Dipol magnetyczny

Dipol magnetyczny jest równoważny dla pola magnetycznego , co dipol elektrostatyczny do pola elektrycznego . Jest on całkowicie scharakteryzowany przez wektor momentu magnetycznego (lub magnetyczny moment dipolowy), odpowiednik dla magnetyzmu tego, czym jest moment dipolowy dla elektrostatycznego .

Pętla prądowa

Najprostszą fizyczną reprezentacją dipola magnetycznego jest pętla prądowa, czyli kołowy prąd elektryczny . Moment magnetyczny tej elementarnej dipola jest wektorem , gdzie I jest natężenie prądu i powierzchni wektor ( wektor z modułu równa w obszarze S koła, pochodzenia O w środku okręgu, skierowane wzdłuż osi koło i zorientowane zgodnie z kierunkiem prądu zgodnie z regułą korkociągu ). μ→=jaS→{\ displaystyle {\ vec {\ mu}} = ja \, {\ vec {S}}}S→{\ styl wyświetlania {\ vec {S}}}

Ściśle mówiąc, dipol magnetyczny jest granicą pętli prądowej, gdy sprawiamy, że mam tendencję do nieskończoności, a S do 0, przy jednoczesnym utrzymaniu wektora na stałym poziomie . μ→=jaS→{\ displaystyle {\ vec {\ mu}} = ja \, {\ vec {S}}}

Równoległość między magnetyzmem a elektrostatyką

Równania

Dipole elektrostatyczne i magnetyczne podlegają podobnym prawom, mutatis mutandis . W tych prawach:

• moment magnetyczny odgrywa taką samą rolę jak w chwili elektrostatycznego  ;μ→{\ displaystyle {\ vec {\ mu}}} p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
• indukcja magnetyczna odgrywa taką samą rolę jak w polu elektrycznym  ;b→{\ styl wyświetlania {\ vec {B}}} mi→{\ styl wyświetlania {\ vec {E}}}
• przenikalność magnetyczna próżni odgrywa taką samą rolę jak odwrotności przenikalności dielektrycznej próżni , .μ0{\ styl wyświetlania \ mu _ {0}}1ε0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}}}

Prawo	Elektrostatyczny	Magnetyzm
Energia potencjalna dipola w polu	mip=-p→⋅mi→{\ displaystyle E _ {\ matematyka {p}} = - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {E}}}	mip=-μ→⋅b→{\ displaystyle E _ {\ matematyka {p}} = - {\ vec {\ mu}} \ cdot {\ vec {B}}}
Moment obrotowy wywierany na dipol przez pole	Γ→=p→∧mi→{\ displaystyle {\ vec {\ Gamma}} = {\ vec {p}} \ klin {\ vec {E}}}	Γ→=μ→∧b→{\ displaystyle {\ vec {\ Gamma}} = {\ vec {\ mu}} \ klin {\ vec {B}}}
Siła wywierana na dipol przez pole	Jeżeli  :∇→∧mi→=0→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ klin {\ vec {E}} = {\ vec {0}}}fa→=-∇→mip=∇→(p→⋅mi→){\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} E _ {\ matematyka {p}} = {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {E}})} Jeśli nie : fa→=(p→⋅∇→)mi→{\ displaystyle {\ vec {F}} = ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {E}}}	fa→=-∇→mip=∇→(μ→⋅b→){\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} E _ {\ matematyka {p}} = {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {\ mu}} \ cdot { \ z {B}})}
Pole utworzone przez dipol	mi→=(14πε0)3(p→⋅ty→)ty→-p→r3{\ displaystyle {\ vec {E}} = \ po lewej ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ po prawej) {\ frac {3 ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {p}}} {r ^ {3}}}}	b→=(μ04π)3(μ→⋅ty→)ty→-μ→r3{\ displaystyle {\ vec {B}} = \ po lewej ({\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ po prawej) {\ frac {3 ({\ vec {\ mu}} \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {\ mu}}} {r ^ {3}}}}
Potencjalna energia oddziaływania dwóch dipoli	mip=-(14πε0)3(p→1⋅ty→)(p→2⋅ty→)-p→1⋅p→2r3{\ displaystyle E _ {\ matematyka {p}} = - \ lewo ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ po prawej) {\ frac {3 ({\ vec {p} } _ {1} \ cdot {\ vec {u}}) ({\ vec {p}} _ {2} \ cdot {\ vec {u}}) - {\ vec {p}} _ {1} \ cdot {\ vec {p}} _ {2}} {r ^ {3}}}}	mip=-(μ04π)3(μ→1⋅ty→)(μ→2⋅ty→)-μ→1⋅μ→2r3{\ displaystyle E _ {\ matematyka {p}} = - \ lewo ({\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ po prawej) {\ frac {3 ({\ vec {\ mu} } _ {1} \ cdot {\ vec {u}}) ({\ vec {\ mu}} _ {2} \ cdot {\ vec {u}}) - {\ vec {\ mu}} _ {1 } \ cdot {\ vec {\ mu}} _ {2}} {r ^ {3}}}}

W powyższych równaniach:

• ty→{\ displaystyle {\ vec {u}}}reprezentuje wektor jednostkowy skierowany z pozycji O dipola do tego M bieżącego punktu (przypadek pola utworzonego przez dipol) lub z pozycji O 1 pierwszego dipola do tego O 2 drugiego (przypadek oddziaływanie dipolowe -dipol);
• r jest odległością OM lub też O 1 O 2 .

