Wielomian Schura
W matematyce , wielomiany Schur , nazwany na cześć matematyka Issai Schur , są szczególne wielomiany symetryczne , indeksowane przez partycje liczb całkowitych , a które uogólniać elementarne wielomianów symetrycznych i kompletne jednorodnych wielomianów symetrycznych . W teorii reprezentacji są to znaki z reprezentacji wielomianu nieredukowalnych z ogólną grupę liniową . Wielomiany Schura stanowią podstawę przestrzeni wszystkich wielomianów symetrycznych. Iloczyn wielomianów Schura można zapisać jako liniową kombinację wielomianów Schura z naturalnymi współczynnikami całkowitymi ; wartości tych współczynników określa reguła Littlewooda-Richardsona .
Istnieją również lewe wielomiany Schura, które są związane z parami podziałów i które mają właściwości podobne do wielomianów Schura.
Definicja
Wielomiany Schura są indeksowane przez podziały liczb całkowitych lub dokładniej przez malejące skończone sekwencje naturalnych liczb całkowitych. Biorąc pod uwagę takie n -krotne λ = ( λ 1 , λ 2 ,…, λ n ) , gdzie λ j są liczbami całkowitymi, a λ 1 ≥ λ 2 ≥… ≥ λ n ≥ 0 (ten skończony ciąg można postrzegać jako a " partycji”liczby całkowitej D = Ď X j , ale w szerszym znaczeniu, od ostatniego X j mogą być zerowe) dodaje się wielomian zmiennego (w) , to znaczy, że przekształca się w przeciwnym przez transpozycję z zmienne:
wλ(x1,x2,...,xnie)=det(x1λ1x2λ1...xnieλ1x1λ2x2λ2...xnieλ2⋮⋮⋱⋮x1λniex2λnie...xnieλnie).{\ Displaystyle a _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n}) = \ det {\ rozpocząć {pmatrix} x_ {1} ^ {\ lambda _ {1}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {1}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {1}} \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {2}} & x_ {2 } ^ {\ lambda _ {2}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {2}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {n}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {n}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {n}} \ end {pmatrix}}.}![{\ Displaystyle a _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n}) = \ det {\ rozpocząć {pmatrix} x_ {1} ^ {\ lambda _ {1}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {1}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {1}} \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {2}} & x_ {2 } ^ {\ lambda _ {2}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {2}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ x_ {1} ^ {\ lambda _ {n}} & x_ {2} ^ {\ lambda _ {n}} & \ dots & x_ {n} ^ {\ lambda _ {n}} \ end {pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760f277b960339592115f8cd38f0ab85b5c8a525)
Jest zatem podzielna przez wyznacznik Vandermonde , który odpowiada n- tyczce δ = ( n - 1, n - 2,…, 0) :
wδ(x1,x2,...,xnie)=det(x1nie-1x2nie-1...xnienie-1x1nie-2x2nie-2...xnienie-2⋮⋮⋱⋮11...1)=∏1≤jot<k≤nie(xjot-xk).{\ Displaystyle a _ {\ delta} (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n}) = \ det {\ rozpocząć {pmatrix} x_ {1} ^ {n-1} i x_ { 2} ^ {n-1} & \ dots & x_ {n} ^ {n-1} \\ x_ {1} ^ {n-2} & x_ {2} ^ {n-2} & \ dots & x_ {n} ^ {n-2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & 1 & \ dots & 1 \ end {pmatrix}} = \ prod _ {1 \ leq j <k \ leq n} (x_ {j} - x_ {k}).}![{\ Displaystyle a _ {\ delta} (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n}) = \ det {\ rozpocząć {pmatrix} x_ {1} ^ {n-1} i x_ { 2} ^ {n-1} & \ dots & x_ {n} ^ {n-1} \\ x_ {1} ^ {n-2} & x_ {2} ^ {n-2} & \ dots & x_ {n} ^ {n-2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & 1 & \ dots & 1 \ end {pmatrix}} = \ prod _ {1 \ leq j <k \ leq n} (x_ {j} - x_ {k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e66e9773723cba052a0e3cd48c1492ba3a925d)
Wielomian Schura związany z λ jest z definicji wielomianem ilorazowym:
sλ=wλ+δwδ,{\ Displaystyle s _ {\ lambda} = {\ Frac {a _ {\ lambda + \ delta}} {a _ {\ delta}}},}
gdzie n -pierwsze λ i δ są dodawane termin po wyrazie . Jest symetryczny, jako iloraz dwóch naprzemiennych wielomianów.
