Ruch Lagrange'a bączku

Ruch Lagrange'a bączka to ruch ciężkiego bączka wokół punktu na jego osi, przy czym reakcja podpory w tym punkcie ma moment zerowy ( doskonały przegub kulowy ).

Jest to mniej więcej ruch zwykłego blatu, z tym wyjątkiem, że w blacie jego czubek jest okrągły i ślizga się podczas tarcia na płaszczyźnie, na której „spoczywa”: dzięki zastosowaniu twierdzenia o żyroskopowym momencie obrotowym wstaje i idzie w uśpioną pozycję górną (tj. stabilny obrót wokół osi pionowej).

Jeśli prawidłowa rotacja blatu jest bardzo szybka, obserwujemy ruch precesyjny ze stałą prędkością kątową wprost proporcjonalną do ciężaru, co weryfikujemy eksperymentalnie wagą żyroskopową , przy stałym kącie nutacji . Wskazane jest, aby najpierw zbadać ten łatwiejszy przypadek, zanim podejdziemy do ogólnego przypadku, w którym nutacja oscyluje między dwiema wartościami, przy czym precesja ma zmienną prędkość.

Przybliżenie żyroskopowe

Notacje

Zauważamy :

O punkt stały osi wrzeciona służący jako podpora,
G środek bezwładności wrzeciona,
$({\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}}, {\ vec {k}})$ układ odniesienia Galileusza uważany za stały, skierowany pionowo, ${\ vec {k}}$
${\ displaystyle ({\ vec {I}}, {\ vec {J}}, {\ vec {K}})}$ ruchomy układ odniesienia połączony z blatem, skierowany wzdłuż osi blatu, $\ vec {K}$
$\ theta$ kąt pomiędzy i (kąt nutacji ), ${\ vec {k}}$ $\ vec {K}$
$\ vec {u}$ wektor jednostkowy prostopadle do pary ( , ). Kąt pomiędzy i jest kątem precesji. Niech wektor jednostkowy będzie prostopadły do pary ( , ), ${\ vec {k}}$ $\ vec {K}$ $\ psi$ ${\ vec {\ imath}}$ $\ vec {u}$ ${\ vec {w}}$ $\ vec {K}$ $\ vec {u}$
$\ varphi$ kąt pomiędzy a . to właściwy kąt obrotu, $\ vec {u}$ ${\ displaystyle {\ vec {I}}}$ $\ varphi$
g przyspieszenie ziemskie, m masa wierzchołka w odległości między O a środkiem bezwładności wierzchołka.

Kąty , , są kąty Eulera . $\ varphi$ $\ theta$ $\ psi$

Równanie

Chwilowy wektor obrotu wierzchołka w stosunku do stałego układu odniesienia wynosi:

{\ Displaystyle {\ vec {\ Omega}} = {\ kropka {\ psi}} {\ vec {k}} + {\ kropka {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ kropka {\ varphi }} {\ vec {K}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) {\ vec {w}} + ({ \ dot {\ varphi}} + {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta)) {\ vec {K}}}

Biorąc pod uwagę właściwości osiowej symetrii wrzeciona formowania oznaczają przez A , A , C, przez momenty bezwładności wrzeciona, obliczone O , w odniesieniu do osi lub osi . Pędu wrzeciona względem punktu O jest: ${\ displaystyle ({\ vec {I}}, {\ vec {J}}, {\ vec {K}})}$ ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {w}}, {\ vec {K}})}$

{\ Displaystyle {\ vec {L}} = {\ kropka {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ kropka {\ psi}} \ sin (\ theta) {\ vec {w}} + C ({\ dot {\ varphi}} + {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta)) {\ vec {K}}}

Ciężar frezu i reakcja gleby w kształcie litery O wywierają moment obrotowy . ${\ Displaystyle mga \ sin (\ theta) {\ vec {u}}}$

Twierdzenie o momencie pędu w O jest napisane:

{\ Displaystyle {\ vec {OG}} \ klin m {\ vec {g}} = mga \ sin (\ teta) {\ vec {u}} = {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {L}}} {{\ rm {d}} t}}}