Demonstracja: energia oddziaływania potencjalnego dwóch dipoli magnetycznych

Niech będą dwa dipole i oraz ich odpowiedni moment magnetyczny i . Nazwijmy oddziaływaniem momentu magnetycznego z polem wytworzonym przez w . Moment magnetyczny z tworzy w odległości r (rozpatrywanym duży) Do potencjalnego wektorre1{\ styl wyświetlania D_ {1}}re2{\ styl wyświetlania D_ {2}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu_ {1}}}}μ2→{\ displaystyle {\ vec {\ mu_ {2}}}}mip{\ styl wyświetlania E_ {p}}μ2→{\ displaystyle {\ vec {\ mu_ {2}}}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu_ {1}}}}re2{\ styl wyświetlania D_ {2}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu_ {1}}}}re1{\ styl wyświetlania D_ {1}} W1→:{\ displaystyle {\ vec {A_ {1}}}:}

W1→=μ04πμ1→∧r→r3{\ displaystyle {\ vec {A_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {{\ vec {\ mu _ {1}}} \ klin { \ vec {r}}} {r ^ {3}}}} Ten potencjał wektorowy tworzy pole magnetyczne . Ustalając arbitralnie zgodnie z orientacją osi Oz:r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}b1→=∇→∧W1→{\ displaystyle {\ vec {B_ {1}}} = {\ vec {\ nabla}} \ klin {\ vec {A_ {1}}}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu_ {1}}}}

W1→=μ04πμ1miz→∧r→r3=μ04πμ1sjanieθr2miφ→=Wφmiφ→{\ displaystyle {\ vec {A_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ frac {{\ vec {e_ {z}} } \ klin {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ frac {sin \ teta } {r ^ {2}}} {\ vec {e _ {\ varphi}}} = A _ {\ varphi} {\ vec {e _ {\ varphi}}}} we współrzędnych biegunowych.

⇒b1→=∇→∧W1→=(1rsjanieθ(∂(sjanieθWφ)∂θ-∂Wθ∂φ)1rsjanieθ(∂Wr∂φ-sjanieθ∂(rWφ)∂r)1r(∂(rWθ)∂r-∂(Wr)∂θ))=(1rsjanieθ∂(sjanieθWφ)∂θ-1r∂(rWφ)∂r0)=μ04πμ1(1r3sjanieθ∂(sjanie2θ)∂θ-sjanieθr∂(r-1)∂r0){\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {B_ {1}}} = {\ vec {\ nabla}} \ klin {\ vec {A_ {1}}} = {\ zacząć {pmatrix} {} {\ frac {1 } {rsin \ theta}} \ lewo ({\ frac {\ częściowy (sin \ theta A _ {\ varphi})} {\ częściowy \ theta}} - {\ frac {\ częściowy A _ {\ theta}} { \ częściowa \ varphi}} \ prawa) \\ {\ frac {1} {rsin \ theta}} \ lewa ({\ frac {\ częściowa A_ {r}} {\ częściowa \ varphi}} - sin \ theta {\ frac { \ częściowy (rA _ {\ varphi})} {\ częściowy r}} \ prawy) \\ {\ frac {1} {r}} \ lewy ({\ frac {\ częściowy (rA _ {\ theta} )} {\ częściowy r}} - {\ frac {\ częściowy (A_ {r})} {\ częściowy \ theta}} \ prawy) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {1} { rsin \ theta}} {\ frac {\ częściowy (sin \ theta A _ {\ varphi})} {\ częściowy \ theta}} \\ - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ częściowy (rA_ {\ varphi})} {\ częściowy r}} \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ begin {pmatrix } {} {\ frac {1} {r ^ {3} sin \ theta}} {\ frac {\ częściowy (sin ^ {2} \ theta)} {\ częściowy \ teta}} \\ - {\ frac { sin \ theta} {r}} {\ frac {\ częściowy (r ^ {-1})} {\ częściowy r}} \\ 0 \ koniec {pmatrix}}}