Wielomiany Schura stopnia d w n zmiennych tworzą podstawę przestrzeni jednorodnych symetrycznych wielomianów stopnia d w n zmiennych.
Równoważne definicje
Dla danego podziału wielomian Schura można również zapisać jako sumę jednomianów w postaci:
λ{\ displaystyle \ lambda}
sλ{\ displaystyle s _ {\ lambda}}![{\ displaystyle s _ {\ lambda}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ad7e5606ce090b9dafd6ab6e28b6fdb85acf05)
sλ(x1,x2,...,xnie)=∑TxT=∑Tx1t1⋯xnietnie{\ Displaystyle s _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ suma _ {T} x ^ {T} = \ suma _ {T} x_ {1 } ^ {t_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {t_ {n}}}![{\ Displaystyle s _ {\ lambda} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ suma _ {T} x ^ {T} = \ suma _ {T} x_ {1 } ^ {t_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {t_ {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9353d7f429ad59f88d625b286e8ef589ab9f27ec)
gdzie sumowanie odnosi się do pół-standardowych tablic Younga formularza ; wykładniki potęgują wagę : innymi słowy, każdy zlicza wystąpienia liczby w . Na przykład jednomian skojarzony z tablicą to .
T{\ displaystyle T}
λ{\ displaystyle \ lambda}
t1,...,tnie{\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n}}
T{\ displaystyle T}
tja{\ displaystyle t_ {i}}
ja{\ displaystyle i}
T{\ displaystyle T}![T](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
x1x3x43x5x6x7{\ displaystyle x_ {1} x_ {3} x_ {4} ^ {3} x_ {5} x_ {6} x_ {7}}![{\ displaystyle x_ {1} x_ {3} x_ {4} ^ {3} x_ {5} x_ {6} x_ {7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a5a8059b3c2b1ad1d0551de11e93c1584addf6)
Wyrażenie jako suma wag tablic Younga jest czasami traktowane jako definicja, na przykład w Sagan 2001 .
Relacje z innymi bazami są często wyrażane wprost. Jedną z rozważanych podstaw są jednomianowe funkcje symetryczne . Biorąc pod uwagę podział , wielomian jest z definicji:
mμ{\ displaystyle m _ {\ mu}}
μ=(μ1,μ2,...,μnie){\ Displaystyle \ mu = (\ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ ldots, \ mu _ {n})}
mμ{\ displaystyle m _ {\ mu}}![{\ displaystyle m _ {\ mu}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951fae7cd04778b6159ca2491838a799c4cd3408)
mμ=∑xja1μ1xja2μ2⋯xjanieμnie{\ displaystyle m _ {\ mu} = \ suma x_ {i_ {1}} ^ {\ mu _ {1}} x_ {i_ {2}} ^ {\ mu _ {2}} \ cdots x_ {i_ { n}} ^ {\ mu _ {n}}}![{\ displaystyle m _ {\ mu} = \ suma x_ {i_ {1}} ^ {\ mu _ {1}} x_ {i_ {2}} ^ {\ mu _ {2}} \ cdots x_ {i_ { n}} ^ {\ mu _ {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a04d5c1451fe16aaa736c59820b79b53cb118f)
gdzie sumowanie obejmuje wszystkie permutacje liczb całkowitych od 1 do . Na przykład otrzymujemy za:
(ja1,ja2,...,janie){\ Displaystyle (i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {n})}
nie{\ displaystyle n}
μ=(2,1,0){\ Displaystyle \ mu = (2, 1, 0)}![{\ Displaystyle \ mu = (2, 1, 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185d839976182514ae5d34aa980c7197442c8559)
m(2,1,0)=x12x2+x12x3+x1x22+x1x32+x22x3+x2x32{\ Displaystyle m _ {(2,1,0)} = x_ {1} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} x_ {3} + x_ {2} x_ {3} ^ {2}}
.
Wielomiany Schura są liniowymi kombinacjami symetrycznych wielomianów jednomianowych z naturalnymi współczynnikami całkowitymi zanotowanymi i zwanymi liczbami Kostki . Liczba Kostki (która zależy od dwóch przegród i ) jest z definicji równa liczbie półstandardowych tablic Younga o kształcie i wadze .
