Podgrupa jednoparametrowa

Podgrupy do parametru z grupy Lie rzeczywistym G jest grupa Lie morfizmem C : ℝ → G . Dokładniej, c jest sprawdzaniem różniczkowalnym :

{\ Displaystyle \ forall s, t \ in \ mathbb {R}, c (t + s) = c (t) c (s)}

Nieruchomości

Wyprowadzając tę zależność w odniesieniu do zmiennej s i oceniając przy s = 0, otrzymujemy :

{\ Displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, c '(t) = T_ {e} L_ {c (t)} \ lewo (c' (0) \ prawej)}

gdzie L c ( t ) oznacza lewe pomnożenie przez c ( t ). Podgrupa do parametru otrzymano w postaci orbity neutralnym elementu w polu wektorów niezmiennika lewo od G . Takie pole X jest określone przez jego wartość X ( e ) w neutralnym elemencie e . Istnieje zatem zgodność jeden do jednego między podgrupą jednoparametrową a przestrzenią styczną g od G do e :

z dowolną podgrupą z parametrem c lub G związany jest wektor c ' (0) z g ;
dowolnego wektora V o g wiąże się podgrupę jako parametr C : ℝ → G określone przez równanie różniczkowe c '( t ) = T e L C ( t ), [ V ] i początkowy stan C ' (0) = v .

Podgrupy jednoparametrowe w naturalny sposób wpływają na definicję mapy wykładniczej grupy Liego G :

mapa wykładnicza jest mapą exp: g → G zdefiniowaną przez exp ( v ) = c (1), gdzie c jest jednoparametrową podgrupą G związaną z X ;
dowolna jednoparametrowa podgrupa c jest zapisana jednoznacznie c ( t ) = exp ( t . v ), gdzie v = c '(0).

Przykłady

Grupa przemiennych kłamstw

Każda skończona wymiarowa rzeczywista przestrzeń wektorowa E jest grupą Liego, której prawem wewnętrznym jest dodawanie wektorów. Przestrzeń styczna w punkcie 0 E w naturalny sposób identyfikuje się z E jako rzeczywistą przestrzenią wektorową. Podgrupy parametru E to po prostu aplikacje t ↦ t . v , gdzie v biegnie E : że są parametryzowane linie wektora E .

Klasyfikacja przemiennych grup Liego jest znana i elementarna. Wszelkie grupy przemiennej Lie G jest wykonany jako iloraz przestrzeń wektorową S przez dyskretną podgrupy, podsieć E . Podgrupy parametr G ten sposób uzyskuje się prostą przechodzącą przez iloraz parametryzowane E .

Ważnym przykładem jest torus ℝ n / ℤ n . Podgrupy jednoparametrowe to odwzorowania c v : t → t . v mod ℤ n gdzie v przechodzi przez ℝ n . Pojawiają się różne zachowania:

jeśli v jest proporcjonalne do elementu sieci ℤ n , c v jest mapą okresową, zanurzeniem linii rzeczywistej i lokalnym dyfeomorfizmem ℝ na okręgu ℝ n / ℤ n ;
w przeciwnym razie c jest zanurzeniem prawdziwej linii, ale obraz nie jest różnorodnością. W wymiarze n = 2 obraz jest gęsty w torusie. W wyższym wymiarze adhezja obrazu jest zróżnicowaną różnicą podrzędną do torusa, a wszystkie wymiary pośrednie w zakresie od 2 do n są osiągalne.

Grupa rotacyjna

Dla dowolnego niezerowego wektora v ℝ 3 , odwzorowanie R skojarzone z obrotem t osi zorientowanej ℝ. v i kąta t jest jednoparametrową podgrupą grupy SO (3) obrotów przestrzeni euklidesowej.

To są dokładnie wszystkie jednoparametrowe podgrupy SO (3). Warto zauważyć, że wszystkie są aplikacjami okresowymi.

Dla przypomnienia, często parametryzuje się grupę SO (3) według jednostek kwaternionów .

Podgrupy z jednym parametrem S 3 mają jako obrazy ślady rzeczywistych płaszczyzn wektorów H zawierających 1. Są to lokalne dyfeomorfizmy ℝ na dużych kołach S 3 .

Jednoparametrowa grupa dyfeomorfizmów

Definicję można łatwo uogólnić na grupy Liego o nieskończonym wymiarze. Standardowym przykładem jest grupa dyfeomorfizmów rozmaitości różniczkowej M o wymiarze n . Można na przykład wprowadzić pojęcie grupy z jednym parametrem dyfeomorfizmu .

Grupa z jednym parametrem dyfeomorfizmów jest mapą różniczkowalną f : ℝ × M → M taką, że odcinki f t są dyfeomorfizmami rozmaitości M spełniającymi:

{\ displaystyle \ forall t, s \ in \ mathbb {R}, f_ {t + s} = f_ {t} \ circ f_ {s}}

Jest to po prostu różniczkowalna akcja na ℝ milionach .

Pojęcie to należy porównać do pola wektorów:

każdą grupę, z parametrem dyfeomorfizmu f o M wiąże się unikalną dziedzinie wektorów X o M dana przez: ${\ Displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, {\ Frac {d} {dt}} f_ {t} (x) = X \ lewo [f_ {t} (x) \ prawej]}$ ;
I odwrotnie, jeśli M jest zwarty , każde pole wektorowe X o M wiąże się z jednej grupy do danego parametru dyfeomorfizmu f określony przez zależność powyżej i zwany przepływ pola X .

Mówi się wtedy, że to pole jest globalne .

Jeśli M ma większą strukturę ( Riemanna kolektor , symplektycznych rozdzielacz lub kolektor kontakt na przykład), może chcemy sekcje f T na zachowanie tej struktury; w tym przypadku termin dyfeomorfizm zostaje zastąpiony dostosowanym słownictwem.