W matematyce The Problem Burnside jest jednym z najstarszych pytań i kto miał największy wpływ w teorii grup . W 1902 roku William Burnside zapytał, czy grupa skrętna typu skończonego jest koniecznie skończona. Przypuszczenie to zostało obalone sześćdziesiąt lat później, podobnie jak jego „ograniczony” wariant , podczas gdy jego „ograniczony” wariant został wykazany niedawno przez Efima Zelmanova . Wiele kwestii dotyczących tych tematów jest nadal otwartych.
W artykule opisującym swoje przypuszczenie Burnside zajmuje się przypadkiem, w którym grupa jest nie tylko skrętna, ale ma również skończony wykładnik n równy 2 lub 3, a także przypadkiem, w którym n jest równe 4, a grupa jest generowana przez dwa elementy (w rzeczywistości grupa G typu skończonego, tak że kolejność dowolnego elementu G jest dzielnikiem 4 jest zawsze skończona, niezależnie od liczby jej generatorów). W 1905 roku wykazał, że każda podgrupa zakończona wykładnikiem liniowej grupy GL ( n , ℂ ) jest skończona. W 1911 roku Issai Schur udowodnił, że każda podgrupa skręcania skończonego typu GL ( n , ℂ) jest skończona i określa jej strukturę za pomocą twierdzenia Jordana-Schura .
Jednak ogólne przypuszczenie Burnside zostało obalone w 1964 roku przez Jewgienija Gołoda i Igora Shafarevicha . W 1968 roku Piotr Nowikow i Siergiej Adian obalają nawet ograniczoną wersję. W 1982 roku A. Yu. Ol'shanskii znalazł kilka uderzających kontrprzykładów dla dostatecznie dużych nieparzystych wykładników (większych niż 10 · 10 ) i dostarczył znacznie prostszego dowodu opartego na ideach geometrycznych.
Sprawa nawet wystawców okazała się znacznie trudniejsza do rozwiązania. Siergiej Wasiliewicz Iwanow ogłosił w 1992 r. I opublikował w 1994 r. Kontrprzykłady dla nawet wykładników dostatecznie dużych i podzielnych przez wielką potęgę 2, a następnie wraz z Olszańskim przedstawił negatywne rozwiązanie problemu analogicznego do problemu z Burnside'em dla grup hiperbolicznych : pod warunkiem, że wykładnik jest wystarczająco duży. W przeciwieństwie do tego, gdy wykładnik jest mały, ale różni się od 2, 3, 4 i 6, niewiele wiadomo.
Ponadto Alexei Kostrikin (en) (1958, przypadek pierwszego wykładnika) i Efim Zelmanov (1989, przypadek ogólny) wykazali, że wśród skończonych grup z generatorami m i wykładnikiem n istnieje „większy” (dla każdej pary ( m , n )), aw 1994 roku Zelmanov otrzymał medal Fieldsa za dowód tej „krótkiej” wersji przypuszczenia.
O grupie G mówi się, że jest skrętna, jeśli każdy z jej elementów jest skończony, tj. Jeśli dla dowolnego g w G istnieje liczba całkowita n > 0 taka, że g n = 1. Każda grupa skończona jest wyraźnie skręcona. Łatwo jest zdefiniować nieskończone grupy, które są również skrętne, jak grupy p Prüfera , ale trudno jest znaleźć takie, które są jednocześnie typu skończonego.
Ogólny problem Burnside'a był następujący:
Czy grupa skrętna typu skończonego jest z konieczności skończona?
Golod i Shafarevich odpowiedzi ujemnie 1964, podając przykład w nieskończonej p -group skończonej typu (patrz twierdzenie Golod-Chafarevich w ). Jednak porządki elementów tej grupy nie są a priori ograniczone tą samą stałą.
Część trudności w ogólnym problemie Burnside'a polegała na tym, że ograniczenia „typu skończonego” i „skrętnego” dostarczają bardzo mało informacji o możliwej strukturze grupy. Więzienie silniejsze niż „skręcania” jest „o skończonym wykładniku”, to znaczy prosi się, aby istniało n , takie same dla wszystkich elementów g grupy, takie jak wszystkie g n są równe 1.
Uparty problem z Burnside pytał:
Czy skończona grupa wykładników typu skończonego jest koniecznie skończona?
