Problem Riemanna
W matematyce , o Problem Riemanna , nazwany Bernhard Riemann , wyznacza początkowy problemu danych składającą się z systemu hiperbolicznych równań ewolucyjnych i kawa? Ek- mądry stałej początkowej danych posiadającego tylko jedną nieciągłość. Problemy Riemanna dostarczają jednoznacznych rozwiązań złożonych równań nieliniowych, takich jak równania Eulera , a zatem są bardzo przydatne do zrozumienia ogólnego zachowania rozwiązań takich równań.
W analizie numerycznej problemy Riemanna pojawiają się naturalnie w zastosowaniu metody objętości skończonych i praw zachowania, w szczególności w schemacie Godunowa , ze względu na dyskretny charakter siatki aproksymacyjnej. Dlatego jest szeroko stosowany w obliczeniach numerycznych dynamiki płynów i magnetohydrodynamiki .
Definicja
Rozważamy system praw zachowania (tutaj dla uproszczenia w wymiarze pierwszym):
∂∂tu(t,x)+∂∂xfa(u(t,x))=0,(t,x)∈R+×R,{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \ mathbf {u} (t, x) + {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} \ mathbf {f} (\ mathbf {u } (t, x)) = 0, \ qquad (t, x) \ in \ mathbb {R} _ {+} \ times \ mathbb {R},}gdzie jest nieznane i jest dane. Dodajemy do tego systemu warunek początkowy:
u:R+×R→Rm{\ Displaystyle \ mathbf {u} \ colon \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}fa:Rm→Rm{\ Displaystyle \ mathbf {f} \ colon \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}
u(t=0,x)=sol(x),x∈R,{\ Displaystyle \ mathbf {u} (t = 0, x) = \ mathbf {g} (x), \ qquad x \ w \ mathbb {R},}gdzie jest dane.
sol:R→Rm{\ Displaystyle \ mathbf {g} \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {m.}}
Jeśli funkcja g jest fragmentarycznie stała, to znaczy istnieje , jak również taka
x0∈R{\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R}}(solsol,solre)∈Rm×Rm{\ Displaystyle (\ mathbf {g} _ {G}, \ mathbf {g} _ {D}) \ in \ mathbb {R} ^ {m} \ razy \ mathbb {R} ^ {m}}
sol(x)={solsol,x<x0,solre,x>x0,x∈R,{\ Displaystyle \ mathbf {g} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} \ mathbf {g} _ {G}, & x <x_ {0}, \\\ mathbf {g} _ {D}, & x > x_ {0}, \ end {cases}} \ qquad x \ in \ mathbb {R},}wtedy mówimy, że powyższy układ równań z g dla warunku początkowego jest problemem Riemanna.
Przypadek dynamiki liniowej
Przypadek dynamiki liniowej jest szczególny w tym sensie, że problem można rozwiązać bezpośrednio metodą charakterystyczną .
Na przykład dla liniowego prawa zachowania
∂∂tu(t,x)+vs∂∂xu(t,x)=0,(t,x)∈R+×R,{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} u (t, x) + c {\ frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} u (t, x) = 0, \ qquad (t , x) \ in \ mathbb {R} _ {+} \ times \ mathbb {R},}gdzie jest nieznany skalar i parametr, to rozwiązanie jest propagacją warunku początkowego przy prędkości c , bez odkształcenia:
u:R+×R→R{\ Displaystyle u \ colon \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}vs∈R{\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}sol(x)=u(t=0,x){\ Displaystyle g (x) = u (t = 0, x)}
u(t,x)=sol(x-vst).{\ Displaystyle u (t, x) = g (x-ct).}Sytuacja jest podobna w przypadku systemu hiperbolicznych liniowych praw zachowania
∂∂tu(t,x)+W∂∂xu(t,x)=0,(t,x)∈R+×R,{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \ mathbf {u} (t, x) + A {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} \ mathbf {u} (t, x ) = 0, \ qquad (t, x) \ in \ mathbb {R} _ {+} \ times \ mathbb {R},}gdzie jest nieznane, a A to diagonalizowalna macierz z rzeczywistymi wartościami własnymi. Podajemy prosty przykład inspirowany dynamiką gazu (w) :
u:R+×R→Rm{\ Displaystyle \ mathbf {\ mathbf {u}} \ colon \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}
∂ρ∂t+ρ0∂u∂x=0,∂u∂t+w2ρ0∂ρ∂x=0,{\ displaystyle {\ frac {\ części \ rho} {\ częściowe t}} + \ rho _ {0} {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe x}} = 0, {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} + {\ frac {a ^ {2}} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ części \ rho} {\ częściowe x}} = 0,}z warunkiem początkowym składającym się z dwóch stanów:
