Optymalizacja topologiczna

Optymalizacji topologii jest to metoda matematyczna (i oprogramowanie) w celu znalezienia optymalnego rozkładu materiału w danej objętości pod wpływem stresu. Różni się w szczególności od optymalizacji kształtu, która zmienia tylko granicę części, która musiała zostać narysowana na początku.

Znane do tej pory metody optymalizacji topologicznej umożliwiają optymalizację wytrzymałości mechaniczno-sprężystej, przewodnictwa cieplnego lub niektórych problemów związanych z przepływem cieczy.

Historia

Ta metoda matematyczna została jasno zdefiniowana, wyjaśniona i wykorzystana w mechanice w 2000 roku , w szczególności w artykule założycielskim Ole Sigmunda.

Coraz bardziej wyrafinowane oprogramowanie do optymalizacji topologicznej pozwala inżynierom na zapisanie możliwego materiału obiektu przy jednoczesnym zachowaniu lub poprawie jego wytrzymałości lub elastyczności (jeśli to konieczne) i biorąc pod uwagę ograniczenia, jakie będą na niego nałożone, pracować raz w oparciu o intuicję, metodę metody prób i błędów i / lub geniuszu twórców i / lub inżynierów produkcji.
Bardzo prostym przykładem jest zoptymalizowana redukcja liczby szprych w kole rowerowym. Do tej pory zajmowano się tylko prostymi formularzami, ponieważ oprogramowanie to jest bardzo intensywne obliczeniowo lub zostało szybko ograniczone przez złożoność wymaganej pracy.
Wpaździernik 2017, w czasopiśmie Nature naukowcy z duńskiego uniwersytetu przedstawiają metodę wykonywania tej pracy dla dużych obiektów, poprzez poprawę możliwej rozdzielczości (obraz 2D składa się z pikseli, podczas gdy obraz 3D składa się z wokseli . do niedawna , rozdzielczość zoptymalizowanych modeli 3D była ograniczona do 5 milionów wokseli, ale nowy program optymalizuje obiekty do 1 miliarda wokseli, pozwalając na przykład na modelowanie i przeprojektowanie go w celu optymalizacji za pomocą 5% lżejszego skrzydła Boeinga 777, jednocześnie wzmacnianego od wewnątrz przez zakrzywione pręty i ukośne żebra i już nie w postaci siatki ... z oczekiwaną oszczędnością 200 ton nafty / rok. potrzeba 5 dni obliczeń przez superkomputer i ten projekt (który przypomina wnętrze niektórych kości lub wnętrza części egzoszkieletów owadów) jest obecnie „nienasycony”, ale postęp druku 3D może wkrótce to ująć w naszym zasięgu.

Formalizm matematyczny

Stany

Ogólny problem optymalizacji topologicznej jest postawiony jako

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {Find}} \ quad & \ min _ {\ rho} {\ mathcal {J}} (u (\ rho), \ rho) \\ {\ tekst {temat à}} \ quad & G_ {0} (\ rho) = \ int _ {\ Omega} \ rho {\ text {d}} VV _ {\ text {max}} \ leq 0 \\ & G_ {i} (\ rho) \ leq 0 \ quad (i \ geq 1) \ end {aligned}}}$

lub

Zmienną projektową ( projekt ) jest gęstość materiału. 1 oznacza obecność materiału, a 0 oznacza brak materiału. Zmienna stanu jest rozwiązaniem równania różniczkowego, które modeluje zjawisko w grze, zgodnie z projektem (na ogół równania sprężystości ); ${\ Displaystyle \ rho: \ Omega \ rightarrow [0,1]}$ ${\ Displaystyle u (\ rho)}$ $\ rho$
${\ mathcal {J}}$ to koszt funkcjonalny . Reprezentuje wielkość zainteresowania, którą chcemy zminimalizować lub zmaksymalizować (ogólnie elastyczność lub sztywność);
$\Omega$ jest przestrzenią projektową, czyli zbiorem punktów podlegających optymalizacji;
Wiązania umożliwiają narzucenie konkretności ostatecznemu kształtowi. Na przykład nałóż ograniczenie na maksymalną ilość materiału, jaką można mieć. $G_ {i}$ ${\ displaystyle G_ {0}}$ ${\ displaystyle V _ {\ text {max}}}$

