dowód ten dalej pokazuje, że całkowity stopień z T jest co najwyżej równa maksimum stopni P w każdej zmiennej.

Poniższa demonstracja, niewiele dłuższa, może wydawać się bardziej naturalna i dostarcza narzędzi teoretycznych poprzedzających teorię Galois .

Z zapisami podanymi w rozdziale „Definicja i uwagi wstępne” opiera się na trzech lematach  :

Lemat 1  -  Jeżeli A ' jest pierścieniem zawierającym A , jako sub-ring ( 1 , ..., n ) n -tuple elementów A' , a następnie na mapie oceny,

φ  : B → A ' ,   P ( X 1 ,…, X n ) ↦ P ( a 1 ,…, a n ),

jest morfizmem pierścieni, a nawet A -algebr , zwanym „morfizmem substytucyjnym”.

Jest to szczególny przypadek uniwersalnej własności pierścieni wielomianów .

Lemat 2  -  Niech σ będzie permutacją S n . Podczas gdy aplikacja () Ď  : B → B ,   P ↦ P σ  jest automorfizmem od B .

Ponieważ A jest podpierścieniem B , jest to proste zastosowanie lematu 1, gdzie ( a 1 ,…, a n ) = ( X σ (1) ,…, X σ ( n ) ) . Odwrotna mapa () σ to oczywiście () σ −1 .

Lemat 3  -  Jeśli i jest różne od j 1 , j 2 , ..., j k i jeśli X i dzieli iloczyn wielomianu P z B przez jednomian x j 1 ... X j k , to X i dzieli P .

Jest to znowu proste zastosowanie lematu 1, gdzie ( a 1 ,…, a n ) = ( X 1 ,…, X i –1 , 0, X i +1 ,…, X n ).

Dowód indukcji liczby nieokreślonych i całkowitego stopnia

Aby odtworzyć rekurencję, musimy doprecyzować twierdzenie twierdzenia, określając, że w nim wielomian T ( S 1 ,…, S n ) taki, że P ( X 1 ,…, X n ) = T ( s n , 1 ,…, s n, n ) ma „wagę” mniejszą lub równą całkowitemu stopniowi P , przy czym „waga” wielomianu jest definiowana z wielomianu w taki sam sposób jak stopień całkowity, ale przez ważenie indeksami nieokreślonych: waga jednomianu S 1 t 1 … S n t n jest z definicji t 1 + 2 t 2 +… + nt n .

Twierdzenie (w określonej wersji) jest oczywiste w przypadku wielomianów o nieokreślonym 0 i wielomianach o nieokreślonym n o całkowitym stopniu mniejszym lub równym 0 (w obu przypadkach są to stałe wielomiany). Załóżmy zatem, że twierdzenie będzie weryfikowane indukcyjnie dla dowolnego wielomianu w n - 1 nieokreślonego i dla dowolnego wielomianu w n nieokreślonego stopnia całkowitego mniejszego niż m ( n , m ∈ N *) i rozważmy w B wielomian symetryczny P , równego stopnia całkowitego m .

Niech A ' = A [ X 1 ,…, X n –1 ] i φ  : B → A' będzie morfizmem substytucyjnym (por. Lemat 1), który ustala X 1 ,…, X n –1 i wysyła X n do 0.

Ponieważ φ ( P ) jest symetryczny i ma całkowity stopień mniejszy lub równy m , istnieje (na podstawie hipotezy indukcyjnej) wielomian V ( S 1 ,…, S n –1 ) o wadze mniejszej lub równej m taki, że ( w A ' )

φ ( P ) = V ( s n –1,1 ,…, s n –1, n –1 ).

Umieśćmy (w B )

P ' = V ( s n , 1 ,…, s n , n –1 ).

Wtedy φ ( P ' ) = φ ( P ) - ponieważ morfizm φ wysyła s n, i po s n –1, i dla wszystkich i < n - a całkowity stopień P'  jest mniejszy lub równy wadze o V związku z tym m .