[ρu]=[ρsolusol] gdyby x≤0,i[ρu]=[ρre-ure] gdyby x>0.{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {G} \\ u_ {G} \ end {bmatrix}} {\ text {si }} x \ leq 0, \ qquad {\ text {et}} \ qquad {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {D} \\ -u_ {D} \ end {bmatrix}} {\ text {si}} x> 0}
Poprzedni system można przepisać w konserwatywnej formie za pomocą:
∂tu+W∂xu=0{\ Displaystyle \ częściowe _ {t} \ mathbf {u} + A \ częściowe _ {x} \ mathbf {u} = 0}
u=[ρu],W=[0ρ0w2ρ00].{\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}}, \ quad A = {\ begin {bmatrix} 0 & \ rho _ {0} \\ {\ frac {a ^ {2}} {\ rho _ {0}}} & 0 \ end {bmatrix}}.}Te wartości systemu są jego cechy :
. Te wektory własne są
λ1=-w,λ2=w{\ displaystyle \ lambda _ {1} = - a, \ lambda _ {2} = a}
mi(1)=[ρ0-w],mi(2)=[ρ0w].{\ Displaystyle \ mathbf {e} ^ {(1)} = {\ początek {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ koniec {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {e} ^ {(2) } = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}}.}Stan lewy rozkłada się na podstawie wektorów własnych o
usol{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {G}}
usol=[ρsolusol]=α1[ρ0-w]+α2[ρ0w],{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {G} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {G} \\ u_ {G} \ end {bmatrix}} = \ alpha _ {1} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix}} + \ alpha _ {2} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}},}gdzie współczynniki i są obliczane przez identyfikację:
α1{\ displaystyle \ alpha _ {1}}α2{\ displaystyle \ alpha _ {2}}
α1=wρsol-ρ0usol2wρ0 , α2=wρsol+ρ0usol2wρ0{\ Displaystyle \ alpha _ {1} = {\ Frac {a \ rho _ {G} - \ rho _ {0} u_ {G}} {2a \ rho _ {0}}} \ \ \ alpha _ { 2} = {\ frac {a \ rho _ {G} + \ rho _ {0} u_ {G}} {2a \ rho _ {0}}}}W podobny sposób rozkłada się
stan prostyure{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {D}}
ure=[ρreure]=β1[ρ0-w]+β2[ρ0w],{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {D} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {D} \\ u_ {D} \ end {bmatrix}} = \ beta _ {1} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix}} + \ beta _ {2} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}},}ze współczynnikami
β1=wρre-ρ0ure2wρ0 , β2=wρre+ρ0ure2wρ0{\ displaystyle \ beta _ {1} = {\ frac {a \ rho _ {D} - \ rho _ {0} u_ {D}} {2a \ rho _ {0}}} \ \ \ beta _ { 2} = {\ frac {a \ rho _ {D} + \ rho _ {0} u_ {D}} {2a \ rho _ {0}}}}Układ można zatem przepisać jako dwa odsprzężone równania skalarne, jak traktowano wcześniej, pierwsze z prędkością propagacji c = - a i warunkiem początkowym , a drugie z prędkością propagacji c = a i warunkiem początkowym .
α1 gdyby x≤0, β1 gdyby x>0{\ displaystyle \ alpha _ {1} {\ text {si}} x \ leq 0, \ \ beta _ {1} {\ text {si}} x> 0}α2 gdyby x≤0, β2 gdyby x>0{\ displaystyle \ alpha _ {2} {\ text {si}} x \ leq 0, \ \ beta _ {2} {\ text {si}} x> 0}
Więc otrzymujemy ostateczne rozwiązanie
u(t,x)=[ρ(t,x)u(t,x)]={usol,0<t≤-wxu∗,0≤w|x|<ture,0<t≤wx{\ Displaystyle \ mathbf {u} (t, x) = {\ zaczynać {bmatrix} \ rho (t, x) \\ u (t, x) \ koniec {bmatrix}} = {\ zaczynać {przypadki} \ mathbf {u} _ {G}, & 0 <t \ leq -ax \\\ mathbf {u} ^ {*}, & 0 \ leq a | x | <t \\\ mathbf {u} _ {D}, & 0 <t \ leq ax \ end {sprawy}}}gdzie rozwiązanie w dziedzinie między cechami jest zdefiniowane przez
u∗=[ρ∗u∗]=β1[ρ0-w]+α2[ρ0w].{\ Displaystyle \ mathbf {u} ^ {*} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ rho ^ {*} \\ u ^ {*} \ end {bmatrix}} = \ beta _ {1} {\ begin {bmatrix } \ rho _ {0} \\ - a \ end {bmatrix}} + \ alpha _ {2} {\ begin {bmatrix} \ rho _ {0} \\ a \ end {bmatrix}}.}Przykład ten pozwala zrozumieć podstawowe własności problemu Riemanna, aw szczególności dekompozycję rozwiązania na różne domeny czasoprzestrzeni określone przez cechy.