Interpolacja właściwości materiałów

Rozwiązanie tego problemu ma na celu określenie optymalnego rozmieszczenia materiału w przestrzeni projektowej . Przez moduł Younga jest właściwość, który określa zdolność materiału do odkształcania. Ta cecha musi być interpolowana zgodnie z gęstością (miejsca, w których występuje materiał, są sztywne, w przeciwieństwie do tych, w których występuje próżnia). Na przykład podejście SIMP ( Solid Isotropic Material with Penalization ) wykorzystuje prawo potęgowe do określenia modułu Younga zgodnie z gęstością w punkcie: $\Omega$ $mi$ $\ rho$

${\ Displaystyle E (\ rho) = E _ {\ tekst {min}} + \ rho ^ {p} (E-E _ {\ tekst {min}})}$

Parametr (zazwyczaj ) penalizuje wartości od 0 do 1 w celu uzyskania wyniku binarnego. przyjmuje się bardzo blisko 0, aby reprezentować próżnię, ale nie zero, aby uniknąć zerowych składników w macierzy rozdzielczości metody elementów skończonych . $p$ $p = 3$ ${\ displaystyle E _ {\ text {min}}}$

Stosowane są inne podejścia, takie jak metoda RAMP, która obejmuje racjonalną interpolację .

Charakterystyka optymalności

Zniesienie gradientu w punkcie jest warunkiem koniecznym dla optymalności w przypadku nieograniczonego problemu. Pochodną w rozumieniu torty umożliwia obliczenia gradientu funkcjonalne w kierunku : $\delta$

${\ Displaystyle d {\ mathcal {J}} (\ rho; \ delta) = \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ Frac {{\ mathcal {J}} (\ rho + t \ delta) - {\ mathcal {J}} (\ rho)} {t}} = (\ nabla {\ mathcal {J}} (\ rho), \ delta)}$

Trudno jest uzyskać analityczne rozwiązanie tego problemu. Numeryczne metody optymalizacji, takie jak wykorzystanie gradientu w celu uzyskania prawie optymalnych projektów . W tych algorytmach można uwzględnić ograniczenia przy użyciu różnych technik karania . ${\ displaystyle \ nabla {\ mathcal {J}}}$

Realizacja

W mechanice rozwiązanie problemu optymalizacji topologicznej obejmuje modelowanie części lub zestawu części, które mają być zoptymalizowane metodą elementów skończonych . Klasyczna metoda optymalizacji topologicznej polega więc na uwzględnieniu w dowolnym punkcie optymalizacji objętości gęstości materii w zakresie od 0 do 1. Inne metody uwzględniają lokalną orientację materiału (w przypadku materiałów nieizotropowych) lub nawet inne cechy. Optymalizacja zasadniczo polega na tych metodach, aby zminimalizować energię odkształcenia konstrukcji, co jest mniej więcej tym samym, co znalezienie możliwie najbardziej sztywnej konstrukcji. W ten sposób można albo ustalić ilość materiału używanego do podkreślenia optymalnych kształtów, poprowadzić projekt i optymalizację wykonaną w innym miejscu lub bezpośrednio dążyć do zdefiniowania kształtu, minimalizując ilość materiału do użycia w celu zmniejszenia obciążenia aż do możliwa struktura, z uwzględnieniem ograniczenia, którego nie można przekraczać. W praktyce dla wyniku możliwego do wykorzystania (ponieważ jest to chmura gęstości materii, która jest generowana a priori, a nie ciało stałe o dobrze zdefiniowanej granicy) dodaje się metody penalizacji, filtrowania i progowania, w szczególności w celu narzucenia określone ograniczenia geometryczne związane z procesem produkcyjnym (symetrie, dopuszczenie pustej objętości lub jej brak,…, linia podziału).