Wielomian P ' jest symetryczny i spełnia φ ( P - P' ) = 0, tj. że wielomian P - P '  jest symetryczny i wielokrotnością X n , a zatem wielokrotnością X i dla wszystkich i , a zatem wielokrotnością X 1 … X n = s n, n ( Lemat 3 ). Możemy więc pisać

P - P '= Q s n, n ,

gdzie Q jest elementem B , symetrycznym i o całkowitym stopniu mniejszym lub równym m - n < m . Hipoteza indukcyjna implikuje następnie, że istnieje unikalny wielomian W taki, że Q = W ( s n , 1 ,…, s n, n ) i że ten wielomian W ma wagę mniejszą lub równą m - n . Więc,

P = P '+ Q s n, n = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), gdzie     T = V + WX n , o wadze mniejszej lub równej m ,

co pokazuje istnienie żądanej reprezentacji.

Jeżeli T '  jest inny tak, że wielomian T' ( y n , 1 , ..., y n, n ) = P , a następnie ( T „- V ) / X N = W , jako reprezentacji o W o Q = ( P - P ' ) / s n, n jest niepowtarzalne (hipoteza indukcyjna). Zatem T '= V + WX n = T i zapewniona jest niepowtarzalność reprezentacji.

Możemy również użyć teorii Galois, aby bezpośrednio zademonstrować „istnienie” części wniosku twierdzenia, tj. Pokazać, że każda symetryczna część wymierna na polu K jest funkcją wymierną elementarnych symetrycznych wielomianów.

Dowód „istnienia” będący częścią wniosku z teorii Galois

Rozważ sekwencję rozszerzeń C ⊂ M ⊂ L , gdzie L = K ( X 1 ,…, X n ), M = L S n ( podpole symetrycznych ułamków wymiernych) i C = K ( s n , 1 ,…, S n, n ). Chodzi o pokazanie, że włączenie C do M jest w rzeczywistości równością.

Rozszerzenie L / C jest skończona i Galois ponieważ L jest pole rozkładu z rozłącznych wielomianu P ( x ) = ( X - X 1 ) ... ( X - X n ) , którego współczynniki (1) Jestem s n i należą do C .

Podgrupa Gal ( l / M ) jest równa całej grupy Gal ( l / C ), ponieważ wszelkie C -automorphism z L poprawek współczynniki P , tak permutacji korzenie X 1 , ..., x n , to jest równa a () σ (Lemat 2 rozszerzony na ułamki), który z definicji ustala wszystkie elementy M.

Według zasadniczej twierdzenia teorii Galois , więc mamy: M ⊂ L Gal ( l / M ) = L Gal ( l / C ) = C .

Jest następnie wnioskować „istnienie” część tw (wszystkie symetryczny wielomianem A jest wielomianem funkcji elementarnych wielomianów symetrycznych) dla A, = Z, po czym, w gotowości na każdej przemiennej pierścień A .

Część twierdzenia o istnieniu jest wydedukowana z części wniosku

Musimy udowodnić, że pierścień A [ X 1 ,…, X n ] S n , który jest liczbą całkowitą na pod-pierścieniu A [ s n , 1 ,…, s n, n ], jest w rzeczywistości równy.

Procedury obliczeniowe

Przed zastosowaniem jakiejkolwiek procedury obliczeniowej, a następnie ewentualnie na każdym kroku, czasami jest korzystne, aby uprościć obliczenia, rozdzielić symetryczny wielomian P na sumę wielomianów równych orbitom jednomianów a X 1 α 1 … X n α n pojawiający się w P pod działaniem S n . Wyrażenie P w kategoriach elementarnych symetrycznych wielomianów będzie wówczas sumą wyrażeń odpowiednich wielomianów orbitalnych.