=μ04πμ1(2vsosθr3sjanieθr30)=μ04πr3(2(μ→1.ty→)ty→+μ1sjanieθmiθ→)=μ04πr3(3(μ→1.ty→)ty→+μ1sjanieθmiθ→-μ1vsosθty→){\ displaystyle = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ zacząć {pmatrix} {} {\ frac {2cos \ theta} {r ^ {3}} } \\ {\ frac {sin \ teta} {r ^ {3}}} \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {3}} } \ left (2 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. {\ vec {u}}) {\ vec {u}} + \ mu _ {1} sin \ theta {\ vec {e_ { \ theta}}} \ po prawej) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {3}}} \ po lewej (3 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. { \ vec {u}}) {\ vec {u}} + \ mu _ {1} sin \ teta {\ vec {e _ {\ theta}}} - \ mu _ {1} cos \ theta {\ vec { u }} \ prawo)} złoto:{ty→=sjanieθvsosφmix→+sjanieθsjanieφmitak→+vsosθmiz→mi→θ=∂ty→∂θ=vsosθvsosφmix→+vsosθsjanieφmitak→-sjanieθmiz→{\ displaystyle {\ begin {przypadki} {\ vec {u}} = sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos \ teta {\ vec {e_ {z}}} \\ {\ vec {e}} _ {\ theta} = {\ frac {\ częściowy {\ vec {u}}} {\ częściowy \ theta}} = cos \ teta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ teta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} - sin \ teta {\ vec {e_ {z}}} \ end {przypadki}}} ⇒{vsosθty→=vsosθsjanieθvsosφmix→+vsosθsjanieθsjanieφmitak→+vsos2θmiz→-sjanieθmiθ→=-vsosθvsosφsjanieθmix→-vsosθsjanieθsjanieφmitak→+sjanie2θmiz→⇒vsosθty→-sjanieθmiθ→=miz→{\ displaystyle \ Rightarrow {\ begin {przypadki} cos \ teta {\ vec {u}} = cos \ theta sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ teta sin \ teta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos ^ {2} \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ - sin \ theta {\ vec {e_ {\ theta}}} = - cos \ theta cos \ varphi sin \ teta {\ vec {e_ {x}}} - cos \ teta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + sin ^ {2} \ theta {\ vec { e_ {z}}} \ end {cases}} \ Rightarrow cos \ theta {\ vec {u}} - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = {\ vec {e_ {z}} }} ⇒b1→=∇→∧W1→=μ04π(3(μ→1.ty→)ty→-μ1→r3){\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {B_ {1}}} = {\ vec {\ nabla}} \ klin {\ vec {A_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ lewo ({\ frac {3 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {\ mu _ { 1}}}} {r ^ {3}}} \ prawo)} Dzięki temu powstaje potencjalna energia oddziaływania na :re1{\ styl wyświetlania D_ {1}}re1{\ styl wyświetlania D_ {1}}mip=-μ2→.b1→=-μ04π(3(μ→1.ty→)(μ2→.ty→)-μ1→.μ2→r3){\ displaystyle E_ {p} = - {\ vec {\ mu _ {2}}} {\ vec {B_ {1}}} = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi} } \ lewo ({\ frac {3 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. {\ vec {u}}) ({\ vec {\ mu _ {2}}}. {\ vec {u }}) - {\ vec {\ mu _ {1}}} {\ vec {\ mu _ {2}}}} {r ^ {3}}} \ po prawej)}

To właśnie z tego wyrażenia możemy wykazać, za pomocą teorii zakłóceń , subtelną strukturę w widmie rezonansu magnetycznego, wynikającą z oddziaływania spinów dwóch cząstek, tworząc w ten sposób dipole magnetyczne.

Demonstracja: Energia oddziaływania potencjalnego dwóch dipoli elektrycznych

Niech będą dwa dipole i umieszczone odpowiednio w A i B: re1{\ styl wyświetlania D_ {1}}re2{\ styl wyświetlania D_ {2}}Wb→=r→=rty→;OW→=rW→;Ob→=rb→{\ displaystyle {\ vec {AB}} = {\ vec {r}} = r {\ vec {u}}; {\ vec {OA}} = {\ vec {r_ {A}}}; {\ vec {OB}} = {\ vec {r_ {B}}}}

Odnotowuje się ich odpowiedni moment elektrostatyczny: i .p1→=qrW→{\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}} = q {\ vec {r_ {A}}}}p2→=qrb→{\ displaystyle {\ vec {p_ {2}}} = q {\ vec {r_ {B}}}} re1→{\ styl wyświetlania {\ vec {D_ {1}}}}tworzy potencjał elektryczny V, który oddziałuje z . Daje to początek energii interakcji . Pole elektryczne dryfuje od potencjału .r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}re2→{\ displaystyle {\ vec {D_ {2}}}}mip{\ styl wyświetlania E_ {p}}mi→=-∇→V{\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V}V(r→){\ styl wyświetlania V ({\ vec {r}})}