Przykład nieliniowej dynamiki
Uważamy tutaj, że mamy do czynienia z równaniem skalarnym, a nie układem (tutaj m = 1 ), co pozwala zapewnić teorię istnienia i niepowtarzalność nieregularnych słabych rozwiązań (w szczególności przyjmujących nieciągłości): rozwiązania entropiczne . Dlatego rozważamy
∂∂tu(t,x)+∂∂xfa(u)(t,x)=0,(t,x)∈R+×R,{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} u (t, x) + {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} f (u) (t, x) = 0, \ qquad (t, x) \ in \ mathbb {R} _ {+} \ times \ mathbb {R},}gdzie jest nieznane i jest dane. Załóżmy dla uproszczenia, że f jest klasowe i jednolicie wypukłe , co gwarantuje monotonię pochodnej f . Na przykład odpowiada równaniu Burgersa bez lepkości.
u:R+×R→R{\ Displaystyle u \ colon \ mathbb {R} _ {+} \ razy \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}fa:R→R{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}
VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}fa(u)=u2/2{\ Displaystyle f (u) = u ^ {2} / 2}
Aby mieć problem Riemanna, rozważmy warunek początkowy (tutaj )
x0=0{\ displaystyle x_ {0} = 0}
u(t=0,x)={usol,x<0,ure,x>0,x∈R,{\ Displaystyle u (t = 0, x) = {\ rozpocząć {przypadków} u_ {G}, & x <0, \\ u_ {D}, & x> 0, \ koniec {przypadków}} \ qquad x \ w \ mathbb {R},}z danymi.
(usol,ure)∈R×R{\ Displaystyle (u_ {G}, u_ {D}) \ w \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R}}
W przeciwieństwie do przypadku liniowego, metoda charakterystyk pozwala w jeden sposób zdefiniować rozwiązanie tylko na części czasoprzestrzeni , a do ustalenia rozwiązania w przypadkach, gdy cechy związane z dwiema wartościami Warunku początkowego przecinają się, albo wręcz przeciwnie, nie wypełniają całej czasoprzestrzeni.
R+×R{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ times \ mathbb {R}}
- Tak , odpowiada to przypadkowi, w którym cechy się przecinają. Unikalne rozwiązanie entropiczne jest zatem typu szokowego , podane przezure<usol{\ displaystyle u_ {D} <u_ {G}}
u(t,x)={usol,x/t<σ,ure,x/t>σ,(x,t)∈R+∗×R,{\ Displaystyle u (t, x) = {\ rozpocząć {przypadków} u_ {G}, & x / t <\ sigma, \\ u_ {D}, & x / t> \ sigma, \ koniec {przypadków}} \ qquad (x, t) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ times \ mathbb {R},}
gdzie
σ jest szybkością propagacji wstrząsu podaną przez
relacje Rankine-Hugoniot :
σ=fa(usol)-fa(ure)usol-ure.{\ Displaystyle \ sigma = {\ Frac {f (u_ {G}) - f (u_ {D})} {u_ {G} -u_ {D}}}.}
- Tak , odpowiada to przypadkowi, w którym cechy nie wypełniają całej czasoprzestrzeni. Jedyne rozwiązanie entropiczne jest typu fali rozszerzającej , podanej przezure>usol{\ displaystyle u_ {D}> u_ {G}}
u(t,x)={usol,x/t<fa′(usol),sol(x/t),fa′(usol)<x/t<fa′(ure),ure,x/t>fa′(ure),(x,t)∈R+∗×R,{\ Displaystyle u (t, x) = {\ rozpocząć {przypadków} u_ {G}, & x / t <f ^ {\ prime} (u_ {G}), \\ g (x / t), & f ^ {\ prime} (u_ {G}) <x / t <f ^ {\ prime} (u_ {D}), \\ u_ {D}, & x / t> f ^ {\ prime} (u_ { D}), \ end {sprawy}} \ qquad (x, t) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ times \ mathbb {R},}
gdzie odwrotność pochodnej
f .
sol=(fa′)-1{\ Displaystyle g = (f ^ {\ prime}) ^ {- 1}}
W obu przypadkach rozwiązanie jest samopodobne , to znaczy jest zdeterminowane wyłącznie przez stosunek .
x/t∈R{\ Displaystyle x / t \ in \ mathbb {R}}
Bibliografia
- (en) Eleuterio F. Toro , Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Berlin, Springer Verlag,1999
- (en) Randall J. LeVeque , Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems , Cambridge, Cambridge University Press ,2004
- (en) Lawrence C. Evans , Partial Differential Equations , American Mathematical Society,1998
- Jean-François Coulombel, „ Nieliniowe równania hiperboliczne ” , na serwerze kursów online CEL
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">