Istnieją zatem różne metody efektywnego obliczania wyrażenia wielomianu T pojawiającego się w podstawowym twierdzeniu powyżej. Możemy na przykład oprzeć rekurencyjną procedurę obliczania T na jednym z dwóch poprzednich dowodów:

Przykład

Proponujemy zilustrowanie dwóch poprzednich procedur przez określenie reprezentacji w postaci elementarnych symetrycznych wielomianów trzeciej sumy Newtona w trzech zmiennych składających się z pojedynczej orbity:

P = p 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = X 1 3 + X 2 3 + X 3 3 .

Zastosowanie i zastosowania fundamentalnego twierdzenia funkcji symetrycznych

Celem tej sekcji jest zilustrowanie za pomocą pewnej liczby zastosowań i przykładów zastosowania podstawowego twierdzenia funkcji symetrycznych. Okazuje się, że jest używany głównie w następstwie, do którego często przywołuje się tę samą nazwę. Następstwem tego tylko mówi, że wielomian wyrażenie algebraiczne ze współczynnikami w przemiennej pierścienia integrującego A , polegająca na korzenie pewnej liczby jednostek wielomianów z współczynników A i symetryczny w każdej grupie korzeni, w rzeczywistości należy do A . Dotyczy to w szczególności przypadku, gdy A jest ciałem K (w tym przypadku wszystkie elementy algebraiczne na K są liczbami całkowitymi na K ).

Należy przypomnieć, że dla każdej przemiennej pierścienia A , element A Algebra jest całkowita A , jeżeli jest pierwiastkiem wielomianu jednostki ze współczynników A . Taki element α jest pierwiastkiem nieskończoności wielomianów jednostkowych; założymy zatem taki wielomian P α ustalony dla każdego elementu będącego liczbą całkowitą α .

Należy zauważyć, że jeśli jest zintegrowany współczynniki wielomianu P α są (znakiem) elementarne funkcje symetryczne korzeni P alfa w sposób algebraicznej zamknięcia od korpusu FR ( A frakcji) A . Rzeczywiście, P α będąc unitarnym, mamy

P α = ( X - α ) ( X - α ' ) ( X - α " )…

gdzie α , α ' , α " to wszystkie pierwiastki P α , a to wyrażenie jest obrazem ( X - X 1 ) ( X - X 2 ) ( X - X 3 )… przez morfizm substytucyjny (lemat 2 z poprzednia sekcja), która wysyła X 1 , X 2 ,… na α , α ” ,….

Następstwem  -  Niech A będzie przemienną pierścień B przemienne -algebra i α I ( j ) (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n i ) elementy B (niekoniecznie odrębny) tak, że dla wszystkich I , wielomian P I  = ( x - a I (1) ) ... ( x - a I ( N I ) ) w obu współczynników A .

Jeśli P jest wielomianem n 1 n 2 … n m zmiennych

X 1 , X ' 1 ,…, X 1 ( n 1 ) , X 2 , X' 2 ,…, X 2 ( n 2 ) ,…, X m , X ' m ,…, X m ( n m )ze współczynnikami w A i jeśli P jest wewnętrznie symetryczny w każdej z grup zmiennych X i , X ' i ,…, X i ( n i ) , to element E = P ( α 1 , α ' 1 ,…, α 2 , α' 2 ,…, α m , α ' m ,…)

należący do A .

Demonstracja

Rozumujemy przez indukcję na liczbie m grup zmiennych. Jeśli m = 0, to stwierdzenie jest trywialne . Załóżmy, że m > 0 i twierdzenie jest prawdziwe dla m - 1 zmiennych i rozważmy wielomian

Q ( X , X ' ,…, X (n m ) ): = P ( α 1 ,…, α 1 ( n 1 ) ,…, α m –1 ,…, α m –1 ( n m –1 ) , X , X ' ,…, X (n m ) ).