K.λμ{\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}
K.λμ{\ displaystyle K _ {\ lambda \ mu}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
μ{\ displaystyle \ mu}
λ{\ displaystyle \ lambda}
μ{\ displaystyle \ mu}![\ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
Wyrażenie wielomianów Schura jako kombinacji jednomianów symetrycznych wielomianów to:
sλ=∑μK.λμmμ. {\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ suma _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} m _ {\ mu}. \}![{\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ suma _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} m _ {\ mu}. \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3b7df8f83a1a4451439f85506af318854d246b)
W kompletne jednorodne wielomiany symetryczne
godzk(x1,x2,...,xnie)=∑1≤ja1≤ja2≤⋯≤jak≤niexja1xja2⋯xjak,{\ Displaystyle h_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n}) = \ suma _ {1 \ równoważnik i_ {1} \ równoważnik i_ {2} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik i_ {k} \ leq n} x_ {i_ {1}} x_ {i_ {2}} \ cdots x_ {i_ {k}},}![{\ Displaystyle h_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n}) = \ suma _ {1 \ równoważnik i_ {1} \ równoważnik i_ {2} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik i_ {k} \ leq n} x_ {i_ {1}} x_ {i_ {2}} \ cdots x_ {i_ {k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b896fe01d95ab2c9a58add549d90059a01ca96f)
to znaczy suma wszystkich jednomianów stopnia , dostarcza innego przykładu. Dwie formuły obejmujące wyznaczniki to formuły Jacobiego- Trudiego . Pierwsza wyraża wielomiany Schura jako wyznacznik w kategoriach pełnych jednorodnych wielomianów symetrycznych :
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
sλ=detja,jotgodzλja+jot-ja.{\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} h _ {\ lambda _ {i} + ji}.}![{\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} h _ {\ lambda _ {i} + ji}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3afd396972ca53dc6d4e58bc97109d07a278aa4)
Dla partycji o w jednej części, musimy po prostu
(re){\ displaystyle (d)}
re{\ displaystyle d}![re](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
s(re)=godzre{\ displaystyle s _ {(d)} = h_ {d}}![{\ displaystyle s _ {(d)} = h_ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a451a40a6dd70f302e2f525bd32d4e468607045d)
.
Ten ostatni związek jest łatwy do zrozumienia. Rzeczywiście, jeśli partycja zawiera tylko jeden termin, powiązane tabele Younga mają tylko jeden wiersz z komórkami wypełnionymi liczbami całkowitymi, które rosną w szerokim sensie. Każda tabela odpowiada określeniu pełnego jednorodnego wielomianu symetrycznego .
nie{\ displaystyle n}
godzre{\ displaystyle h_ {d}}![{\ displaystyle h_ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4689b1326cea2bdd54ae33d92bc854b6f669c5d)
Druga formuła wyraża wielomiany Schura jako wyznacznik w postaci elementarnych wielomianów symetrycznych . Oznaczamy elementarny wielomian symetryczny, który jest sumą różnych iloczynów różnych zmiennych wśród . Mamy :
mik(x1,...,xnie){\ Displaystyle e_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}
k{\ displaystyle k}
nie{\ displaystyle n}![nie](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
sλ=detja,jotmiλja′+jot-ja{\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} e _ {\ lambda '_ {i} + ji}}![{\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ det _ {i, j} e _ {\ lambda '_ {i} + ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7d406c26f654c3b412f21aeb46bbf6016eddd4)
,
gdzie jest podwójna partycja . W przypadku partycji, w której wszystkie części są równe 1, otrzymujemy
λ′{\ displaystyle \ lambda '}
λ{\ displaystyle \ lambda}
(1)re{\ displaystyle (1) ^ {d}}![{\ displaystyle (1) ^ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e694d598c2b2a29aa3b645569d46c40392600ab)
s(1)re=mire{\ Displaystyle s _ {(1) ^ {d}} = e_ {d}}![{\ Displaystyle s _ {(1) ^ {d}} = e_ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e445eda5a37763f1dce7944e5101deaac4afe8)
.
Również tutaj ostatnia formuła jest łatwa do zrozumienia. Tabele Younga składają się z jednej kolumny komórek, a liczby całkowite, które się w nich pojawiają, są coraz większe. Dlatego każda tabela zapewnia jednomian elementarnego symetrycznego wielomianu .
nie{\ displaystyle n}
mire{\ displaystyle e_ {d}}![e_ {d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b1879b5ddaf95ac3b730a7de24afd722bb9824f)
Te formuły nazywane są „tożsamościami determinantami”. Inną formą tego typu jest formuła Giambellego (in) , która wyraża wielomian Schura podziału w kategoriach przegrody kwadratowej zawartej w odpowiednim diagramie Younga. W notacji Frobenius zapisuje się partyturę
(w1,...wr|b1,...br){\ Displaystyle (a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})}![{\ Displaystyle (a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd1d60771dedeb946286f556c6f095037985653)
gdzie dla każdego elementu przekątnego na pozycji liczba całkowita to liczba komórek po prawej stronie i w tym samym wierszu oraz liczba komórek poniżej i w tej samej kolumnie (odpowiednio długość „ramienia” i „noga”).
