Prostopadłość

Prostopadłość (od łacińskiego per-pendiculum „  pion  ”) jest charakter obu jednostek geometrycznych przecinających się pod kątem prostym . Prostopadłość jest ważną właściwością w geometrii i trygonometrii , gałęzi matematyki opartej na trójkątach prostokątnych , obdarzonej szczególnymi właściwościami dzięki dwóm prostopadłym segmentom .

W geometrii płaskiej dwie linie są prostopadłe, gdy przecinają się pod kątem prostym. Pojęcie prostopadłości rozciąga się na przestrzeń dla linii lub płaszczyzn .

Pojęcia ortogonalności i prostopadłości, choć podobne, mają swoją specyfikę i nie należy ich mylić.

W geometrii płaskiej

W płaskiej geometrii euklidesowej dwie nierównoległe linie są zawsze sieczne. Kiedy przecinają się pod kątem prostym (tj. cztery kąty proste), mówi się, że są prostopadłe. Kierunki linii są ortogonalne , o liniach mówi się również, że są ortogonalne. Z drugiej strony dwa segmenty mogą mieć kierunki ortogonalne bez przecinania się. Tylko wtedy, gdy segmenty przecinają się pod kątem prostym, można powiedzieć, że są prostopadłe.

W płaszczyźnie, przez dany punkt, tylko jedna prosta przechodzi prostopadle do danej prostej.

W płaszczyźnie pojęcia linii prostopadłych i równoległych łączą następujące własności:

Jeżeli płaszczyzna jest wyposażona w ortonormalny układ współrzędnych [możemy, zakładając, że uzyskaliśmy twierdzenie Pitagorasa , poprzez warunek wspomniany obok na ilustracji, znaleźć warunek klasyczny (ac + bd = 0) tak, że dwa Wektory u ( a, b) i v (c, d) są prostopadłe (mówimy również ortogonalne)], a jeśli proste są określone równaniami i , proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników prowadzących aa 'jest równy -1.

Jeśli płaszczyzna ma ortonormalny układ współrzędnych i jeśli linie są określone równaniami i , to linie są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy .

Prostopadłość zaznaczamy symbolem ; w ten sposób wskazuje, że odcinek PQ jest prostopadły do ​​odcinka AB.

W przestrzeni trójwymiarowej

Prostopadłe linie

Dwie linie w przestrzeni są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy przecinają się pod kątem prostym. W przestrzeni linie nierównoległe nie mogą się przecinać. Jeśli jedna z linii jest równoległa do prostej prostopadłej do drugiej, mówi się, że dwie linie są prostopadłe . Mówi się, że są prostopadłe tylko wtedy, gdy są sieczne.

W przestrzeni, jeżeli dana jest prosta i jeżeli podany jest punkt nie leżący na tej prostej, to przez dany punkt przechodzi tylko jedna prosta prostopadła do danej prostej. Jeżeli punkt znajduje się na prostej, to przez ten punkt przechodzi nieskończoność linii prostopadłych do danej prostej.

W przestrzeni pojęcia równoległości i prostopadłości nie są już tak powiązane.

Linia prostopadła do płaszczyzny

W przestrzeni, jeśli linia nie jest równoległa do płaszczyzny, zawsze przecina tę płaszczyznę. Jeśli linia jest prostopadła do dwóch przecinających się linii płaszczyzny, powiemy, że jest prostopadła do płaszczyzny. Linia będzie wtedy prostopadła do wszystkich linii płaszczyzny. Ta właściwość jest czasami nazywana twierdzeniem o drzwiach, ponieważ wyjaśnia, dlaczego drzwi mogą obracać się na zawiasach, jeśli ich oś obrotu jest prostopadła do podłogi.

W przestrzeni przez dany punkt przechodzi tylko jedna prosta prostopadła do danej płaszczyzny i tylko jedna płaszczyzna prostopadła do danej linii.

Następnie znajdujemy ciekawsze relacje na prostopadłych i równoległych

Kierunek prostopadły do ​​powierzchni w punkcie jest często nazywany kierunkiem normalnym do powierzchni lub prostopadłym .

Płaszczyzny prostopadłe

Pojęcie płaszczyzn prostopadłych, choć intuicyjne, jest bardzo niebezpieczne, ponieważ praktycznie nie ma właściwości. Aby zrozumieć pojęcie prostopadłych płaszczyznach, musimy powrócić do pierwszej definicji perpendiculum ( pionu ) i do pojęcia pionowej płaszczyźnie i poziomej płaszczyźnie . Płaszczyzna pozioma to płaszczyzna prostopadła do kierunku pionu. Płaszczyzna pionowa to płaszczyzna zawierająca kierunek pionu. Mówi się wtedy, że płaszczyzna pionowa jest prostopadła do płaszczyzny poziomej.

Z tego pierwszego pojęcia rodzi się następująca definicja: Płaszczyzna jest prostopadła do drugiej, jeśli zawiera prostą prostopadłą do drugiej płaszczyzny. Udowadniamy, że ta relacja jest symetryczna.

Nie ma pojęcia płaszczyzn ortogonalnych w wymiarze 3. Dwie płaszczyzny byłyby ortogonalne, gdyby dowolny kierunek pierwszego planu był prostopadły do ​​dowolnego kierunku drugiej płaszczyzny, co jest materialnie niemożliwe.

Musimy uważać na pojęcie płaszczyzn prostopadłych. Na przykład :

Jednak nadal istnieją pewne właściwości

Ogólne pojęcie prostopadłych podprzestrzeni w dowolnym wymiarze

W przestrzeni euklidesowej mówi się, że dwie podprzestrzenie wektorowe są ortogonalne, gdy dowolny wektor jednej jest ortogonalny do dowolnego wektora drugiej. Są one wtedy automatycznie sumowane bezpośrednio . Zatem dwie płaszczyzny trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej nie mogą być ortogonalne.

O dwóch podprzestrzeniach wektorowych mówi się, że są prostopadłe, gdy ich ortogonalne, uzupełniające są prostopadłe. Zatem dwie płaszczyzny wektorowe przestrzeni trójwymiarowej są prostopadłe, gdy ich linie normalne są prostopadłe.

Uwagi i referencje

  1. Serge Lang, Algebra liniowa 1 , intereditions, s. 13 i 17
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">