Relacja Rankine-Hugoniot

Związek Rankine'a-Hugoniot wyrażają nieciągłość różnych ilościach za pośrednictwem fali uderzeniowej lub linii poślizgu w gazie. Został nazwany na cześć Pierre-Henri Hugoniot i Williama Rankine'a .

Ogólny przypadek

Interesują nas równania różniczkowe cząstkowe w wymiarze 1 typu:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe w} {\ częściowe t}} + {\ Frac {\ częściowe f (w)} {\ częściowe x}} = 0}

Równania te są uważane za hiperboliczny gdy jakobian matrycy z F jest diagonalizable i ma dodatnie wartości rzeczywistych, które przyjmuje się tutaj zweryfikowane. Takie równania dopuszczają rozwiązania regularne i nieciągłe, którymi jesteśmy zainteresowani.

Całkujemy powyższe równanie zachowania w pobliżu odciętej $x c$ nieciągłości:

{\ displaystyle \ int _ {x_ {c} - \ varepsilon} ^ {x_ {c} + \ varepsilon} {\ frac {\ częściowe w} {\ częściowe t}} \, \ mathrm {d} x = f [ w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}

Korzystając z reguły integracji Leibniza, chodzi o:

{\ Displaystyle V_ {c} \, [w (x_ {c} - \ varepsilon) -w (x_ {c} + \ varepsilon)] + {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \ int _ { x_ {c} - \ varepsilon} ^ {x_ {c}} w \ mathrm {d} x + {\ frac {\ części} {\ częściowy t}} \ int _ {x_ {c}} ^ {x_ {c } + \ varepsilon} w \ mathrm {d} x = f [w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}

Odnotowano prędkość propagacji nieciągłości. ${\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {\ mathrm {d} x_ {c}} {\ mathrm {d} t}}}$

W ten sposób otrzymujemy relację skoku dla $w$ : $\ varepsilon \ rightarrow 0$

{\ Displaystyle v_ {c} \, [w (x_ {c} - \ varepsilon) -w (x_ {c} + \ varepsilon)] = f [w (x_ {c} - \ varepsilon)] - f [w (x_ {c} + \ varepsilon)]}

Aby uprościć zapisy, napiszemy

{\ Displaystyle v_ {c} \, (w_ {g} -w_ {d}) = f (w_ {g}) - f (w_ {d})}

Równanie burgerów

Prostym przykładem jest równanie Burgersa, które odpowiada powyższej definicji za pomocą i . ${\ displaystyle w = u}$ ${\ displaystyle f (w) = {\ frac {u ^ {2}} {2}}}$

W takim przypadku równanie skoku zostanie zapisane:

{\ displaystyle v_ {c} \, (u_ {d} -u_ {g}) = {\ frac {u_ {d} ^ {2} -u_ {g} ^ {2}} {2}}}

jest

{\ displaystyle v_ {c} = {\ frac {u_ {d} + u_ {g}} {2}}}

Dlatego stacjonarny szok koniecznie implikuje to . ${\ displaystyle u_ {d} = - u_ {g}}$

Równania Eulera

Chwiejny problem

Stosujemy zależność skoku do każdego z równań Eulera :

Ciągłość	${\ displaystyle w = \ rho}$	${\ displaystyle f (w) = \ rho V}$	${\ Displaystyle V_ {c} \, (\ rho _ {d} - \ rho _ {g}) = \ rho _ {d} V_ {d} - \ rho _ {g} V_ {g}}$
Ilość ruchu	${\ displaystyle w = \ rho V}$	${\ Displaystyle f (w) = \ rho V ^ {2} + p}$	${\ Displaystyle V_ {c} \, (\ rho _ {d} V_ {d} - \ rho _ {g} V_ {g}) = (\ rho _ {d} V_ {d} ^ {2} + p_ {d}) - (\ rho _ {g} V_ {g} ^ {2} + p_ {g})}$
Energia	${\ displaystyle w = \ rho E}$	${\ Displaystyle f (w) = (\ rho E + p) V}$	${\ displaystyle v_ {c} \, (\ rho _ {d} e_ {d} - \ rho _ {g} e_ {g}) = (\ rho _ {d} e_ {d} + p_ {d}) V_ {d} - (\ rho _ {g} E_ {g} + p_ {g}) V_ {g}}$

Zanotowaliśmy:

$\ rho$ gęstość,
$V$ prędkość,
$p$ nacisk,
${\ Displaystyle E = e + {\ Frac {v ^ {2}} {2}}}$ całkowita energia na jednostkę masy,
$mi$ wewnętrznej energii na jednostkę masy.