(ja,ja){\ displaystyle (i, i)}
wja{\ displaystyle a_ {i}}
bja{\ displaystyle b_ {i}}![{\ displaystyle b_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a8c2db2990a53c683e75961826167c5adac7c3)
Tożsamość Giambellego wyraża partyturę jako wyznacznik
s(w1,...wr|b1,...br)=det(s(wja|bjot)){\ Displaystyle s _ {(a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})} = \ det (s _ {(a_ {i} | b_ {j })})}![{\ Displaystyle s _ {(a_ {1}, ... a_ {r} | b_ {1}, ... b_ {r})} = \ det (s _ {(a_ {i} | b_ {j })})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a16f90843e409493adbe284db77c2855c18c56)
.
Wreszcie, ocena wielomianu Schura w (1,1, ..., 1) daje liczbę pół-standardowych tablic Younga postaci z wpisami w . Możemy pokazać, stosując na przykład wzoru znaku WEYL (en) , który
sλ{\ displaystyle s _ {\ lambda}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
{1,2,...,nie}{\ Displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}
sλ(1,1,...,1)=∏1≤ja<jot≤nieλja-λjot+jot-jajot-ja.{\ Displaystyle s _ {\ lambda} (1,1, \ kropki, 1) = \ prod _ {1 \ równoważnik ja <j \ równoważnik n} {\ Frac {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j } + ji} {ji}}.}![{\ Displaystyle s _ {\ lambda} (1,1, \ kropki, 1) = \ prod _ {1 \ równoważnik ja <j \ równoważnik n} {\ Frac {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j } + ji} {ji}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1670bc3ccd1a3b7171c5452af6928529613ae8)
Przykład
Poniższy przykład ilustruje te definicje. Rozważamy przypadek . Przegrody całości w większości części są . Mamy
nie=3,re=4{\ Displaystyle n = 3, d = 4}
re=4{\ displaystyle d = 4}
nie=3{\ displaystyle n = 3}
(2,1,1),(2,2),(3,1),(4){\ Displaystyle (2, 1, 1), (2, 2), (3, 1), (4)}![{\ Displaystyle (2, 1, 1), (2, 2), (3, 1), (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9ce9d45008c8263cfdfccc5f4dcf5196f51621)
s(2,1,1)(x1,x2,x3)=1Δdet(x14x24x34x12x22x32x1x2x3)=x1x2x3(x1+x2+x3){\ Displaystyle s _ {(2,1,1)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ zaczynać { pmatrix} x_ {1} ^ {4} i x_ {2} ^ {4} i x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {2} i x_ {2} ^ {2} i x_ { 3} ^ {2} \\ x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} \ end {pmatrix}} = x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} \, (x_ { 1} + x_ {2} + x_ {3})}
s(2,2,0)(x1,x2,x3)=1Δdet(x14x24x34x13x23x33111)=x12x22+x12x32+x22x32+x12x2x3+x1x22x3+x1x2x32{\ Displaystyle s _ {(2, 2, 0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ zaczynać { pmatrix} x_ {1} ^ {4} i x_ {2} ^ {4} i x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {3} i x_ {2} ^ {3} i x_ { 3} ^ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} = x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} \, x_ {3} + x_ { 1} \, x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} + x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} ^ {2}}![{\ Displaystyle s _ {(2, 2, 0)} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ frac {1} {\ Delta}} \; \ det {\ zaczynać { pmatrix} x_ {1} ^ {4} i x_ {2} ^ {4} i x_ {3} ^ {4} \\ x_ {1} ^ {3} i x_ {2} ^ {3} i x_ { 3} ^ {3} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} = x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} \, x_ {2} \, x_ {3} + x_ { 1} \, x_ {2} ^ {2} \, x_ {3} + x_ {1} \, x_ {2} \, x_ {3} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd5c89877cc52facf5ca14a8e2a251ae7a014c8)
I tak dalej. Drugi ze wzorów Jacobiego-Trudiego podaje wyrażenia:
- s(2,1,1)=mi1mi3{\ Displaystyle s _ {(2,1,1)} = e_ {1} \, e_ {3}}