Załóżmy, że oś routera nie jest pionowa. Umieszczamy się w repozytorium pośrednim . Chwilowy wektor obrotu pośredniego układu odniesienia względem stałego układu odniesienia wynosi :, Twierdzenie o momencie pędu wyrażone w układzie pośrednim odniesienia wynosi: ${\ displaystyle (O, {\ vec {u}}, {\ vec {w}}, {\ vec {K}})}$ ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {w}}, {\ vec {K}})}$ $({\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}}, {\ vec {k}})$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ Omega _ {\ rm {int}}}} = {\ kropka {\ psi}} {\ vec {k}} + {\ kropka {\ theta}} {\ vec {u} } = {\ dot {\ theta}} {\ vec {u}} + {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) {\ vec {w}} + {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) {\ vec {K}}}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} mga \ sin (\ theta) \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} {\ begin {pmatrix} A {\ dot {\ theta}} \\ A {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \\ C ({\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}) \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} {\ dot {\ theta}} \\ {\ dot {\ psi}} \ sin (\ theta) \\ { \ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) \ end {pmatrix}} \ wedge {\ begin {pmatrix} A {\ dot {\ theta}} \\ A {\ dot {\ psi}} \ sin ( \ theta) \\ C ({\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}) \ end {pmatrix}}}

co daje systemowi:

{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} mga \ sin (\ theta) & = & A {\ ddot {\ theta}} & + C {\ kropka {\ psi}} \ sin (\ theta) ( {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}}) - A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ \ 0 & = & A {\ ddot {\ psi}} \ sin (\ theta) + A {\ dot {\ psi}} {\ dot {\ theta}} \ cos (\ theta) & + A {\ dot {\ psi}} {\ dot {\ theta}} \ cos (\ theta) -C {\ dot {\ theta}} ({\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot { \ varphi}}) \\ 0 & = & C {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} ({\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + { \ dot {\ varphi}}) & + \, 0 \ end {matrix}} \ right.}

Trzecie równanie wyraża, że jest to stała , co oznacza, że składowa momentu pędu wzdłuż jest stała. Dlatego drugie równanie staje się: ${\ Displaystyle {\ kropka {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ kropka {\ varphi}}}$ $\omega$ $\ vec {K}$

{\ displaystyle 0 = A {\ ddot {\ psi}} \ sin (\ theta) + 2A {\ kropka {\ psi}} {\ kropka {\ theta}} \ cos (\ theta) -C {\ kropka { \ theta}} \ omega}

a jeśli zostanie pomnożony przez , prawa strona staje się pochodną , wielkości, która jest zatem również stała, równa składnikowi momentu pędu zgodnie z . $\ sin (\ theta)$ ${\ Displaystyle A {\ kropka {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ teta) + C \ omega \ cos (\ teta)}$ ${\ displaystyle L_ {Oz}}$ ${\ vec {k}}$

Przybliżona rozdzielczość

Umieszczamy się w ramach przybliżenia żyroskopowego, gdy prędkość kątowa jest duża w porównaniu z innymi prędkościami kątowymi. W tym przypadku równość jest przybliżana w , a równość jest przybliżana w . Ta ostatnia równość oznacza w szczególności, że jest stała. Pierwsze równanie staje się wtedy, w którym przybliżamy . ${\ displaystyle {\ kropka {\ varphi}}}$ ${\ Displaystyle {\ kropka {\ psi}} \ cos (\ teta) + {\ kropka {\ varphi}} = \ omega}$ ${\ displaystyle {\ kropka {\ varphi}} = \ omega}$ ${\ Displaystyle A {\ kropka {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ teta) + C \ omega \ cos (\ teta) = L_ {Oz}}$ ${\ Displaystyle C \ omega \ cos (\ teta) = L_ {Oz}}$ $\ theta$ ${\ Displaystyle mga \ sin (\ teta) = C {\ kropka {\ psi}} \ sin (\ teta) \ omega -A {\ kropka {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ teta) \ sin (\ theta)}$ ${\ Displaystyle mga \ sin (\ teta) = do {\ kropka {\ psi}} \ sin (\ teta) \ omega}$

Wynika, że :

Własna kątowa prędkość obrotowa jest stała, równa . ${\ displaystyle {\ kropka {\ varphi}}}$ $\omega$
Kąt nutacji jest stały $\ theta$
Prędkość kątowa precesji jest stała, równa . ${\ displaystyle {\ kropka {\ psi}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {mga} {C \ omega}}}$

