Twierdzenie o kolażu

W matematyce kolaż twierdzenie ustala istnienie techniki budowlanej aproksymacji dowolnej zwartej zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej (takie jak obraz) przez atraktora z systemem funkcji potwierdzili , do dowolnego pożądanego stopnia precyzji.

Mówiąc najprościej, udowadnia, że każdą zwartą formę przestrzeni można pokryć kopiami samej siebie.

To twierdzenie, użyte w kompresji fraktalnej , zostało zademonstrowane w 1985 roku przez Michaela Barnsleya .

Twierdzenie

Niech X będzie kompletny przestrzenią metryczną . Albo wszystkie zwarte podzbiory nie opróżnić X . Zapewniamy pełną strukturę metryczną z przestrzeni , w odległości Hausdorffa sprawie . Albo zbiór, do którego należy się zbliżyć, i niech > 0. Następnie istnieje rodzina skurczów (IFS) na X , ze współczynnikami skurczu s , takimi, że: ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (X)}$ $godz$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (X)}$ ${\ Displaystyle L \ w {\ mathcal {H}} (X)}$ $\ varepsilon$ ${\ displaystyle \ {w_ {1}, w_ {2}, \ kropki, w_ {N} \}}$

{\ Displaystyle h \ lewo (L, \ bigcup _ {n = 1} ^ {N} w_ {n} (L) \ prawej) \ równoważnik \ varepsilon}

I mamy

{\ Displaystyle h (L, A) \ równoważnik {\ Frac {\ varepsilon} {1-s}},}

gdzie A jest atraktorem IFS.

Uwagi

Ostatnia nierówność wynika bezpośrednio z nierówności

{\ Displaystyle h (L, A) \ równoważnik {\ Frac {h \ lewo (L, \ bigcup _ {n = 1} ^ {N} w_ {n} (L) \ prawej)} {1-s}} }

obowiązuje dla wszystkich i wszystkich IFS na X , atraktora A i współczynnika skurczu s . ${\ Displaystyle L \ w {\ mathcal {H}} (X)}$ ${\ displaystyle \ {w_ {1}, w_ {2}, \ kropki, w_ {N} \}}$

połączenia klejowego twierdzenie pojawi, niezależnie od istnienia IFS, który jest związany z precompacity z , w szczególnym przypadku w Banach stałoprzecinkowe twierdzenia . $L$
Jego zainteresowanie opiera się na jego zastosowaniach.
Książka Jeana Dieudonné użyta jako odniesienie w sformułowaniu twierdzenia zawiera przedmowę Gastona Julii , która ustanawia niezwykłe powiązanie między wszystkimi ideami.

Przykłady

Tutaj w powyższym kadrze jest rodzina 4 skurczów afinicznych inspirowanych liściem drzewa, którego kontur został narysowany, a wnętrze pokolorowane na kartce papieru, którego rolę odegra rysunek . Zrobiliśmy pewien, że jest na tyle mała, a s jest rzędu 0,5. Atraktor dostajemy po prawej stronie. Ten przykład pomaga zrozumieć, co nazywa się problemem odwrotnym , czyli poszukiwaniem automatycznych metod w celu uzyskania ifs, które zbliżają się do danego obrazu. ${\ displaystyle \ {w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4} \}}$ $L$ ${\ Displaystyle h \ lewo (L, \ bigcup _ {n = 1} ^ {4} w_ {n} (L) \ prawej)}$

Jest to zasada konstrukcji drzewa fraktalnego lub chmury fraktalnej, która jest odmianą prostokąta.

Te kilka obiektów, doskonale zdefiniowanych matematycznie, daje niewielkie wyobrażenie o motywacjach, które mogły ożywiać matematyków od lat 80 - tych .

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Twierdzenie o kolażu ” ( zobacz listę autorów ) .

„ Odkrywanie metody tworzenia obrazów fraktalnych. "
MF Barnsley, S. Demko, „Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals”, The Proceedings of the Royal Society of London A 399, s. 243-275 (1985)
" Budowa fraktali metodą IFS, str. 27 "
Jean Dieudonné, Elementy analizy 1 , gauthier-villars,1963( ISBN 978-2-04-010410-8 i 2-04-010410-0 ) , problem 3, str.61
(w) Barnsley, MF (Michael Fielding), 1946- , Fractals wszędzie , Academic Press Professional1993( ISBN 0-12-079069-6 , OCLC 28025975 , czytaj online ) , s. 94, s. 98
" system funkcji iterowanych, str. 21 "
(w) „Expository Paper of Sandra S. Snyder” (wersja z 6 czerwca 2010 r. W Internet Archive ) , na scimath.unl.edu
(w) „ Przegląd literatury dotyczącej kompresji obrazu fraktalnego ” na Universitat Freiburg
" Drzewo fraktalne " , na krzywej matematycznej autorstwa Roberta Ferreola
(nie) zbiorowy, Nauka obrazów fraktalnych , Springer-Verlag,1988( ISBN 0-387-96608-0 ) , s. 236-237
(w) Peitgen, Heinz-Otto, 1945- , Piękno fraktali: obrazy złożonych układów dynamicznych , Springer-Verlag ,1986( ISBN 3-540-15851-0 , OCLC 13331323 , czytaj online ) , PRZEDMOWA

Linki zewnętrzne

(en) Interaktywny opis na cut-the-węzeł
(en) Opis: Sandra S. Snyder