![{\ Displaystyle s _ {(2,1,1)} = e_ {1} \, e_ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21e15095b2d5636b9ec4b211e9b200db9c6d3bc)
- s(2,2,0)=mi22-mi1mi3{\ Displaystyle s _ {(2,2,0)} = e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3}}
![{\ Displaystyle s _ {(2,2,0)} = e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0ebf2d18e00f537e0e6342c57bf39aa2252d10)
- s(3,1,0)=mi12mi2-mi22-mi1mi3+mi4{\ Displaystyle s _ {(3,1,0)} = e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} -e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3} + e_ {4}}
![{\ Displaystyle s _ {(3,1,0)} = e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} -e_ {2} ^ {2} -e_ {1} \, e_ {3} + e_ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f86e01e1141f179b916bd6c03eb29428ee59049)
- s(4,0,0)=mi14-3mi12mi2+2mi1mi3+mi22-mi4.{\ Displaystyle s _ {(4,0,0)} = e_ {1} ^ {4} -3 \, e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} +2 \, e_ {1} \ , e_ {3} + e_ {2} ^ {2} -e_ {4}.}
![{\ Displaystyle s _ {(4,0,0)} = e_ {1} ^ {4} -3 \, e_ {1} ^ {2} \, e_ {2} +2 \, e_ {1} \ , e_ {3} + e_ {2} ^ {2} -e_ {4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b6c261d54e0c66d85700acfeb5138b1bb30f4f)
Każdy jednorodny symetryczny wielomian stopnia 4 w trzech zmiennych jest wyrażany w unikalny sposób jako liniowa kombinacja tych czterech wielomianów Schura. Rozważmy na przykład wielomian:
ϕ(x1,x2,x3)=x14+x24+x34{\ Displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}}![{\ Displaystyle \ phi (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23583329d09b4335feaba445d4bc3040c9f9ee21)
Jest to rzeczywiście jednorodny symetryczny wielomian stopnia 4 w trzech zmiennych. Znaleźliśmy :
ϕ=s(2,1,1)-s(3,1,0)+s(4,0,0).{\ Displaystyle \ phi = s _ {(2,1,1)} - s _ {(3,1,0)} + s _ {(4,0,0)}. \, \!}![{\ Displaystyle \ phi = s _ {(2,1,1)} - s _ {(3,1,0)} + s _ {(4,0,0)}. \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff1180c47289891a8befbd8392a75ee216f663c)
Związek z teorią reprezentacji
Wielomiany Schura są zaangażowane w teorię reprezentacji grup symetrycznych, ogólnej grupy liniowej i grup jednostkowych . Wzór znaku Weyla sugeruje, że wielomiany Schura są znakami nieredukowalnych reprezentacji ogólnych grup liniowych o skończonym stopniu, co pozwala uogólnić pracę Schura na inne zwarte i półproste grupy Liego .
Konsekwencjami tego związku jest kilka wyrażeń. Najważniejsze jest rozszerzenie funkcji Schura w postaci sum Newtona . Jeśli oznaczymy charakter grupy symetrycznej indeksowanej przez punktację ocenianą w elementach, których typ cyklu jest określony przez punktację , tosλ{\ displaystyle s _ {\ lambda}}
pk=∑jaxjak{\ displaystyle p_ {k} = \ sum _ {i} x_ {i} ^ {k}}
χρλ{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
ρ{\ displaystyle \ rho}![\ rho](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
sλ=∑ρ=(1r1,2r2,3r3,...)χρλ∏kpkrkrk!krk,{\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ suma _ {\ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ kropki)} \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda} \ prod _ {k} {\ frac {p_ {k} ^ {r_ {k}}} {r_ {k}! k ^ {r_ {k}}}}, }![{\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ suma _ {\ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ kropki)} \ chi _ {\ rho} ^ {\ lambda} \ prod _ {k} {\ frac {p_ {k} ^ {r_ {k}}} {r_ {k}! k ^ {r_ {k}}}}, }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71f0fab44616b4d33bf31b872384cef9e6159ab)
gdzie oznacza, że partycja ma części długości .