Możemy to zauważyć i są równoległe, ponieważ i . W związku z tym równanie ruchu jest również zapisane: ${\ vec {L}}$ ${\ displaystyle {\ vec {OG}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {OG}} = a {\ vec {K}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {L}} = C \ omega {\ vec {K}}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {{\ rm {d}} {\ vec {l}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ vec {OG}} \ klin m {\ vec {g} }}$

{\ Displaystyle {\ Frac {{\ rm {d}} {\ vec {l}}} {{\ rm {d}} t}} = - {\ frac {ma {\ vec {g}}} {C \ omega}} \ wedge {\ vec {L}}}

Mówiąc bardziej ogólnie, każdy system fizyczny weryfikujący równanie tego typu ze stałą niezerową będzie taki, że wektor będzie podlegał ruchowi precesji wokół osi kierowanej przez , przy czym ta ostatnia jest dokładnie równa wektorowi prędkości kątowej precesji. Rzeczywiście, jest ortogonalna , dlatego moduł L tego wektora jest stały. I jest prostopadła do stałego wektora , więc składowa wzdłuż tego wektora jest również stała. Poprzednie dwa warunki powodują, że opisuje stożek osi . Nie jest więc trudno zweryfikować, czy prędkość precesji jest taka, jak zapowiadana. ${\ Displaystyle {\ Frac {{\ rm {d}} {\ vec {l}}} {{\ rm {d}} t}} = {\ vec {\ omega}} _ {p} \ wedge {\ z {L}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {l}}} {{\ rm {d}} t}}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ vec {l}}} {{\ rm {d}} t}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {p}}$

Przykładem takiego zjawiska jest precesja Larmora , wpływająca na moment pędu dipola magnetycznego o tej właściwości, że jego moment magnetyczny jest proporcjonalny do pola magnetycznego, w którym jest zanurzony (tak jest w przypadku wielu cząstek). Zwróć uwagę na współczynnik proporcjonalności. Moment pędu spełnia wtedy równanie typu . Jeśli to pole magnetyczne jest stałe, wykonaj ruch precesji osi , z prędkością kątową precesji równą . ${\ vec {B}}$ $\gamma$ ${\ Displaystyle {\ Frac {{\ rm {d}} {\ vec {l}}} {{\ rm {d}} t}} = - \ gamma {\ vec {B}} \ wedge {\ vec { L}}}$ ${\ vec {L}}$ ${\ vec {B}}$ ${\ displaystyle - \ gamma {\ vec {B}}}$

Precesja równonocy

Poprzednie badanie dotyczyło również zjawiska precesji równonocy , polegającej na zastąpieniu momentu ciężaru wierzchołka parą wywieraną przez Słońce i Księżyc na równikowej kulce Ziemi. Jako pierwsze przybliżenie, teoretyczne wyrażenie prędkości kątowej precesji to:

{\ Displaystyle {\ dot {\ psi}} = - {\ Frac {3} {2}} G {\ Frac {CA} {C}} \ left ({\ Frac {M _ {\ rm {Soleil}} } {d _ {\ rm {Słońce}} ^ {3}}} + {\ frac {M _ {\ rm {Księżyc}}} {d _ {\ rm {Księżyc}} ^ {3}}} \ right ) {\ frac {\ cos (\ theta)} {\ omega}}}

gdzie używamy średnich odległości i od Ziemi do Słońca i Księżyca. i są masami Słońca i Księżyca, G są stałą powszechnej grawitacji , C i A są momentami bezwładności Ziemi względem osi biegunowej i równikowej, nachyleniem osi ziemskiej na ekliptyce oraz prędkość obrotu samej Ziemi. Udział Księżyca jest dwukrotnie większy niż Słońca (tj. Około 16 "/ rok dla Słońca i 34" / rok dla Księżyca). ${\ displaystyle d _ {\ rm {słońce}}}$ ${\ displaystyle d _ {\ rm {księżyc}}}$ ${\ displaystyle M _ {\ rm {słońce}}}$ ${\ displaystyle M _ {\ rm {księżyc}}}$ $\ theta$ $\omega$

