Struktura (logika matematyczna)

W logice matematycznej , a dokładniej w teorii modeli , struktura jest zbiorem wyposażonym w funkcje i relacje zdefiniowane na tym zbiorze. W tym sensie zwykłe struktury algebry są strukturami. Model słowa jest również używany jako synonim struktury (patrz Uwaga dotycząca stosowania modelu słowa ).

Semantyka logiki pierwszego rzędu jest zdefiniowana w strukturze.

Definicja

Formalnie strukturę można zdefiniować jako tryplet reprezentujący odpowiednio niepusty zbiór A , sygnaturę σ i interpretację I, która wskazuje, jak podpis powinien być interpretowany w dziedzinie. Strukturę σ nazywamy strukturą sygnatury σ. ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = (A, \ sigma, ja)}$

Pole

Zbiór A to dziedzina lub podstawowy zbiór struktury . ${\ mathcal A}$

W teorii modeli podstawowy zbiór konstrukcji jest zawsze niepusty (w przeciwnym razie niektóre prawa logiki pierwszego rzędu nie zostałyby zachowane).

Często zwraca się uwagę na podstawowy zestaw konstrukcji (lub poniżej ); może się zdarzyć, że konstrukcja i jej zbiór bazowy są oceniane w ten sam sposób. ${\ mathcal A}$ ${\ displaystyle | {\ mathcal {A}} |}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dom} ({\ mathcal {A}})}$

Podpis

Podpis struktury zawiera zbiór symboli funkcji i symboli relacji z funkcji, która kojarzy się z każdego symbolu Ś jest liczbą naturalną , które nazywa się arity z S , ponieważ jest arity interpretacji. Z S (patrz niżej : Interpretacja ). ${\ displaystyle n = \ operatorname {ar} (s)}$

W większości przypadków równość jest częścią języka domyślnego i nie pojawia się w podpisie. Interpretacją równości jest zawsze tożsamość , niezależnie od struktury.

Podpisy w algebrze często zawierają tylko symbole funkcji. W algebrze uniwersalnej sygnatura, która nie zawiera symboli relacji, nazywana jest sygnaturą algebraiczną, a struktura posiadająca taką sygnaturę nazywana jest algebrą.

Interpretacja

Interpretacja I od kombajnów lub funkcji i relacji do symboli podpisu. Z każdym symbolem funkcji f o charakterze n jest związana funkcja o charakterze n, której zbiorem początkowym jest, a zbiorem końcowym jest . ${\ mathcal A}$ ${\ displaystyle f ^ {\ mathcal {A}} = ja (f)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dom} ({\ mathcal {A}}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dom} ({\ mathcal {A}})}$

Z każdym symbolem relacji R arności n jest powiązana relacja aritynacji n na zbiorze bazowym, tj . ${\ Displaystyle R ^ {\ mathcal {A}} \ subseteq A ^ {n}}$

Symbol funkcji c o arity 0 nazywany jest symbolem stałym , jego interpretację można utożsamić z elementem zbioru podstawowego. ${\ displaystyle c ^ {\ mathcal {A}}}$

Jeśli nie ma dwuznaczności, czasami zauważamy w ten sam sposób symbol i jego interpretację; na przykład, jeśli f jest symbolem funkcji o arity 2 na , zdarza się, że zamiast pisać . ${\ mathcal A}$ ${\ displaystyle f: {\ mathcal {A}} ^ {2} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle f ^ {\ mathcal {A}}: | {\ mathcal {A}} | ^ {2} \ rightarrow | {\ mathcal {A}} |}$

Przykłady

Zwykły podpis σ f dla pola przemiennego składa się z dwóch symboli funkcji o arcy 2, + i x, symbolu funkcji o arności 1 dla przeciwnej, - i dwóch symboli stałych 0 i 1. Można określić aksjomaty ciał w języku pierwszego rzędu tego podpisu.

Struktura tego podpisu składa się z zestawu elementów A z dwiema funkcjami typu arity 2, funkcją typu arity 1 i dwoma elementami wyróżniającymi; ale nie ma potrzeby, aby spełniał którykolwiek z aksjomatów pól przemiennych . Te liczby wymierne P , z liczbami rzeczywistymi, R i liczb zespolonych C , tak jak każdy inny przemienne ciała , może być postrzegane jako Ď oczywiste struktur:

{\ displaystyle {\ mathcal {Q}} = (Q, \ sigma _ {f}, ja _ {\ mathcal {Q}})}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} = (R, \ sigma _ {f}, ja _ {\ mathcal {R}})}

{\ displaystyle {\ mathcal {C}} = (C, \ sigma _ {f}, ja _ {\ mathcal {C}})}

lub

{\ Displaystyle I _ {\ mathcal {Q}} (+) \ dwukropek Q \ razy Q \ do Q}

jest dodaniem liczb wymiernych,

{\ Displaystyle I _ {\ mathcal {Q}} (\ razy) \ dwukropek Q \ razy Q \ do Q}

jest mnożeniem liczb wymiernych,

{\ Displaystyle I _ {\ mathcal {Q}} (-) \ dwukropek Q \ do Q}

jest funkcją, która pobiera każdą liczbę wymierną x i wysyła ją do - x ,

{\ Displaystyle I _ {\ mathcal {Q}} (0) \ w Q}

jest liczbą wymierną 0,

{\ Displaystyle I _ {\ mathcal {Q}} (1) \ w Q}

jest liczbą wymierną 1;

i a są zdefiniowane podobnie. ${\ displaystyle I _ {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathcal {C}}}$

Jednak pierścień Z od stosunku liczby całkowite , które nie jest pole przemienne , jest również σ f -structure w taki sam sposób. Definicja struktury σ f nie wymaga, aby jakikolwiek aksjomat pól przemiennych był ważny w strukturze σ f .

Sygnatura dla pól uporządkowanych używa symbolu relacji o arności 2, takiego jak <lub ≤ (struktury posiadające takie sygnatury nie są algebrami w sensie algebry uniwersalnej ).

Język teorii mnogości obejmuje, oprócz równości, pojedynczy symbol, który jest symbolem relacji arity 2, oznaczonym ∈, dla członkostwa. Strukturą tego podpisu jest więc zbiór (elementy) zaopatrzony w relację arity 2 na tych elementach, która jest interpretacją symbolu ∈.

Uwaga dotycząca użycia słowa model

Termin model w teorii modeli jest synonimem „struktury”, ale jest zwykle używany w różnych kontekstach. Zazwyczaj używamy terminu „model”, gdy mamy na myśli teorię, i uważamy tylko wśród -structures, które są modele tej teorii, to znaczy, które spełniają wszystkie formuły aksjomaty z teorii . ${\ mathcal {L}}$

Z drugiej strony mamy skłonność do używania słowa „struktura”, gdy jej właściwości są mniej znane lub mniej sprecyzowane.

Uwagi i odniesienia

W szczególności ∀x Px ⇒ ∃x Px, co jest prawidłowym wzorem do obliczania predykatów.

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Structure (mathematical logic) ” ( zobacz listę autorów ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">