Całkowita średnia harmoniczna
W arytmetyce , całkowita średnia harmoniczna jest ściśle dodatnią liczbą całkowitą, której dodatnie dzielniki mają liczbę całkowitą jako średnią harmoniczną . Innymi słowy, jeśli a 1 , a 2 , ..., a n są dzielnikami liczby,
nie1w1+1w2+⋯+1wnie=nie∑ja=1nie1wja{\ Displaystyle {\ Frac {n} {{\ Frac {1} {a_ {1}}} + {\ Frac {1} {a_ {2}}} + \ cdots + {\ Frac {1} {a_ { n}}}}} = {\ frac {n} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {a_ {i}}}}}}![{\ frac n {{\ frac 1 {a_ {1}}} + {\ frac 1 {a_ {2}}} + \ cdots + {\ frac 1 {a_ {n}}}}} = {\ frac n {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac 1 {a_ {i}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ab1a11391e12f04695e8e8475291ea26402196)
musi być liczbą całkowitą. Liczby te zostały zdefiniowane przez Øystein Ore w 1948 i pojawia się w angielskiej literaturze matematycznej pod różnymi nazwami, w szczególności Harmonic numer dzielnik , (harmoniczne) Numery ruda jest , Liczby harmoniczne , numery z integralnym średnia harmoniczna ; wydaje się, że nie ma żadnej sprawdzonej terminologii w języku francuskim.
Pierwsze dwanaście liczb całkowitych średnich harmonicznych to:
1 , 6 , 28 , 140 , 270 , 496 , 672, 1638, 2 970, 6 200, 8 128 , a 8 190 (kontynuacja A001599 z OEIS ).
Na przykład liczba 140 ma dla dzielników 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 i 140. Ich średnia harmoniczna to
121+12+14+15+17+110+114+120+128+135+170+1140{\ Displaystyle {\ Frac {12} {1 + {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {4}} + {\ Frac {1} {5}} + {\ Frac {1} } {7}} + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {14}} + {\ frac {1} {20}} + {\ frac {1} {28}} + {\ frac {1} {35}} + {\ frac {1} {70}} + {\ frac {1} {140}}}}}![{\ frac {12} {1 + {\ frac 12} + {\ frac 14} + {\ frac 15} + {\ frac 17} + {\ frac 1 {10}} + {\ frac 1 {14}} + {\ frac 1 {20}} + {\ frac 1 {28}} + {\ frac 1 {35}} + {\ frac 1 {70}} + {\ frac 1 {140}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d719d364c5397215a68e66ad127f4e00505283b)
w związku z tym jest równe 5, liczba całkowita.
Podobnie 496 ma dzielniki 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 i 496, których średnia harmoniczna wynosi 5.
Cztery z wymienionych liczb (6, 28, 496, 8128) są również liczbami idealnymi . Rudy dowiodły, że wszystkie liczby idealne są tego typu. Podobnie jak liczby doskonałe, całkowite średnie harmoniczne są zwykle liczbami parzystymi , przynajmniej w obserwowanych przedziałach. Ruda faktycznie przypuszczała, że oprócz 1 nie ma liczb nieparzystych o całkowitej harmonicznej średniej (dowód na to przypuszczenie prowadziłby do klasycznego przypuszczenia, że nie ma nieparzystych liczb doskonałych).
W 1972 roku William Mills wykazał, że oprócz 1, nie ma liczby nieparzystej z całkowitą średnią harmoniczną, której czynniki pierwsze są mniejsze niż 10 7 . W 2007 Chishiki, Goto i Ohno udowodnił, że dla każdej liczby całkowitej M , jest co najwyżej skończoną ilość liczb nieparzystych harmonicznych że pełne średnie wszystkie czynniki pierwsze (stała liczba zamknij) są ograniczone przez M .
Bibliografia
(en) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu z
angielskiej Wikipedii zatytułowanego
„ Dzielnik harmoniczny numer ” ( zobacz listę autorów ) .
-
(in) Øystein Ore , " Na średnich dzielnikach liczby " , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol. 55,1948, s. 615-619 ( czytaj online ).
-
Zobacz na przykład odpowiedni artykuł w Wikipedii w języku angielskim ; (en) M. Garcia, „O liczbach ze średnią harmoniczną”, Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol. 61, 1954, s. 89-96 ; (en) GL Cohen i Deng Moujie, „O uogólnieniu liczb harmonicznych Ore”, Nieuw. Łuk. Wisk. , lot. 4, nr 16, 1998, str. 161-172 .
-
(w) WH Mills, „We conjecture of Ore”, Proceedings of the 1972 Number Theory Conference , University of Colorado, Boulder, 1972, s. 142-146 .
-
(w) Y Chisiki, T. Goto i Y. Ohno, „On the Largest Prime divisor of a nieparzysta harmoniczna”, Math. Comp. , lot. 76, 2007, s. 1577-1587 .
Zobacz też
Powiązany artykuł
Liczba prymitywna półdoskonała
Linki zewnętrzne
- (en) Graeme L. Cohen , „ Liczby, których dodatnie dzielniki mają małą całkową średnią harmoniczną ” , Math. Comp. , vol. 66,1997, s. 883-891 ( czytaj online )
- (en) Joseph B. Muskat , „ O dzielnikach nieparzystych liczb doskonałych ” , Math. Comp. , vol. 20,1996, s. 141-144 ( czytaj online )
- (en) Eric W. Weisstein , „ Harmonic Divisor Number ” , na MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">