Dla jednorodnej elipsoidalnej półosi polarnej a i pół-równikowej osi b , iloraz jest , ale to modelowanie Ziemi jest zbyt proste, aby nie można było wydedukować dokładnej wartości okresu precesji. Odwrotnie, wyznaczenie tego okresu na podstawie obserwacji astronomicznych pozwala wydedukować wartość , czyli około 1/306. ${\ displaystyle {\ frac {CA} {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {b ^ {2} -a ^ {2}} {b ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {CA} {C}}}$

Hipparch dobrze oszacował prędkość kątową precesji. Nie wiedział, jak zmierzyć położenie punktu wiosennego z dokładnością do 1 "łuku, ale miał poprzednie pomiary sprzed 2 stuleci, czyli 10 000" łuku, co było wystarczające.

Biegun niebieski nie jest wiecznie blisko bieguna gwiazdy . W ciągu 26 000 lat opisuje na niebie okrąg wokół punktu Q, w kierunku prostopadłym do ekliptyki , punkt Q znajdujący się mniej więcej w środku konstelacji Smoka : okrąg o promieniu 23 ° 26 'jest bardzo szeroki i wynosi 13 000 roku odbędzie słup na granicy konstelacji Herkulesa i Lyra : wtedy z punktu klimatu widzenia, północna półkula będzie tym razem otrzyma trochę więcej ciepła niż na półkuli południowej (~ 7%), co jest ważne w Milanković użytkownika teoria klimatu (musimy dodać okresowe zmiany ekscentryczności i okresowe zmiany nachylenia (stabilizowane przez istnienie Księżyca), uzyskując w ten sposób niezwykłą zgodność z cyklami lodowcowymi z holocenu .

Sprawa ogólna

Rozkład

Widzieliśmy, że równania ruchu wyglądały następująco:

{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} mga \ sin (\ theta) & = & A {\ ddot {\ theta}} + C {\ kropka {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega - A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \\ L_ {Oz} & = & A {\ dot {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta) \\\ omega & = & {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta) + {\ dot {\ varphi}} \ end {matrix}} \ right.}

gdzie i są stałymi. Drugie równanie pozwala nam wyrazić jako funkcję . Jeśli przeniesiemy to wyrażenie w pierwszym równaniu, otrzymamy nieliniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu , w zasadzie formalnie nierozpuszczalne, ale którego możemy zweryfikować, że pierwsza całka jest niczym innym jak wyrażeniem całkowitej energii mechanicznej, która jest stała podczas ruchu, jeśli nie ma tarcia: $\omega$ ${\ displaystyle L_ {Oz}}$ ${\ displaystyle {\ kropka {\ psi}}}$ $\ theta$ $\ theta$

{\ Displaystyle E_ {m} = mga \ cos (\ teta) + {\ Frac {1} {2}} \ langle {\ vec {\ Omega}}, {\ vec {L}} \ rangle = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} (A {\ dot {\ theta}} ^ {2} + A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ sin ^ {2} ( \ theta) + C ({\ dot {\ varphi}} + {\ dot {\ psi}} \ cos (\ theta)) ^ {2})}

Biorąc pod uwagę wyrażenia i dane przez dwa ostatnie równania ruchu, otrzymujemy: ${\ displaystyle {\ kropka {\ psi}}}$ ${\ displaystyle {\ kropka {\ varphi}}}$

{\ Displaystyle E_ {m} = mga \ cos (\ teta) + {\ Frac {1} {2}} \ lewo (A {\ kropka {\ teta}} ^ {2} + {\ Frac {(L_ { Oz} -C \ omega \ cos (\ theta)) ^ {2}} {A \ sin ^ {2} (\ theta)}} + C \ omega ^ {2} \ right)}

Generalnie piszemy to równanie w postaci:

{\ Displaystyle E_ {m} = {\ Frac {1} {2}} A {\ kropka {\ theta}} ^ {2} + E _ {\ rm {eff}}}

z ilością zwaną efektywną energią potencjalną.

{\ Displaystyle E _ {\ rm {eff}} = mga \ cos (\ teta) + {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {(L_ {Oz} -C \ omega \ cos ( \ theta)) ^ {2}} {A \ sin ^ {2} (\ theta)}} + C \ omega ^ {2} \ right)}

Równanie to umożliwia jakościowe badanie zachowania nutacji , ale także przybliżoną rozdzielczość w niektórych szczególnych przypadkach, uzyskaną na przykład przez linearyzację, jeśli zmiany są niewielkie. $\ theta$ $\ theta$

Możemy pokazać, że jest to ruch a la Poinsot w układzie odniesienia poruszający się a la Poinsot .

