Statystyka Bosego-Einsteina

Natura	Teoria naukowa ( w )
Podklasa	Statystyczny
Nazwany w odniesieniu do	Satyendranath Bose , Albert Einstein
Aspekt	Statystyka cząstek ( w )
Formuła	${\ Displaystyle {\ Frac {N} {V}} \ geq n_ {q} ~}$

W mechanice kwantowej i fizyki statystycznej , Bosego-Einsteina statystyki odnoszą się do statystycznego rozkładu dnia nie do odróżnienia (wszystkich podobnych) bozonów nad energetycznych stanów układu w równowadze termodynamicznej . Omawiany rozkład wynika ze specyfiki bozonów : cząstki o spinie całkowitym nie podlegają zasadzie wykluczenia Pauliego , a mianowicie, że kilka bozonów może jednocześnie zajmować ten sam stan kwantowy .

Rozkład Bosego-Einsteina

Statystyka Bosego-Einsteina została wprowadzona przez Satyendranatha Bosego w 1920 r. Dla fotonów i uogólniona na atomy przez Alberta Einsteina w 1924 r . Statystycznie w stanie równowagi termodynamicznej liczba $n i$ cząstek energii $E i$ wynosi

{\ Displaystyle n_ {i} = {\ Frac {g_ {i}} {\ exp \ lewo ({\ Frac {E_ {i} - \ mu} {k _ {\ rm {B}} T}} \ prawo ) -1}} \,}

lub:

$g i$ jest degeneracją poziomu energii $E i$ , a mianowicie liczbą stanów posiadających tę energię;
$μ$ jest potencjałem chemicznym ;
$k B$ jest stałą Boltzmanna ;
$T$ to temperatura .

Entropia i derywacja w zespole mikrokanonicznym

Entropia systemu obejmującej nierozróżnialne bozonów , opisanych symetrycznych funkcji fali ( całkowita wirowania ), można obliczyć z zastosowaniem statystycznego opis powodu J. Willard Gibbsa . Ona chce

{\ Displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ suma _ {j} G_ {j} \ lewo [(1 + n_ {j}) \ log {(1 + n_ {j})} - n_ { j} \ log n_ {j} \ right]}

lub

$k B$	Stała Boltzmanna ,
$n j$	liczba zawodów (udział bozonów w danym stanie energii),
$G j$	liczba możliwych stanów w grupie j ( degeneracja ).

Demonstracja

Postępując zgodnie z metodą podaną przez JW Gibbsa w fizyce statystycznej, liczymy w badanym układzie bozony energii $E j$ , ich liczbę w tej grupie $N j$ , przy czym każda z tych grup może zawierać stany $G j$ . Obliczenie entropii sprowadza się do obliczenia wagi statystycznej $Ω$ takiego układu, czyli liczby mikro-stanów dostępnych do wykonania tego makrostatu. Zakładając, że każda grupa jest niezależna, mamy $Ω = Π j Ω j$ . Problem sprowadza się zatem do znajomości $Ω j$ .

Liczba możliwości dystrybucji nierozróżnialnych cząstek $N j$ w stanach $G$ $j$ wynosi

{\ Displaystyle \ Omega _ {j} = {\ Frac {(G_ {j} + N_ {j} -1)!} {(G_ {j} -1)! N_ {j}!}}}

Korzystając ze wzoru Stirlinga , zachowujemy przybliżenie, które obliczamy entropię (zakładamy, że 1 jest pomijalne w porównaniu do $N$ $j$ lub $G$ $j$ ) ${\ displaystyle \ log {N!} \ ok. N \ log {N}}$

{\ Displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ log \ Omega = k _ {\ rm {B}} \ sum _ {j} \ log \ Omega _ {j} = k _ {\ rm {B }} \ sum _ {j} \ left [-G_ {j} \ log {G_ {j}} - N_ {j} \ log {N_ {j}} + (G_ {j} + N_ {j}) \ log {(G_ {j} + N_ {j})} \ right]}

Albo przez wpisanie liczby zawodów ${\ displaystyle n_ {j} = {\ tfrac {N_ {j}} {G_ {j}}}}$

{\ Displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ suma _ {j} G_ {j} \ lewo [(1 + n_ {j}) \ log {(1 + n_ {j})} - n_ { j} \ log n_ {j} \ right]}