To symetryczne (z założenia indukcja) w współczynników A . Zgodnie z twierdzeniem o funkcjach symetrycznych jest więc równe wyrażeniu wielomianu T ( s 1 , s 2 ,…) o współczynnikach w A elementarnych symetrycznych wielomianów s i ( X, X ',… ) . Ponieważ s i ( α m (1) , α m (2) , ...) należą do A (ponieważ są, oprócz znaku, współczynnikami wielomianu P m ), wnioskujemy, że E = Q ( α m , α m ”, ... ), należący do A .

Uwaga Pierścień A sam w sobie może być pierścieniem wielomianów w pewnej liczbie „statycznych” zmiennych Y k , w przeciwieństwie do „aktywnych zmiennych” X i ( j ) .

Historyczne zastosowania podstawowego twierdzenia funkcji symetrycznych

Aż do pojawienia się teorii Galois twierdzenie o funkcjach symetrycznych było jedynym narzędziem, które pozwalało wniknąć w strukturę równań algebraicznych. Był używany przez większość wielkich algebraistów, takich jak Newton , Lagrange , Abel , Kummer czy Galois, a nawet później, dopiero Hilbert nie użył go. Wniosek przytoczony w poprzedniej sekcji rzeczywiście upoważnia do aktywnego podejścia do problemów; zamiast czekać, aż rozwiązanie się narzuci, możemy a priori tworzyć symetryczne wyrażenia i wydedukować z nich pożądane właściwości.

Cała algebraiczna praca Abla jest wypełniona tymi „symetryzowanymi” wyrażeniami, i to również w ten sposób Galois ustanowił swoją teorię, poprzez twierdzenie o pierwiastku pierwotnym. W dzisiejszych czasach niezależnie ustanowiona teoria Galois w dużej mierze wyparła twierdzenie o funkcjach symetrycznych. Niemniej jednak ma pewne zalety w porównaniu z teorią Galois, co czyni ją nadal użytecznym narzędziem: jest przede wszystkim niewrażliwa na naturę pierścienia współczynników, który może nawet nie być całkowy. Teoria Galois odnosi się (klasycznie) tylko do ciał. Ale nawet w ciałach teoria Galois ma zastosowanie tylko do rozłącznych przedłużeń (prawdą jest, że mechanika Galois została rozszerzona poza przedłużenia ciała Galois . Niemniej jednak, w wielu okolicznościach użycie tych teorii wróciłoby, by zmiażdżyć muchę dużą kostką brukową). To w tych przypadkach przejmuje twierdzenie o funkcjach symetrycznych.

Więc to twierdzenie znajdujemy tu i tam we współczesnej algebrze przemiennej. Przytoczmy na przykład dowód tych twierdzeń „  idzie w górę  ” i „  zejście  ” z Cohen  (en) - Seidenberg  (PL) .

Przykłady

Niektóre z poniższych przykładów powtarzają demonstrację dobrze znanych wyników. Tego rodzaju dowody są generalnie porzucane na rzecz bardziej teoretycznych (we współczesnej matematyce jest stała tendencja do poszukiwania wewnętrznych pojęć, zamiast używania sprytnych, ale sztucznych argumentów). Niemniej jednak te „staromodne” dowody mają pewien urok i ilustrują korzyści, jakie można wyciągnąć z podstawowego twierdzenia o funkcjach symetrycznych.

Przykład 1

Niech B Algebra przemienne α , β 1 , ..., β n ∈ B .

Jeśli α jest korzeń monic wielomianem współczynników A [ β 1 , ..., β n ] i jeśli p 1 , ..., p n to całka A , następnie α jest całka A .

Tak więc, oznaczając C z integralną zamknięcia z A do B , to znaczy zbiór elementów liczb całkowitych B nad A  :

Dowód: możemy łatwo zredukować przez indukcję do przypadku n = 1 (możemy nawet założyć, że każde β k jest liczbą całkowitą tylko na A [ β 1 ,…, β k –1 ]).