Nieciągłość może być dwojakiego rodzaju:

szok, w którym wszystkie ilości są nieciągłe,
nieciągłość kontaktu, gdy prędkość i ciśnienie są ciągłe. Odpowiada to dwóm bieżącym liniom, które przesuwają się obok siebie, nie przenikając się nawzajem i mając ten sam nacisk (zachowanie pędu). ${\ Displaystyle \ lewo (v_ {c} = V_ {d} = V_ {g} \ prawej)}$

Stacjonarny prawy wstrząs

W przypadku wstrząsu stacjonarnego, takiego jak napotkany w aerodynamice, relacje przeskoku stają się: ${\ displaystyle v_ {c} = 0}$

{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rcl} \ rho _ {d} V_ {d} & = & \ rho _ {g} V_ {g} \\ [0,6em] \ rho _ {d} V_ {d } ^ {2} + p_ {d} & = & \ rho _ {g} V_ {g} ^ {2} + p_ {g} \\ [0.6em] (\ rho _ {d} E_ {d} + p_ {d}) V_ {d} & = & (\ rho _ {g} E_ {g} + p_ {g}) V_ {g} \ end {tablica}}}

Upraszczając równanie skoku energii przez zależność skoku od natężenia przepływu masowego, uzyskujemy zachowanie całkowitej entalpii:

{\ displaystyle H_ {g} = H_ {d}}

lub

{\ Displaystyle H = E + {\ Frac {p} {\ rho}} = e + {\ Frac {V ^ {2}} {2}} + {\ Frac {p} {\ rho}}}

W przypadku gazu doskonałego wyodrębniamy zależności łączące „skoki”, to znaczy stosunek wartości za i przed wstrząsem, wprowadzając liczbę Macha w górę, przyjętą jako dane problemu ${\ Displaystyle p = (\ gamma -1) \ rho e}$

{\ Displaystyle M_ {g} = {\ Frac {V_ {g}} {\ sqrt {\ gamma rT_ {g}}}}}

gdzie r jest określoną stałą gazową .

Te relacje są następujące

{\ Displaystyle R = {\ Frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} = {\ Frac {V_ {g}} {V_ {d}}} = {\ Frac {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2}} {(\ gamma -1) M_ {g} ^ {2} +2}}}

{\ Displaystyle {\ Frac {p_ {d}} {p_ {g}}} = 1 + {\ Frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {g} ^ {2} -1)}

{\ Displaystyle {\ Frac {T_ {d}} {T_ {g}}} = {\ Frac {p_ {d}} {p_ {g}}} {\ Frac {\ rho _ {g}} {\ rho _ {d}}}}

{\ Displaystyle {\ Frac {M_ {d}} {M_ {g}}} = \ lewo [R ^ {2} + {\ Frac {\ gamma -1} {2}} M_ {g} ^ {2} (R ^ {2} -1) \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}}}

Stosunek gęstości jest ograniczony, gdy ${\ Displaystyle M_ {g} \ do \ infty}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} \ do {\ Frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}}

Na przykład dla powietrza utworzonego z cząsteczek dwuatomowych, dla których granica stosunku gęstości jest równa 6. ${\ displaystyle \ gamma = 1,4}$

Możemy również obliczyć zmienność zredukowanej entropii , gdzie C V to pojemność cieplna objętości ${\ Displaystyle {\ Frac {S} {C_ {V}}} = \ ln {\ Frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {S_ {d} -S_ {g}} {C_ {V}}} = \ ln \ lewo ({\ Frac {p_ {d}} {p_ {g}}} \ prawej) - \ gamma \ ln \ left ({\ frac {\ rho _ {d}} {\ rho _ {g}}} \ right)}

Wartość ta wynosi zero dla M g = 1 i rośnie wraz z liczbą Macha. Wartości M g <1 prowadzą do ujemnych wartości zabronionych przez termodynamikę. Nie ma szoku . ${\ displaystyle M_ {g} \ leq 1}$

Stacjonarny ukośny wstrząs

Stacjonarny ukośny wstrząs może występować w geometrycznej konfiguracji typu dwuściennego (patrz rysunek). W ramach równań Eulera pomija się złożone zjawisko interakcji lepkości w bezpośrednim sąsiedztwie ściany.

Napisz zachowanie tensora gęstości pędu przez szok

{\ Displaystyle (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} + p) \ cdot \ mathbf {n} = \ rho {\ begin {pmatrix} V _ {\ perp} ^ {2} i V _ {\ perp} V_ {\ parallel} \\ V _ {\ perp} V _ {\ parallel} & V _ {\ parallel} ^ {2} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + p {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ rho V _ {\ perp} ^ {2} + p \\\ rho V _ { \ perp} V _ {\ parallel} \ end {pmatrix}}}

gdzie jest wstrząs normalny, a składowe V normalne i równoległe, odpowiednio. Stąd relacje konserwatorskie ${\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ początek {pmatrix} 1 \\ 0 \ koniec {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle V _ {\ parallel}}$

{\ Displaystyle \ rho V _ {\ perp d} ^ {2} + p_ {d} = \ rho V _ {\ perp g} ^ {2} + p_ {g}}