W zestawie mikrokanonicznym zmienne termodynamiczne w stanie równowagi uzyskuje się przez maksymalizację entropii pod ograniczeniem, aby uwzględnić całkowitą liczbę bozonów i całkowitą energię . Rozwiązanie weryfikuje stosując metodę mnożników Lagrange'a , $α$ dla liczby cząstek i $β$ dla energii ${\ displaystyle N = \ suma _ {i} G_ {i} n_ {i}}$ ${\ displaystyle E = \ suma _ {i} n_ {i} G_ {i} E_ {i}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe n_ {j}}} \ lewo (S- \ alfa N- \ beta E \ prawej) = 0 \ ,, \ qquad \ forall j}

Rozwiązaniem tego układu niezależnych równań jest statystyczny rozkład Bosego-Einsteina

{\ Displaystyle n_ {j} = {\ Frac {1} {\ mathrm {e} ^ {\ alpha + \ beta E_ {j}} - 1}}}

Możemy znaleźć wartości $α$ i $β$ z pierwszej zasady termodynamiki . Zatem $α = - μ β$ i $β = ( k B T ) -1$ .

Klasyczny limit i porównanie z fermionami

W wysokich temperaturach, kiedy efekty kwantowe nie są już odczuwalne, statystyka Bosego-Einsteina, podobnie jak statystyka Fermi-Diraca, która rządzi fermionami , zmierza w kierunku statystyki Maxwella-Boltzmanna . Jednak w niskich temperaturach te dwie statystyki różnią się od siebie. Zatem przy zerowej temperaturze:

ze statystyką Bosego-Einsteina najniższy poziom energii zawiera wszystkie bozony;
ze statystyki Fermiego Diraca, najniższy poziom energii każdy zawiera co najwyżej $g ı$ fermionami .

Kondensat Bosego-Einsteina

Jak widać wcześniej, statystyka Bosego-Einsteina przewiduje, że w temperaturze zerowej wszystkie cząstki zajmują ten sam stan kwantowy, czyli stan o najniższej energii. Zjawisko to jest obserwowalne w skali makroskopowej i stanowi kondensat Bosego-Einsteina .

Uwagi i odniesienia

Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu zatytułowanego „ Entropia (bozony) ” (patrz lista autorów ) .

(w) Lev Landau i Evgeny Lifshitz , Statistical Physics , Pergamon Press ,1969( czytaj online )

Zobacz też

Bibliografia

[Bose 1924] (de) Satyendra Nath Bose ( przetłumaczone z angielskiego przez Alberta Einsteina ), " Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese " ["Prawo Plancka i hipoteza kwantowa światła"], Zeitschrift für Physik , vol. 26,Grudzień 1924, s. 178-181 ( OCLC 4646217659 , DOI 10.1007 / BF01327326 , Bibcode 1924ZPhy ... 26..178B , podsumowanie , przeczytaj online [PDF] ) :
- [Bose 2005] Satyendra Nath Bose ( przetłumaczone z niemieckiego przez Georgesa Fricka), hipoteza Plancka i kwanty światłaW José Leite-Lopes i Bruno Escoubès ( red. I wcześniejszego () Pref. Przez Jean-Marc Levy-LEBLOND ), Źródła i ewolucja fizyki kwantowej: tekstów założycielskich , Les Ulis, EDP Sciences , poza Coll. ,Listopad 2005, 1 st ed. , 1 obj. , XIV -316 s. , Chory. , rys. , wykres. i portr. , 16 × 24 cm ( ISBN 2-86883-815-4 , EAN 9782868838155 , OCLC 80146859 , uwaga BnF n o FRBNF39987077 , SUDOC 094109842 , prezentacja online , czytaj online ) , rozdz. 3 , rozdz. 3.1 , art. VIII [„Statystyki bozonu”], s. 85-88.
[Einstein 1924] (de) Albert Einstein , " Quantentheorie des einatomigen idealen Gases " [" Monatomiczna kwantowa teoria gazu doskonałego "], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften ,1924, s. 261-267.
[Einstein 1925a] (de) Albert Einstein , " Quantentheorie des einatomigen idealen Gases: zweite Abhandlung " [" Monatomic idealna teoria kwantowa gazu: druga rozprawa"], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften ,1925, s. 3-14.
[Einstein 1925b] (de) Albert Einstein , " Zur Quantentheorie des idealen Gases " ["Kwantowa teoria gazu doskonałego "], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften ,1925, s. 18-25.

Powiązane artykuły

Inne rozkłady statystyczne w fizyce statystycznej:
- w mechanice kwantowej: statystyki Fermi-Diraca i Anyona
- w mechanice klasycznej: statystyki Maxwella-Boltzmanna
Funkcja Bose
Fizyka kwantowa
Fizyka statystyczna