Niech więc P ∈ A [ X , Y ] będzie jednostkowe względem X , tak, że P ( α , β ) = 0, a Q ∈ A [ Y ], jednostka, taka, że Q ( β ) = 0.

Napisz Q w postaci Q ( a 1 ,…, a m , Y ), gdzie a 1 ,…, a m ∈ A i Q to unitarny wielomian stopnia m w uniwersalnym Y :

Q = Y m - S 1 Y m –1 +… + (–1) m S m ∈ Z [ S 1 ,…, S m , Y ].

Morfizm substytucyjny, od Z [ S 1 ,…, S m ] do Z [ X 1 ,…, X m ], który wysyła ( S 1 ,…, S m ) na ( s m , 1 ,…, s m, m ), będąc iniekcyjnym, możemy go przyswoić do inkluzji i uznać S k za równe elementarnym wielomianom symetrycznym w X k . Dzięki tej identyfikacji mamy:

Q = ( Y - X 1 )… ( Y - X m ).

Oznaczmy przez R ∈ A [ X , S 1 ,…, S m ] iloczyn P ( X , X k ), a następnie R ∈ A [ X ] wielomian R ( X , a 1 ,…, a m ), unitarny przez konstrukcję.

Iloczyn P ( X , X k ) - P ma zarówno postać Q U, jak i postać R + P V , gdzie U , V ∈ A [ X , Y , S 1 ,…, S m ]. Podstawiając wnioskujemy:

R ( α ) = Q ( β ) U ( α , β , a 1 ,…, a m ) - P ( α , β ) V ( α , β , a 1 ,…, a m ) = 0,

udowadniając, że alfa jest całka A .

Przykład 2

Każdy obszar rozkładu jest rozszerzenie normalne , to znaczy, gdy K jest to pole, a L oznacza pole rozkład wielomianem ze współczynników K, następnie do wszystkich alfa ∈ L , minimalna wielomian przez K z α jest podzielone na L .

Dowód: Zgodnie z hipotezą L = K ( β 1 ,…, β n ), gdzie β i są pierwiastkami wielomianu Q ∈ K [ X ].

Jeśli α ∈ L , istnieje zatem wymierny ułamek f taki, że α = f ( β 1 , β 2 ,…). Niech Õ ∈ L [ X ] jest produktem wszystkich jednomianów X - F ( beta Ď (1) , beta Ď (2) , ...) , produkt przedłużenia do zestawu permutacji Ď z S n .

Wielomian Π jest symetryczny w β ja , więc jego współczynników rzeczywiście należą do K . Ponieważ Π ( α ) = 0, minimalny wielomian P z α przez K dzieli Π . Ale Π jest podzielone na L ze względu na konstrukcję, więc P również.

Przykład 3

Korzystając z twierdzenia o funkcjach symetrycznych w konstrukcji van der Waerdena elementu pierwotnego, możemy łatwo udowodnić, że dowolne rozszerzenie L pola K wygenerowane przez skończoną rodzinę rozdzielalnych elementów nad K dopuszcza oddzielny element pierwotny. W ten sposób łatwo można uzyskać, że takie rozszerzenie L / K można rozdzielić (patrz „  Konstrukcja van der Waerdena  ”, demonstracja i uwaga).

Przykład 4

Jaki jest minimalny wielomian √ 2 + 3 5 √ 7  ? Mówiąc bardziej ogólnie, możemy postawić problem wyznaczenia minimalnego wielomianu dowolnej funkcji wymiernej elementów algebraicznych α 1 , ..., α n nad ciałem K , którego znamy minimalne wielomiany P α i (lub nawet anulując tylko wielomiany ).

Kiedy stopnie równań w grze są wystarczająco małe, aby umożliwić obliczenia rozsądnych rozmiarów, możemy rozważyć następujący algorytm, w przeciwnym razie zbyt uciążliwy. Szybko staje się niepraktyczny, nawet dla stosunkowo niskich stopni, ale ma tę zaletę, że istnieje.