{\ displaystyle \ rho V _ {\ perp d} V _ {\ parallel d} = \ rho V _ {\ perp g} V _ {\ parallel g}}

Zapisano zachowanie masy

{\ displaystyle \ rho _ {d} V _ {\ perp d} = \ rho _ {g} V _ {\ perp g}}

Z ostatnich dwóch równań wyprowadza się zachowanie prędkości równoległej , którą w ten sposób zanotujemy ${\ displaystyle V _ {\ parallel d} = V _ {\ parallel g}}$ ${\ displaystyle V _ {\ parallel}}$

System jest zatem identyczny z układem prawidłowego uderzenia dla normalnych prędkości i równoległych prędkości oraz liczby Macha tych składników, a zatem ta ostatnia wielkość jest mniejsza od jedności. Nie przesądza to w żaden sposób o tym, czy przepływ za wstrząsem jest poddźwiękowy czy naddźwiękowy. Z relacji na odpowiedni szok możemy zatem dać ${\ Displaystyle V_ {g} \ sin \ theta}$ ${\ Displaystyle V_ {d} \ sin (\ theta - \ beta)}$ ${\ Displaystyle V_ {g} \ cos \ theta}$ ${\ Displaystyle V_ {d} \ cos (\ theta - \ beta)}$ ${\ displaystyle M_ {g} \ sin \ theta}$ ${\ Displaystyle M_ {d} \ sin (\ theta - \ beta)}$

wyrażenie odnoszące nieznany kąt θ do liczby Macha i do kąta dwuścianu β w postaci niejawnej

{\ Displaystyle {\ Frac {V _ {\ perp 2}} {V _ {\ perp 1}}} = {\ Frac {V _ {\ perp 2}} {V _ {\ parallel}}} {\ Frac {V _ {\ parallel}} {V _ {\ perp 1}}} = {\ frac {\ tan (\ theta - \ beta)} {\ tan \ theta}} = {\ frac {(\ gamma -1 ) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta +2} {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}

który jest uproszczony w

{\ Displaystyle \ tan \ beta = {\ Frac {2} {\ tan \ theta}} \, {\ Frac {M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta -1} {M_ {g } ^ {2} (\ gamma + \ cos 2 \ theta) +2}}}

Odpowiednie krzywe (patrz rysunek) pokazują, że:
- Dwa możliwe kąty wstrząs może odpowiadać w danym dwuścienny kąt uderzenia, a tym samym o różnej grubości ( „siła” jest na przykład mierzona przy skoku ciśnienia); dla słabego wstrząsu (ogólnie spotykanego) wzrost liczby Macha prowadzi do zmniejszenia kąta uderzenia;
- dla danego M istnieje maksimum β uprawniające do prawidłowego uderzenia, poza tym pojawia się inna konfiguracja: zakrzywione uderzenie w czoło podstawy dwuścianu .
skok ciśnienia

{\ Displaystyle {\ Frac {p_ {d}} {p_ {g}}} = 1 + {\ Frac {2 \ gamma} {\ gamma +1}} (M_ {g} ^ {2} \ sin ^ { 2} \ theta -1)}

skok gęstości

{\ Displaystyle {\ Frac {\ rho _ {2}} {\ rho _ {1}}} = {\ Frac {(\ gamma +1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta } {(\ gamma -1) M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta +2}}}

dalsza liczba Macha

{\ Displaystyle M_ {2} = {\ Frac {1} {\ sin (\ theta - \ beta)}} {\ sqrt {\ Frac {1 + {\ Frac {\ gamma -1} {2}} M_ { g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ gamma M_ {g} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta - {\ frac {\ gamma -1} {2}}}} }}

Bibliografia

(in) ® Salas , „ Ciekawe wydarzenia prowadzące do teorii fal uderzeniowych ” , 17th Shock Interaction Symposium , Rzym,2006( czytaj online )
Pierre-Henri Hugoniot , „ Wspomnienie o propagacji ruchów w ciałach, a zwłaszcza w gazach doskonałych (część druga) ”, Journal de l'École Polytechnique , t. 58,1889, s. 1–125 ( czytaj online )
(w) William Rankine , „ O termodynamicznej teorii fal skończonych zaburzeń podłużnych ” , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , tom. 160,1870, s. 277–288 ( czytaj online )
Marc Buffat, „ Relacje przez właściwy szok ”
(w) John D. Anderson, Jr., Fundamentals of Aerodynamics , New York / St. Louis / Paris itp., McGraw-Hill Education ,1991, 772 str. ( ISBN 0-07-001679-8 )

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Rankine - Hugoniot conditions ” ( zobacz listę autorów ) .

Linki zewnętrzne

Obliczanie rzeczywistych wstrząsów gazowych. Zestaw narzędzi Gas Dynamics