Twierdzenie Grunwalda-Wanga

W algebraicznej teorii numer The Grunwald Wanga twierdzenie jest przykładem zasady lokalne i globalne , zgodnie z którym - za wyjątkiem pewnych precyzyjnie określonych przypadkach - element w polu numeru K jest n-ta moc w K , jeśli C „jest N - potęga w zakończonym K p dla prawie każdego ideału pierwszego p z O K (to znaczy dla wszystkich oprócz liczby skończonej ). Na przykład, racjonalne jest kwadratem racjonalna, jeżeli jest to kwadrat o p -adic liczbie prawie każdej liczby pierwszej p .

Został wprowadzony przez Wilhelma Grunwalda (de) w 1933 roku, ale błąd w tej pierwszej wersji został wykryty i poprawiony przez Shianghao Wanga (en) w 1948 roku.

Historia

Grunwald, uczeń Hassego , dał „dowód” na błędne stwierdzenie, że element pola liczbowego byłby potęgą n- tą, gdyby był lokalnie prawie wszędzie. Whaples dał na to kolejny „dowód”. Jednak Wang odkrył minusy-przykład następująco: 16 jest potęgą 8 e p -adic dla każdej nieparzystej prime p , ale nie jest potęgą 8 th racjonalne lub 2-adic. W swojej pracy magisterskiej pod kierunkiem Artina Wang stwierdził i zademonstrował prawidłowe sformułowanie twierdzenia Grunwalda, wyszczególniając rzadkie przypadki, w których było ono fałszywe. Wynik ten jest obecnie znany jako twierdzenie Grunwalda-Wanga.

Kontrprzykłady

Pierwotne twierdzenie Grunwalda, że element, który jest n- tą potęgą prawie wszędzie lokalnie, jest zawsze globalną potęgą n- tą, można obwiniać na dwa sposoby, z których pierwszy jest kontrprzykładem Wanga:

Moc n th lokalnie prawie wszędzie, ale nie wszędzie lokalnie

Racjonalne 16 jest potęgą 8 th wszystkich siedzeń , z wyjątkiem 2. Istotnie:

nie jest to potęga 8 e w liczbach 2-adycznych (a więc nie w dźwięku), ponieważ jej ocena 2-adyczna wynosi 4, która nie jest podzielna przez 8;
w ciele jeden, 16 jest potęgą 8 e wtedy i tylko wtedy, gdy jest wielomianem ${\ Displaystyle X ^ {8} -16 = (X ^ {4} -4) (X ^ {4} +4) = (X ^ {2} -2) (X ^ {2} +2) (( X-1) ^ {2} +1) ((X + 1) ^ {2} +1)}$ ma pierwiastek , czyli jeśli 2, –2 lub –1 to kwadrat. Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Przez multiplikatywność symbolu Legendre'a , 2, –2 lub –1 jest kwadratem modulo p . Według lematu Hensela 2, –2 lub –1 jest więc kwadratem w ℚ p .

Moc n th nad lokalnie, ale nie na całym świecie

Liczba 16 nie jest potęgą 8 e w ℚ ( √ 7 ) . Jednak lokalnie istnieje jeden wszędzie - to znaczy w ℚ p ( √ 7 ) dla wszystkich p - zgodnie z powyższym i równością ℚ 2 ( √ 7 ) = ℚ 2 ( $\sqrt -1$ ).

Konsekwencja kontrprzykładu Wanga

Ten kontrprzykład pokazuje, że nie zawsze możemy znaleźć cykliczne rozszerzenie danego stopnia, z konsekwencjami określonymi dla skończonego zbioru miejsc:Nie ma cyklicznego rozszerzenia K / ℚ stopnia 8, w którym pierwsze 2 jest całkowicie obojętne (tj. Takie, że K 2 / ℚ 2 jest nierozgałęzione stopnia 8).