Główne etapy i trudności, które należy podjąć, są na ogół następujące:

Zdefiniuj specyfikacje części, która ma zostać zaprojektowana:
- Naprawdę dostępna przestrzeń: często jest znacznie większa niż ewentualnie istniejąca część i może zostać dodatkowo powiększona poprzez przekształcenie funkcji, która ma być faktycznie spełniona, i otaczających ją ograniczeń dla tej części lub zestawu części do przeprojektowania. Nie zapomnij o miejscach, w których materiał jest nałożony lub zabroniony (ze względów funkcjonalnych lub estetycznych).
- Połączenia mechaniczne z otoczeniem: konieczne jest dokonanie przeglądu możliwych połączeń z sąsiednimi częściami, ponieważ często istnieje znacznie większa swoboda dla stref mocowania niż przewidziano z góry. Czasami nie jest łatwo odróżnić, które strefy zablokować lub które strefy są obciążone siłami, a najbardziej pragmatyczne jest wtedy wyobrażenie sobie, jak część można przetestować na stole testowym, na przykład ze stałymi ogniwami i gniazdami.
- Poddane naprężenia mechaniczne: należy wziąć pod uwagę wszystkie obciążenia mechaniczne widziane przez część, poza główną funkcją, tj. siły związane z etapami produkcji (w szczególności obróbka skrawaniem), siły związane z obsługą części (montaż / demontaż części, transport), siły przypadkowe (wstrząsy), na przykład.
- Symetrie i warunki wytwarzania (co jest coraz lepiej uwzględniane przez oprogramowanie obliczeniowe).
Rozpocznij obliczenia optymalizacji topologicznej: grubość siatki musi być dostosowana do pożądanej precyzji przestrzennej i dostępnych zasobów komputera; obliczenia mogą być długie, dlatego staramy się dokonywać pierwszych obliczeń w skali kilku minut, aby później je dopracować. Konieczne jest również sprawdzenie, jak algorytm bierze pod uwagę różne przypadki obciążeń. W istocie, jeśli poszukuje się możliwie najbardziej sztywnej struktury dla danej masy, po prostu sumuje się energie różnych ładunków, a następnie wskazane jest, aby je zważyć między nimi, być może. Z drugiej strony, jeśli celem jest uzyskanie jak najlżejszej części, która nie pęka, nie ma potrzeby ważenia.
Analiza wyniku: Aby pokazać łatwo zrozumiałą część (z dobrze zdefiniowaną pustą i pełną), wynik jest zwykle filtrowany przez oprogramowanie do wyświetlania (np. Pełny odpowiada obszarom o gęstości materiału większej niż 50%, w przeciwnym razie jest to próżnia). Należy zatem wziąć pod uwagę, że generalnie jest to mniej lub bardziej gęsty / porowaty materiał, który jest rzeczywiście uwzględniany przez algorytm i że możliwe strefy materiału niezwiązanego z resztą są całkiem możliwe, na wyświetlaczu, ponieważ są one połączone z resztą materiałem o niskiej gęstości, a nie są wyświetlane. Wynik należy zatem zinterpretować w celu zdefiniowania części złożonej z pustej i pełnej, jak najbliżej tego, co proponuje algorytm. Istnieją parametry (czasami ukryte) do szczegółowego zbadania tych subtelności: próg wyświetlania materiału (domyślnie 50% ogólnie), kara (parametr ograniczający strefy gęstości do około 50%, ale który może obniżyć zbieżność algorytmów), filtrowanie / wygładzanie ( filtr pozwalający wyeliminować detale uważane za zbyt małe) oraz oczywiście gładkość siatki (co pozwala na odsłonięcie mniej lub bardziej drobnych szczegółów). Na tym etapie często zdajemy sobie sprawę, że uzyskany kształt jest absurdalny, generalnie w następstwie zapomnienia o głównym ograniczeniu lub dlatego, że problem został źle postawiony (na przykład jeśli nie ma wystarczających połączeń z ramą, aby utrzymać część, lub z powodu blokad lub siły zostały przyłożone do obszaru, na którym materiał jest zabroniony).
Rysowanie i weryfikacja: po utrwaleniu interpretacji wyników część może zostać narysowana możliwie najbliżej uzyskanej topologii (liczba prętów / blach, orientacja, względne grubości), ale możliwie bardziej przyjemna dla oka, ponieważ tak zwane „organiczne” kształty uzyskane w wyniku optymalizacji topologicznej nie zawsze są odpowiednie. Dlatego czasami nakłada się zewnętrzną powłokę na część (część widoczną), ograniczając optymalizację topologiczną tylko wewnątrz części, która ma zostać rozjaśniona (część niewidoczna). Najlepiej, jeśli to możliwe, zastosować konstrukcje kratowe (czyli ciasną sieć belek lub ścian, np. Pianek), aby umieścić materiał o pośredniej gęstości tam, gdzie wynikają z obliczeń (tak natura wykorzystuje różne gęstości drewna w drzewie) lub o różnej gęstości kości u kręgowców.