Badanie jakościowe

Załóżmy, że w danej chwili albo różna od 0, jak i π, to znaczy różna od zera (na przykład ściśle dodatnia), a to jest różne od . W tym przypadku jest to rosnąca funkcja czasu. Niemożliwe jest, aby wartość przyjmowała π lub nawet dążyła do π, ponieważ efektywna energia potencjalna dążyłaby do , w przeciwieństwie do stałości energii mechanicznej. Dlatego istnieje maksymalna wartość , której nie można przekroczyć. W tej wartości jest anulowane. Pokazujemy również, że istnieje minimalna wartość, poniżej której nie można obniżyć. Ruch nutacji jest ograniczony między tymi dwiema wartościami. Wartości poniżej 90 ° wynikają z efektu żyroskopowego. $\ theta$ ${\ displaystyle {\ kropka {\ theta}}}$ ${\ displaystyle L_ {Oz}}$ ${\ displaystyle \ pm C \ omega}$ $\ theta$ $\ theta$ $+ \ infty$ ${\ displaystyle \ theta _ {1} <\ pi}$ $\ theta$ ${\ displaystyle {\ kropka {\ theta}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}> 0}$ $\ theta$ $\ theta$

Stabilność nieaktywnego routera

Przypadek wirującego bąka obracającego się stabilnie wokół wznoszącej się osi pionowej nazywany jest uśpionym szczytem. Możemy określić stan tej stabilności. Wystarczy, że efektywna energia potencjalna jest minimalna . $\ theta = 0$

Jeśli obrót jest pionowy, mamy i wyrażenie efektywnej energii potencjalnej staje się: ${\ displaystyle L_ {Oz} = C \ omega}$

{\ Displaystyle E _ {\ rm {eff}} = mga \ cos (\ teta) + {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {C ^ {2} \ omega ^ {2} ( 1 - \ cos (\ theta) ^ {2}} {A \ sin ^ {2} (\ theta)}} + C \ omega ^ {2} \ right) = mga \ cos (\ theta) + {\ frac {1} {2}} C \ omega ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {C ^ {2} \ omega ^ {2}} {A}} \ tan ^ {2 } ({\ frac {\ theta} {2}})}

Ograniczony rozwój efektywnej energii potencjalnej w sąsiedztwie następnie daje: $\ theta = 0$

{\ Displaystyle E _ {\ rm {eff}} = mga + {\ Frac {1} {2}} C \ omega ^ {2} + \ lewo ({\ Frac {C ^ {2} \ omega ^ {2 }} {4A}} - mga \ right) {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}} + o (\ theta ^ {2})}

Jest minimum jeśli , lub znowu . Stabilność będzie tym większa, gdy prędkość obrotowa będzie duża, środek bezwładności blisko punktu O , a moment bezwładności C wysoki w porównaniu z momentem bezwładności A (wrzeciono w kształcie dysku, a nie kuli). $\ theta = 0$ ${\ Displaystyle {\ Frac {C ^ {2} \ omega ^ {2}} {4A}} - mga> 0}$ ${\ Displaystyle C ^ {2} \ omega ^ {2}> 4Amga}$

Jednolita precesja

Precesja jest jednolita, gdy jest stała. Drugie równanie ruchu pokazuje, że dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy jest stały. W tym przypadku pierwszym równaniem ruchu staje się: ${\ displaystyle {\ kropka {\ psi}}}$ ${\ Displaystyle L_ {Oz} = A {\ kropka {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ teta) + C \ omega \ cos (\ teta)}$ $\ theta$

{\ Displaystyle mga = C {\ kropka {\ psi}} \ omega -A {\ kropka {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta)}

równanie kwadratowe w . Zatem dla danej nutacji możliwe są dwie prędkości precesji. W praktyce wolniejszy jest najłatwiejszy do zdobycia. Wraz ze wzrostem ta powolna precesja zbliża się do wartości współczynnika precesji znalezionego powyżej w kontekście przybliżenia żyroskopowego. ${\ displaystyle {\ kropka {\ psi}}}$ $\ theta$ $\omega$

Ruch linearny

Linearyzacja ruchu żyroskopu polega na założeniu, że od kątów odniesienia zachodzą niewielkie zmiany kątów Eulera. Następnie dokonuje się ograniczonego rozwoju równań ruchu, zachowując tylko wyrazy pierwszego rzędu. Otrzymujemy w ten sposób rozwiązalny liniowy układ różniczkowy.

