Apartament Padovan

Padovan ciąg jest ciągiem liczb całkowitych ( P n ) określone przez indukcję przez:

P.0=P.1=P.2=1 i ∀nie∈NIEP.nie+3=P.nie+1+P.nie.{\ Displaystyle P_ {0} = P_ {1} = P_ {2} = 1 {\ tekst {i}} \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad P_ {n + 3} = P_ {n + 1 } + P_ {n.}.}

Jest to liniowa, powtarzająca się sekwencja, która w swojej formie przypomina ciąg Fibonacciego , z jednym niuansem: suma wyrazów rzędu n i n + 1 nie daje członu rzędu n + 2, ale rangi n + 3.

Suita nosi imię architekta Richarda Padovana  (en) i jest związana z numerem plastycznym badanym przez architekta, a następnie mnicha Hansa van der Laana . Matematyk Ian Stewart w swoich Mathematical Recreations przywołuje i bada tę sekwencję i nadaje jej nazwę sekwencji Padovana.

Ogólny termin sekwencji Padovana jest powiązany z trzema pierwiastkami wielomianu X 3 - X - 1.

Iloraz dwóch kolejnych wyrazów zmierza do liczby plastycznej .

Warunki i właściwości

Seria generatorów to:

fa(X)=1+X1-X2-X3.{\ Displaystyle F (X) = {\ Frac {1 + X} {1-X ^ {2} -X ^ {3}}}.}

Ta sekwencja liczb całkowitych rośnie ściśle od rangi 3; jego warunki to:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12  itd. (kontynuacja A134816 z OEIS ).

Są one wyrażone jako funkcja trzech pierwiastków r 1 , r 2 i r 3 z X 3 - X - 1 (jeden kompleks rzeczywisty i dwa sprzężone):

P.nie=(1-r2)(1-r3)(r1-r2)(r1-r3)r1nie+(1-r3)(1-r1)(r2-r3)(r2-r1)r2nie+(1-r1)(1-r2)(r3-r1)(r3-r2)r3nie.{\ Displaystyle P_ {n} = {\ Frac {(1-r_ {2}) (1-r_ {3})} {(r_ {1} -r_ {2}) (r_ {1} -r_ {3 })}} r_ {1} ^ {n} + {\ frac {(1-r_ {3}) (1-r_ {1})} {(r_ {2} -r_ {3}) (r_ {2 } -r_ {1})}} r_ {2} ^ {n} + {\ frac {(1-r_ {1}) (1-r_ {2})} {(r_ {3} -r_ {1} ) (r_ {3} -r_ {2})}} r_ {3} ^ {n}.}

Te wzory Cardana dać prawdziwego korzenia numer plastikową lub ilość pieniędzy:

12+69183+12-69183≈1,32472.{\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {{\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {\ sqrt {69}} {18}}}} + {\ sqrt [{3}] {{ \ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {69}} {18}}}} \ około 1.32472.}

Liczby Padovan pierwszy : 2, 3, 5, 7, 37, 151,  itd. (kontynuacja A100891 z OEIS ).

Warianty

Czasami znaleźć różne pliki uruchamiania jak w apartamentach A000931 , A078027 , A096231 , A124745 , A133034 , A164001 , A182097 , A228361 , A020720 i A001608 z OEIS .           

Ta ostatnia to sekwencja liczb Perrina  : 3, 0, 2, 3, 2, 5  itd.

Uwagi i odniesienia

1. (w) Eric W. Weisstein , „  Sekwencja Padovana  ” na MathWorld .
2. (w) Richard Padovan przedstawia plastikowy numer , podsumowanie Nexus Network Journal
3. (en) Opowieści o zaniedbanej liczbie w Mathematicla Recreations Ian Stewart