Bibliografia

G. Allaire, S. Aubry, E. Bonnetier i F. Jouve, „ Topological Optimization of Structures by Homogenization ” ,1998(dostęp 24 grudnia 2008 )
(en) Sigmund O., „ Kod optymalizacji topologii 99 linii napisany w Matlab ” , Struct Multidisc Optim 21, 120–127, Springer-Verlag 2001 ,2001( czytaj online )
Andrew Wagner (2017) Watch superkomputer zaprojektować radykalne nowe skrzydło dla samolotów , opublikowany 04 październik 2017
Niels Aage, Erik Andreassen, Boyan S. Lazarov i Ole Sigmund (2017) Giga-wokselowa obliczeniowa morfogeneza w projektowaniu strukturalnym | Natura | 550,84–86 | 5 października 2017 r. | Doi: 10,1038 / nature23911 | Opublikowano 4 października 2017 r.
(w) Joshua D. Deaton i V. Ramana Grandhi , „ Przegląd optymalizacji topologii kontinuum strukturalnego i multidyscyplinarnego: po 2000 r. ” , Optymalizacja strukturalna i multidyscyplinarna , tom. 49, n o 1,1 st styczeń 2014, s. 1-38 ( ISSN 1615-1488 , DOI 10.1007 / s00158-013-0956-z , czytaj online , dostęp 20 listopada 2019 )
Bourdin B (2001) Filtry w optymalizacji topologii . Int. J. Numer. Metody inż. 50, 2143–2158
Catherine Vayssade, „ Optymalizacja mechaniczna, optymalizacja topologiczna ” ,2004(dostęp 24 grudnia 2008 )
„ Optymalizacja topologiczna w celu przyspieszenia projektowania ” , na MetalBlog ,7 listopada 2017 r

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Topopt Research Group , witryna bardzo kompletnej uniwersyteckiej grupy badawczej zajmującej się optymalizacją topologiczną.
Topostruct , bezpłatne oprogramowanie do optymalizacji topologii.
Inspire , komercyjne oprogramowanie do optymalizacji konstrukcji, w szczególności poprzez optymalizację topologiczną
Animacje optymalizacji topologicznej
TOPOPTIM , topologiczna procedura optymalizacji zaimplementowana w kodzie elementów skończonych CAST3M
OptiStruct , komercyjne oprogramowanie do optymalizacji struktur, w szczególności poprzez optymalizację topologiczną