Jako przykład weźmy przypadek jednolitej precesji z następującymi przybliżeniami:

${\ Displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {0} + Y (t)}$ gdzie jest stały kąt nutacji służący jako odniesienie, $\ theta _ {0}$
${\ Displaystyle \ psi (t) = t \ cdot \ mathrm {Pr} + {\ Frac {X (t)} {\ sin (\ theta _ {0})}}}$ , gdzie Pr jest jednym ze stałych współczynników precesji odpowiadających nutation i spełniających równanie z poprzedniego akapitu. Mianownik X ( t ) jest uproszczenie przyszłego systemu różnicowego i ekspresję energii kinetycznej żyroskopu zgodnie z X i Y . $\ theta _ {0}$ ${\ Displaystyle mga = C \ omega \ razy \ Mathrm {Pr} -A \ cos (\ theta _ {0}) \ razy \ mathrm {Pr} ^ {2}}$

Zlinearyzujemy pierwsze dwa równania ruchu:

{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} mga \ sin (\ theta) & = & A {\ ddot {\ theta}} + C {\ kropka {\ psi}} \ sin (\ theta) \ omega - A {\ dot {\ psi}} ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \\ L_ {Oz} & = & A {\ dot {\ psi}} \ sin ^ {2} (\ theta) + C \ omega \ cos (\ theta) \ end {matrix}} \ right.}

i otrzymujemy:

{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {matrix} 0 & = & {\ ddot {Y}} + {\ Frac {C \ omega -2A \ cos (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr}} {A}} {\ dot {X}} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2} Y \\ {\ dot {X}} & = & {\ frac {C \ omega -2A \ cos (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr}} {A}} Y \ end {matrix}} \ right.}

Zauważmy , w rad / s, praktycznie równe dla dużych prędkości prawidłowego obrotu i które charakteryzuje sprzężenie żyroskopowe, które oszczędza energię: przenosi się z X na Y i odwrotnie. ${\ Displaystyle K = {\ Frac {C \ omega -2A \ cos (\ teta _ {0}) \ mathrm {Pr}} {A}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {C} {A}} \ omega}$

Pierwsze równanie staje się:

{\ Displaystyle 0 = {\ ddot {Y}} + K {\ kropka {X}} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2} Y = {\ ddot {Y}} + (K ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2}) Y}

który jest zintegrowany w postaci sinusoidalnej oscylacji pulsacji . Koniec żyroskopu opisuje wtedy mniej lub bardziej wydłużony trochoid na kuli . ${\ Displaystyle {\ sqrt {K ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta _ {0}) \ mathrm {Pr} ^ {2}}} \ sim K \ sim {\ frac {C} { A}} \ omega}$

Inny przykład: jeśli zlinearyzujemy równania ruchu z, jako warunkami początkowymi, nutacją różną od 0 i π oraz zerowymi prędkościami wariacji nutacji i precesji, to otrzymamy cykloidalny ruch na kuli, której punkty cykloidy są w górę.

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Michèle Audin, » Integrable ou pas « , którego inna wersja to: Michèle Audin, » Les caprices du satelita «, Pour la Science , n o 317,1 st marca 2004( czytaj online )

Bibliografia

Michèle Audin, systemy Hamiltona oraz ich Całkowalność , EDP Sciences , 2001, ( ISBN 978-2868835222 )
J.-P. Pérez, Mechanika, fundamenty i zastosowania , Masson,1997( ISBN 2-225-82916-0 )

Uwagi i odniesienia

Perez 1997 , s. 383
Perez 1997 , s. 393
Perez 1997 , s. 389
Pierre Kohler, Niebo, atlas przewodnika wszechświata , Hachette ,1982, s. 279
Perez 1997 , s. 384
L. Landau i E.Lifchitz, Fizyka teoretyczna, mechanika , elipsy ,1994, s. 173
Perez 1997 , s. 385