Niech α = f ( α 1 ,…, α n ) będzie elementem, którego szukamy najmniejszego wielomianu. Tworzymy wielomian Π ( X ) , formalnie mnożąc na wszystkie możliwe sposoby jednomiany X - f ( α ' 1 ,…, α' n ) , gdzie α ' i oznacza dowolny koniugat α i .

Ponieważ otrzymane wyrażenie formalne jest symetryczne w każdej z grup koniugatów, jest funkcją elementarnych funkcji symetrycznych tych koniugatów i może być skutecznie określone przez algorytm dekompozycji w zakresie elementarnych funkcji symetrycznych.

Zastępując symetryczne funkcje koniugatów α i odpowiednim współczynnikiem minimalnego wielomianu α i (któremu przypisano odpowiedni znak), otrzymujemy wielomian K [ X ], który koniecznie znika w α i który ponownie oznaczymy jako Π .

Chodzi zatem o zredukowanie Π do czynników nieredukowalnych na K , co wymaga algorytmu faktoryzacji .

Wreszcie konieczne jest ustalenie, który z czynników nieredukowalnych jest najmniejszym wielomianem α  ; w przypadku, gdy K jest ciałem liczb , można to zrobić za pomocą liczbowych przybliżeń pierwiastków Π .

Uwagi i odniesienia

  1. Na przykład, patrz bibliografia (w) Ben Smith i Samuel Blum Coskey, „  The Fundamental Theorem there Symmetric Polynomials: History's First Whiff of Galois Theory  ” , The College Mathematics Journal  (w) , tom.  48, n o  1,2017, s.  18-29 ( arXiv  1301.7116 ).
  2. (La) E. Waring, Meditationes algebricae ,1732( 1 st  ed. 1700) ( odczyt linii ) (problem 3, § 3).
  3. (in) Bartel L. van der Waerden , Historia algebry , Springer ,2013( 1 st  ed. 1985) ( czytaj on-line ) , s.  77.
  4. (w) Joseph Rotman  (w) , Galois Theory , Springer,1998, 2 II  wyd. ( 1 st  ed. 1990) ( linia odczytu ) , s.  140.
  5. (en) Jean-Pierre Tignol , Teoria równań algebraicznych Galois , World Scientific ,2015, 2 II  wyd. ( 1 st  ed. 2001) ( czytaj on-line ) , s.  96.
  6. (la) CF Gauss, „  Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam…  ” , Comment. Soc. Reg. Sc. Göttingen , vol.  3,1816( czytaj online ) (przedstawione w dniu 7 grudnia 1815). Werke , tom. 3, s.  33-56  : patrz str.  36-38 .
  7. Na przykład (z) Heinrich Weber , Lehrbuch der Algebra , t.  1,1898, 2 nd lub 3 III  wyd. ( czytaj online ) , s.  163-167(wspomniane przez van der Waerdena 2013 ), (en) Charles Robert Hadlock , Field Theory and Its Classical Problems , MAA ,2000( czytaj online ) , s.  42-43(wspomniane przez Rotmana 1998 ) czy Tignol 2015 , s.  96-98.
  8. Ta demonstracja jest wyodrębniona (w) Serge Lang , Algebra [ wydania detaliczne ]1965, s.  133-134 .
  9. Kiedy pomijamy, jak Lang , luksus szczegółów (trzy lematy).
  10. (od) David Hilbert , Die Theorie der algebraischen Zahlkörper , Berlin, Druck und Verlag von Georg Reimer,1897, s.  178 (§2, th. 2).
  11. Artykuł "  Twierdzenie o pierwiastku pierwotnym  " szczegółowo wyjaśnia dowód Galois tego twierdzenia.
  12. więc jeśli więcej jest czynnikowe (lub nawet tylko integruje z GCD ), a jeśli α należy do obszaru jego frakcji, następnie α ∈ .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">