Jeśli jest wystarczająco duży, potencjał wyraża się w następujący sposób: r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}V(r→){\ styl wyświetlania V ({\ vec {r}})}V(r→)=14πε0p1→.r→r3{\ displaystyle V ({\ vec {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {{\ vec {p_ {1}}}. {\ vec {o}}} {o ^ {3}}}}mi→=-∇→V(r→)=-q4πε0∇→(rW→.r→r3)=-q4πε0(∂∂rrW→.r→r31r∂∂θ(rW→.r→r3)1rsjanieθ∂∂φ(rW→.r→r3))=-q4πε0(-2rWr3vsosθ-rWr3sjanieθ0){\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V ({\ vec {r}}) = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ vec {\ nabla}} \ po lewej ({\ frac {{\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \ po prawej) = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} {\ frac {{\ vec {r_ {A}}} {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \\ {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy \ theta}} \ lewo ({\ frac { {\ vec {r_ {A}}} {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \ po prawej) \\ {\ frac {1} {rsin \ theta}} {\ frac {\ częściowy } {\ częściowy \ varphi}} \ po lewej ({\ frac {{\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \ po prawej) \ end {pmatrix} } = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ begin {pmatrix} {} - 2 {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} cos \ theta \\ - {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} sin \ theta \\ 0 \ end {pmatrix}}}

=q4πε0rWr3(3vsosθty→-vsosθty→+sjanieθmiθ→{\ displaystyle = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} (3cos \ theta {\ vec {u}} -cos \ theta {\ vec {u}} + sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}}}złoto:{ty→=sjanieθvsosφmix→+sjanieθsjanieφmitak→+vsosθmiz→mi→θ=∂ty→∂θ=vsosθvsosφmix→+vsosθsjanieφmitak→-sjanieθmiz→{\ displaystyle {\ begin {przypadki} {\ vec {u}} = sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos \ teta {\ vec {e_ {z}}} \\ {\ vec {e}} _ {\ theta} = {\ frac {\ częściowy {\ vec {u}}} {\ częściowy \ theta}} = cos \ teta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ teta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} - sin \ teta {\ vec {e_ {z}}} \ end {przypadki}}} ⇒{vsosθty→=vsosθsjanieθvsosφmix→+vsosθsjanieθsjanieφmitak→+vsos2θmiz→-sjanieθmiθ→=-vsosθvsosφsjanieθmix→-vsosθsjanieθsjanieφmitak→+sjanie2θmiz→⇒vsosθty→-sjanieθmiθ→=miz→{\ displaystyle \ Rightarrow {\ begin {przypadki} cos \ teta {\ vec {u}} = cos \ theta sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ teta sin \ teta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos ^ {2} \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ - sin \ theta {\ vec {e_ {\ theta}}} = - cos \ theta cos \ varphi sin \ teta {\ vec {e_ {x}}} - cos \ teta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + sin ^ {2} \ theta {\ vec { e_ {z}}} \ end {cases}} \ Rightarrow cos \ theta {\ vec {u}} - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = {\ vec {e_ {z}} }} ⇒mi→=-q4πε0rWr3(-3vsosθty→+vsosty→-sjanieθmiθ→)=-q4πε01r3(rWmiz→-3(rW→.ty→)ty→){\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {E}} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} ( -3cos \ theta {\ vec {u}} + cos {\ vec {u}} - sin \ theta {\ vec {e_ {\ theta}}}) = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {3}}} (r_ {A} {\ vec {e_ {z}}} - 3 ({\ vec {r_ {A}}}. { \ vec {u}}) {\ vec {u}})} Przez arbitralne ustalanie rW→=rWmiz→:mi→=-q4πε01r3(rW→-3(rW→.ty→)ty→){\ displaystyle {\ vec {r_ {A}}} = r_ {A} {\ vec {e_ {z}}}: {\ vec {E}} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {3}}} ({\ vec {r_ {A}}} - 3 ({\ vec {r_ {A}}}. {\ Vec {u }}) {\ vec {u}})} Oddziaływanie dipol-dipol to wtedy:mip=-mi→.p2→=-14πε01r3(p1→.p2→-3(p1→.ty→)(p2→.ty→)){\ displaystyle E_ {p} = - {\ vec {E}} {\ vec {p_ {2}}} = - {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ lewo ({\ vec {p_ {1}}}. {\ Vec {p_ {2}}} - 3 ({\ vec {p_ {1}}}. { \ vec {u}}) ({\ vec {p_ {2}}}. {\ vec {u}}) \ dobrze)}

Ekspresja ta umożliwia wykazanie przez teorię zaburzeń , że van der Waalsa , które ingerują w wiązań chemicznych wynikające z oddziaływania elektrostatyczne pomiędzy dwiema cząsteczkami, tworząc tym samym dipoli elektrycznych.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">