ρ=(1r1,2r2,3r3,...){\ Displaystyle \ rho = (1 ^ {r_ {1}}, 2 ^ {r_ {2}}, 3 ^ {r_ {3}}, \ kropki)}
ρ{\ displaystyle \ rho}
rk{\ displaystyle r_ {k}}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Funkcje Left Schur
Lewo funkcja Schur zależy od dwóch partycjach i . Można to zdefiniować przez właściwość:
sλ/μ{\ Displaystyle s _ {\ lambda / \ mu}}
λ{\ displaystyle \ lambda}
μ{\ displaystyle \ mu}![\ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
⟨sλ/μ,sν⟩=⟨sλ,sμsν⟩.{\ Displaystyle \ langle s _ {\ lambda / \ mu}, s _ {\ nu} \ rangle = \ langle s _ {\ lambda}, s _ {\ mu} s _ {\ nu} \ rangle.}![{\ Displaystyle \ langle s _ {\ lambda / \ mu}, s _ {\ nu} \ rangle = \ langle s _ {\ lambda}, s _ {\ mu} s _ {\ nu} \ rangle.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d8e3ca906ef59942ee4ef08a2bda43d7cebaf6)
Podobnie jak w przypadku zwykłych wielomianów Schura, istnieją różne sposoby ich obliczania. Odpowiednie tożsamości Jacobi-Trudi to:
sλ/μ=(godzλja-μjot-ja+jot),1≤ja,jot≤l(λ){\ Displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = (h _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ równoważnik ja, j \ równoważnik l (\ lambda) }![{\ Displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = (h _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ równoważnik ja, j \ równoważnik l (\ lambda) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa8e71bc6dbe79a0d2909652ed12b0dbba241929)
,
sλ′/μ′=(miλja-μjot-ja+jot),1≤ja,jot≤l(λ){\ Displaystyle s _ {\ lambda '/ \ mu'} = (e _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ równoważnik ja, j \ równoważnik l (\ lambda)}![{\ Displaystyle s _ {\ lambda '/ \ mu'} = (e _ {\ lambda _ {i} - \ mu _ {j} -i + j}), 1 \ równoważnik ja, j \ równoważnik l (\ lambda)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18adbb506bc59ec14d3ba487ca3bd3c936362d3e)
.
Istnieje również kombinatoryczna interpretacja lewych wielomianów Schura, a mianowicie jako suma wszystkich półstandardowych tablic Younga postaci :
λ/μ{\ Displaystyle \ lambda / \ mu}![\ lambda / \ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94fd7751f3b86d1e12a00860f051bf3dc29c39c0)
sλ/μ=∑xT{\ Displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = \ suma x ^ {T}}![{\ Displaystyle s _ {\ lambda / \ mu} = \ suma x ^ {T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a2995d19e7bfba5495edc1ffa922231c496553)
gdzie podsumowanie odnosi się tym razem do półstandardowych tabel formularza .
λ/μ{\ Displaystyle \ lambda / \ mu}![\ lambda / \ mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94fd7751f3b86d1e12a00860f051bf3dc29c39c0)
Powiązane artykuły
Uwagi i odniesienia
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w
języku angielskim zatytułowanego
„ Wielomian Schura ” ( zobacz listę autorów ) .
Uwagi
-
Według Sagana 2002 jest to pierwotna definicja Schura.
-
Lascoux 1984 , str. 1.
-
(it) „ Nicola Trudi (1811 - 1884) ” w Mathematica Italiana .
-
Stanley 1999 , waltornia. 7.17.5.
Bibliografia
- Alain Lascoux, „ Funkcje symetryczne ”, Lotharingian Seminar on Combinatorics , vol. 8,1984, s. 37-58, artykuł n o B08f ( czytać online )
- (en) Ian G. Macdonald , Funkcje symetryczne i wielomiany Halla , The Clarendon Press Oxford University Press, wyd. „Oxford Mathematical Monograph”,1995, 2 II wyd. , 475, str. ( ISBN 978-0-19-853489-1 , recenzje matematyczne 1354144 )
- (en) Bruce E. Sagan (en) , The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions , New York / Berlin / Heidelberg etc., Springer-Verlag , coll. " GTM " ( N O 203)2001, 2 II wyd. , 238 str. ( ISBN 0-387-95067-2 , prezentacja online )
- (en) Bruce E. Sagan , „Schur functions in algebraic combinatorics” , w: Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , czytaj online )
- (en) Richard P. Stanley , Enumerative Combinatorics , vol. 2 [ szczegóły wydań ] ( prezentacja online )
- (en) Bernd Sturmfels , Algorithms in Invariant Theory , Nowy Jork, Springer,1993( ISBN 0-387-82445-6 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">