Ciała specjalne

Dla wszystkich s ≥ 2 niech ${\ Displaystyle \ eta _ {s}: = \ exp \ lewo ({\ Frac {2 \ pi {\ rm {i}}} {2 ^ {s}}} \ prawo) + \ exp \ lewo (- { \ frac {2 \ pi {\ rm {i}}} {2 ^ {s}}} \ right) = 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {2 ^ {s}}} \ right ).}$

Możemy zauważyć, że cyklotomiczne ciało o wskaźniku 2 s wynosi ℚ 2 s = ℚ ( $i, η s$ ).

Mówi się, że pole jest s-specjalne, jeśli zawiera $η s,$ ale nie zawiera ani $i$ , ani $η s +1$ , ani $i η s +1$ .

Na przykład - ponieważ $η 2 = 0$ i $η 3$ = √ 2 - pole jest 2-specjalne, jeśli nie zawiera ani $\sqrt -1$ , ani √ 2 , ani $\sqrt -2$ .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech K będzie numer pola, n liczbę naturalną i S pierwszym skończony zestaw K . Pozujmy ${\ Displaystyle K (n, S): = \ {x \ w K \ mid \ forall p \ notin S \ quad x \ in K_ {p} ^ {n} \}.}$

Stwierdza to twierdzenie Grunwalda-Wanga ${\ Displaystyle K (n, S) = K ^ {n}}$ z wyjątkiem przypadków specjalnych , tj. chyba że spełnione są oba następujące warunki:

K jest s -specjalne dla s takiego, że 2 s +1 dzieli n ;
S zawiera specjalny zestaw S 0 złożony z pierwszej P (koniecznie 2-adyczne) tak, że K P jest a specjalna europejska.

Ponadto, w szczególnym przypadku „wada” z zasady Hasse jest skończony: the kernel z ${\ Displaystyle K ^ {\ razy} / n \ do \ prod _ {p} K_ {p} ^ {\ razy} / n}$ ma tylko dwa elementy .

Wyjaśnienie kontrprzykładów

Dla pola ℚ, 2-special z S 0 = {2}, przypadek specjalny występuje, gdy n jest podzielne przez 8, a S zawiera 2. To wyjaśnia kontrprzykład Wanga i pokazuje, że jest on minimalny. Widzimy także, że racjonalne jest n -ty moc , jeśli jest to n -ty p -adic moc dla wszystkich p .

Pole ℚ ( √ 7 ) jest również 2-specjalne, ale z S 0 = ⌀ , co wyjaśnia drugi kontrprzykład powyżej.

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Twierdzenie Grunwalda - Wanga ” ( patrz lista autorów ) .

(de) W. Grunwald , „ Ein allgemeiner Existenzsatz für algebraische Zahlkörper ” , J. Reine Angew. Matematyka. , vol. 169,1933, s. 103-107 ( czytaj online ).
(w) Shianghaw Wang , " Przeciwprzykład do twierdzenia Grunwalda " , Ann. matematyki. (2) , t. 49,1948, s. 1008-1009 ( JSTOR 1969410 ).
(w) Peter Roquette , The Brauer-Hasse-Noether Theorem in Historical Perspective , Springer , al. "Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften" ( N O 15)2005( ISBN 978-3-540-26968-7 , czytaj online ) , str. 30 (§ 5.3).
(w :) George Whaples , " Nieanalityczna teoria pola klas i twierdzenie Grünwalda " , Duke Math. J. , tom. 9 N O 3,1942, s. 455-473 ( czytaj online ).
(w) Shianghaw Wang , " My Grunwald's theorem " , Ann. matematyki. (2) , t. 51,1950, s. 471-484 ( JSTOR 1969335 ).
(w) Emil Artin i John Tate , Class Field Theory , AMS ,2009( 1 st ed. 1967), 192 , str. ( ISBN 978-0-8218-6951-2 , czytaj online ) , rozdz. X („Twierdzenie Grunwalda-Wanga”).
O wiele bardziej odporne na podstawowy jest, aby zauważyć, że dla każdej liczby pierwszej p oznaczająca R z p -evaluation o x : jeśli istnieje racjonalne y takie, że P -evaluation o x - y n wynosi> r wtedy R jest równa do p - ocena y n jest zatem podzielna przez n .

Linki zewnętrzne