Grupy wykładnik n z m generatorami, problem ten jest równoważny skończoności grupy Burnside z „ wolnym ” B ( m , n ), które jest „największe” grupa tej rodziny, w tym sensie, że wszystkie są kanonicznej z ilorazów z ten jeden (dlatego wszystkie są skończone wtedy i tylko wtedy, gdy ten jeden jest). Możemy budować tę grupę, roztwór powszechnego problemu , poprzez przedstawienie wydanego przez m generatorami x 1 , ..., x m i nieskończoność Relacje: x n = 1 dla dowolnego słowa x na alfabet x 1 , ..., x m , x 1 –1 ,…, x m –1 .
Możemy wtedy wyjaśnić pytanie:
Dla których liczb całkowitych m , n > 0 jest grupą Burnside'a B ( m , n ) skończoną?
Odpowiedź na to pytanie jest znana tylko częściowo. W swoim oryginalnym artykule Burnside przyjrzał się kilku łatwym przypadkom:
Wiemy też (Burnside, Sanov, Hall)
W 2006 roku nie wiemy, czy B (2, 5) jest skończone.
W 1968 roku, za pomocą skomplikowanego argumentu kombinatorycznego, Nowikow i Adian skonstruowali dla dowolnego nieparzystego n większego lub równego 4 381 nieskończoną grupę wykładnika n i typu skończonego. Adian następnie zredukował tę dolną granicę do 665.
Jeśli żadna ręka nie okazała się znacznie trudniejsza. Dopiero w 1992 r. Siergiejowi Wasiliewiczowi Iwanowowi udało się udowodnić analogię twierdzenia Nowikowa-Adiana: dla każdego m > 1 istnieje parzysta liczba całkowita n ≥ 2 48 , n podzielna przez 2 9 , taka że B ( m , n ) jest nieskończona. Zarówno Nowikow-Adian, jak i Iwanow ustalili znacznie dokładniejsze wyniki dotyczące struktury B ( m , n ). Wykazano, że dla nieparzystego n wszystkie skończone podgrupy B ( m , n ) są cykliczne, a dla parzystego n każda skończona podgrupa jest zawarta w iloczynie dwóch grup dwuściennych , a niektóre są niecykliczne. Wiemy również, że (niezależnie od parytetu n ) problemy słowa i koniugacji (en) w B ( m , n ) są rozstrzygalne .
Słynna klasa przeciwko przykładom Problem Burnside to problem „ potworów Tarskiego (en) ”: nieskończone grupy nieskończenie niecykliczne, z których każda podgrupa jest cyklicznie czystym zakończeniem. Ol'shanskii zbudował w 1979 r. Metodami geometrycznymi pierwsze przykłady takich grup, odpowiadając tym samym twierdząco na pytanie O. Yu. Schmidta. 1982, Ol'shanskii mógł wzmocnienia jego wyniki, stwierdzić istnienie, na str głównego wystarczająco duży (możemy P > 10 75 ), o nieskończonej grupa skończonego typu których każdy nietrywialna właściwa podgrupa jest cykliczny d celu str . W artykule opublikowanym w 1996 roku Ivanov i Ol'shanskii rozwiązali negatywnie problem analogiczny do problemu Burnside'a dotyczący grup hiperbolicznych o wystarczająco dużym wykładniku.
Wąski problem Burnside'a, sformułowany w latach trzydziestych XX wieku, stawia inne powiązane pytanie:
Czy rząd skończonych grup z wykładnikiem n z m generatorami jest ograniczony stałą zależną tylko od n i m ? czy liczba tych grup ( bliskość izomorfizmu ) jest skończona?
Ten wariant problemu Burnside'a można również sformułować w kategoriach pewnej uniwersalnej grupy z m generatorami i wykładnikiem n : niech M będzie przecięciem wszystkich podgrup wskazówki B ( m , n ) d ' zakończonej. Potem M jest normalnie podgrupę , która jest stosowana do określenia grup iloraz B 0 ( m , n ) = B ( m , n ) / M . Dowolna skończona grupa wykładników n z generatorami m jest ilorazem B 0 ( m , n ), a problem ograniczony jest przeformułowany na:
Czy grupa B 0 ( m , n ) jest skończona?
Przypadek, w którym wykładnik n jest liczbą całkowitą pierwszą p, był szczegółowo badany przez Kostrikina w latach pięćdziesiątych XX wieku, przed obaleniem ogólnego przypuszczenia Burnside'a. Jego rozwiązanie, które ustala skończoność B 0 ( m , p ), wykorzystuje związek z głębokimi pytaniami o tożsamości algebry Liego w charakterystycznym pozytywie. Skończoność B 0 ( m , n ) dla dowolnego n została ustalona przez Zelmanova.
(en) John J. O'Connor i Edmund F. Robertson , „A history of the Burnside problem” , w archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( czytaj online ).