Teoria katastrof

Ten artykuł jest szkicem do analizy .

Możesz dzielić się swoją wiedzą doskonaląc ją ( jak? ) Zgodnie z zaleceniami odpowiednich projektów .

W dziedzinie topologii różniczkowej The teoria katastrof , założony przez René Thom , jest gałęzią teorii bifurkacji , który ma na celu zbudowanie w najprostszy ciągłego modelu dynamicznego, który może generować morfologię , zważywszy empirycznie lub zestaw zjawiska nieciągłe.

Dokładniej, jest to kwestia jakościowego badania, w jaki sposób rozwiązania równań zależą od liczby zawartych w nich parametrów. Termin „katastrofa” odnosi się do miejsca, w którym funkcja nagle zmienia formę.

Zaletą tej teorii w porównaniu ze zwykłym traktowaniem równań różniczkowych jest uwzględnienie funkcji zawierających osobliwości , czyli nagłe zmiany.

Nazwa „teoria katastrof” jest dziełem Erika Christophera Zeemana , a nie René Thoma.

Historia

Teoria katastrof pozwala na rozszerzenie pierwszej teorii gier od von Neumanna i Morgensterna , narzędzie do analizowania sytuacji interesów przeciwnych, o zerowej sumie: w rzeczywistości, to jeden rozpatrywane tylko z rozwiązań, w których wynik tylko zależało od statystycznych lub prawdopodobnych wyborów z graczy, często ujawniając siodło krzywą gdzie znaleźliśmy to, co pozwoliło jednemu zmaksymalizować zyski, a drugiemu zminimalizować straty. Osobliwością tej krzywej siodełkowej jest to, że przy każdym wyborze X jednego i Y drugiego istnieje tylko jedna możliwa wartość wyniku R (a zatem -R dla drugiego gracza).

Nie było zatem możliwe przewidzenie powierzchni odpowiedzi wykazujących fałdę , gdzie wybory X i Y mogłyby przedstawić wyniki R1 i R2, które są różne zgodnie z poprzednimi wyborami. To ograniczenie i szczególny przypadek zmarszczenia brwi skłoniły René Thoma do zainteresowania się tymi konkretnymi topologiami.

Teoria katastrof została ujawniona w 1972 roku po opublikowaniu książki René Thoma, Stabilność strukturalna i morfogeneza , która oznacza wejście matematyki na dotychczas niesformalizowane pole.

Twierdzenie o klasyfikacji

Najsłynniejszym uzyskanym wynikiem jest to, że istnieje tylko siedem możliwych form „katastrof” dla wszystkich równań podających, w funkcji pewnej liczby n parametrów wejściowych, wartość potencjału V układu. , jeśli liczba n z tych parametrów nie przekracza czterech. Każdej z nich nadano nazwę w związku z jej kształtem:

Dla w wejściowego parametru ( a ) i ...
- wyjście zmienna ( x ):
  - krotnie : $V = x ^ 3 + topór$
Dla dwóch parametrów wejściowych ( a i b ) oraz ...
- zmienna wyjściowa ( x ):
  - boczyć : $V = x ^ 4 + topór ^ 2 + bx$
Dla trzech parametrów ( a , b i c ) jako dane wejściowe i ...
- zmienna wyjściowa ( x ):
  - jaskółczy ogon : $V = x ^ 5 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx$
- dwie zmienne wyjściowe ( x i y ):
  - hiperboliczny pępek ( fala ): lub $V = x ^ 3 + y ^ 3 + axy + bx + cy$
  - pępek eliptyczny ( włosy ): $V = x ^ 3/3 - xy ^ 2 + a (x ^ 2 + y ^ 2) + bx + cy$
Dla czterech parametrów ( a , b , c i d ) jako dane wejściowe i ...
- zmienna wyjściowa ( x ):
  - motyl : $V = x ^ 6 + ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx$
- dwie zmienne wyjściowe ( x i y ):
  - pępek paraboliczny ( grzyb ): $V = x ^ 2y + y ^ 4 + ax ^ 2 + o ^ 2 + cx + dy$

Przy pięciu parametrach istnieją cztery dodatkowe formy katastrofy; tak więc, przy co najwyżej pięciu parametrach, istnieje tylko jedenaście odrębnych form katastrof.

Gdy jest sześć lub więcej parametrów , klasyfikacja katastrof staje się nieskończona: pojawiają się „moduły”.

Aplikacje

Jego zastosowania to przede wszystkim symulacje obiektów naturalnych.

Występuje również w innych dziedzinach: geologii , mechanice stosowanej , hydrodynamice , optyce geometrycznej , fizjologii , biologii , językoznawstwie .

Erik Christopher Zeeman kontrowersyjnie rozszerzył jego zastosowanie na humanistykę .

Ze swojej strony Jean Petitot rozszerzył jej zastosowanie na epistemologię .

cytaty

„[…] Istotą teorii katastrof jest sprowadzenie pozornych nieciągłości do przejawu leżącej u ich podłoża powolnej ewolucji. Problem polega zatem na określeniu tej powolnej ewolucji, która na ogół wymaga wprowadzenia nowych wymiarów, nowych parametrów. " - René Thom (1991)
„Praca Eulera nad wyboczeniem belki była już teorią katastrofy! " - René Thom (1980)

Bibliografia

Jean Petitot , " Teoria katastrof " , na Encyclopaedia Universalis .

Zobacz również

Bibliografia

(pl) Vladimir I. Arnold , Teoria katastrof , Berlin, Springer ,1992, 3 e wyd. ( przeczytaj online )
Ivar Ekeland " teoria katastrof " The Search , n O 811977, s. 745-754 ( czytaj online )Ten artykuł edukacyjny zawiera liczby. Ostrzeżenie: w artykule Ekelanda jest błąd: klasyfikacja katastrof żywiołów jest zawsze skończona (z jedenastoma formami, jak pokazano powyżej), gdy istnieje pięć parametrów lub mniej. Twierdzenie Thoma nie jest możliwym wyjaśnieniem faktu, że nasza czasoprzestrzeń jest czterowymiarowa, jak zasugerował Ekeland.
(en) Peter W. Michor (de) , Elementarna teoria katastrof , Uniwersytet w Timișoarze , coll. "Monografii Matematice" ( N O 24)1985, 93 pkt. ( przeczytaj online )
Ian Stewart , Och! katastrofa , Belin , 1982
Ian Stewart, Matematyka , For Science / Belin, 1989
René Thom , Stabilność strukturalna i morfogeneza , Paryż, InterÉditions , 1977
René Thom, Matematyczne modele morfogenezy , Paryż, Christian Bourgois , 1981
René Thom, Przypowieści i katastrofy , coll. " Pola Flammarion " ( N O 186)1983
René Thom, Przewidywanie nie wyjaśnia , kol. "Pola Flammarion" ( N O 288),1993
Alexander Woodcock i Monte Davis, La Théorie des catastrophes , Lozanna, L'Âge d'Homme , 1974

Link zewnętrzny

Lucien Dujardin ( Wydział Farmacji Lille ), „ Wprowadzenie ” , na stronie ldvdujardin.pagesperso-orange.fr