Bibliografia

Aage N, Andreassen & Lazarov BS (2015) Optymalizacja topologii przy użyciu PETSc: łatwa w użyciu, w pełni równoległa platforma optymalizacji topologii typu open source . Struct. Multidiscipl. Optim. 51, 565–572
Alexandersen J, Sigmund O & Aage N (2016) Trójwymiarowa optymalizacja topologii na dużą skalę radiatorów chłodzonych konwekcją naturalną . Int. J. Heat Mass Transfer 100, 876–891 | PDF, 24 str
Amir O, Aage N & Lazarov BS (2014) On multigrid-CG dla efektywnej optymalizacji topologii . Struct. Multidiscipl. Optim. 49, 815–829
Alexandersen J & Lazarov B (2015) Optymalizacja topologii produkowanych detali mikrostrukturalnych bez separacji skali długości przy użyciu wstępnego kondycjonera wstępnego o podstawie zgrubnej widmowej . Comput. Metody Appl. Mech. Inż. 290, 156-182
Bell JH (2011) Pomiary farby wrażliwe na nacisk na wspólnym modelu badawczym NASA w 11-stopowym transonicznym tunelu aerodynamicznym NASA . Podczas 49th AIAA Aerospace Sciences Meeting, w tym New Horizons Forum i Aerospace Exposition 1128 (AIAA)
Bendsøe MP, Sigmund O, Bendsøe MP & Sigmund O (2004). Optymalizacja topologii poprzez rozmieszczenie materiału izotropowego (str. 1-69) . Springer Berlin Heidelberg.
Bendsøe MP i Kikuchi N (1988) Generowanie optymalnych topologii w projektowaniu strukturalnym przy użyciu metody homogenizacji . Comput. Metody Appl. Mech. Inż. 71, 197–224
Bendsøe MP i Sigmund O (2004) Optymalizacja topologii - teoria, metody i zastosowania (Springer)
Bruns TE i Tortorelli DA (2001) Optymalizacja topologii nieliniowych struktur sprężystych i zgodnych mechanizmów . Comput. Metody Appl. Mech. Inż. 190, 3443–3459 | abstrakcyjny
Cavazzuti, M. i in. (2011) Konstrukcja podwozia samochodowego o wysokiej wydajności: podejście oparte na optymalizacji topologii . Struct. Multidiscipl. Optim. 44, 45–56
Chin T & Kennedy G (2016) Wielkoskalowa minimalizacja podatności i optymalizacja topologii wyboczenia nieodkształconego skrzydła Common Research Model . Na 57. konferencji AIAA / ASCE / AHS / ASC Structures, Structural Dynamics and Materials 0939 (AIAA) | abstrakcyjny
Evgrafov, A., Rupp, CJ, Maute, K. & Dunn, ML (2008) Optymalizacja topologii równoległej na dużą skalę przy użyciu solvera dual-primal substructuring . Struct. Multidiscipl. Optim. 36, 329–345 | abstrakcyjny
Groen JP i Sigmund O. (2017) Oparta na homogenizacji optymalizacja topologii dla mikrostruktur o wysokiej rozdzielczości . Int. J. Num. Metody inż. Podsumowanie https://doi.org/10.1002/nme.5575%7C
Helms, H. & Lambrecht, U. (2007) Potencjalny wkład lekkiego obciążenia w zmniejszenie zużycia energii w transporcie . Int. J. Ocena cyklu życia. 12, 58–64
Jensen, JS i Sigmund, O. (2011) Optymalizacja topologii dla nano-fotoniki . Laser Photonics Rev. 5, 308–321 | abstrakcyjny
Kennedy, G. & Martins, J. A (2012) Porównanie metalowych i kompozytowych skrzydeł samolotów przy użyciu aerostructural design Optimization . Na 12. konferencji AIAA Aviation Technology, Integration, and Operations (ATIO) oraz 14. konferencji AIAA / ISSMO Multidisciplinary Analysis and Optimization 5475, https://arc.aiaa.org/doi/abs/10.2514/6.2012-5475 (AIAA)
Kenway GKW, Kennedy GJ & Martins J (2014) Skalowalne podejście równoległe do analizy aeroelastycznej stanu ustalonego o wysokiej wierności i obliczeń pochodnych pomocniczych . AIAA J. 52, 935–951
Nomura T, Sato K, Taguchi K, Kashiwa T & Nishiwaki S (2007) Optymalizacja topologii strukturalnej do projektowania szerokopasmowych anten rezonatora dielektrycznego z wykorzystaniem techniki w dziedzinie czasu skończonej różnicy skończonej . Int. J. Numer. Metody inż. 71, 1261-1296 | abstrakcyjny
Rao J, Kiran S, Kamesh J, Padmanabhan M & Chandra S (2009) Optymalizacja topologii skrzydła samolotu. J. Aerosp. Sci. Technol. 61, 402–414
Saad Y (2003) Iterative Methods for Sparse Linear Systems, rozdział 9.4.1 (SIAM)
Stanford B & Dunning P (2014) Optymalna topologia konstrukcji żeber i dźwigarów samolotu pod obciążeniem aeroelastycznym . J. Aircr. 52, 1298–1311
Sardan O i in. (2015) Szybkie prototypowanie urządzeń opartych na nanorurkach przy użyciu mikrochiperów o zoptymalizowanej topologii . Nanotechnology 19, 495503 (2008)
Sigmund OA (2001) 99-liniowy kod optymalizacji topologii napisany w Matlabie . Struct. Multidiscipl. Optim. 21, 120-127
Tortorelli DA i Michaleris P (1994) Analiza wrażliwości projektu: przegląd i przegląd. Reverse Probl. Inż. 1, 71–105
Wolff J The Law of Bone Remodeling (Springer, 1986) [tłum.]
Zhu, J., Zhang, W. & Xia, L. (2008) Optymalizacja topologii w projektowaniu konstrukcji lotniczych i kosmicznych . Łuk. Comput. Metody inż. 23, 1-28 (2015)