Modelowanie turbulencji
Modelowania turbulencji jest gałęzią z mechaniki płynów wykorzystywanych do przewidywania zachowania się przepływu w których całość lub część płynu jest turbulentny .
Wprowadzenie
Obecność wirowości w przepływie niekoniecznie powoduje, że jest to przepływ turbulentny. Termin jest zarezerwowany dla sytuacji, w których występuje wiele łusek wirowych i oddziałują one w burzliwym wodospadzie . Jest to ograniczone do małych łusek przez wymiar Kołmogorowa , poniżej których wiry są rozpraszane przez lepkość.
Taki przepływ opisują równania Naviera-Stokesa, ale mały rozmiar wymiaru Kołmogorowa w praktyce uniemożliwia bezpośrednią symulację numeryczną (w języku angielskim DNS dla bezpośredniej symulacji numerycznej ), z wyjątkiem eksperymentów numerycznych mających na celu zrozumienie zastosowanych mechanizmów. .
Oprócz symulacji bezpośredniej, metody zastosowane w celu rozwiązania tego problemu opierają się na fizyce statystycznej : turbulencje są traktowane jako proces statystyczny, co do którego zakłada się, że można je opisać jedynie rozkładem czasowym w każdym punkcie. Podejście opiera się na kilku krokach:
- pisanie równań opisujących średnie wartości i wahania,
- modelowanie terminów związanych z fluktuacjami,
- w razie potrzeby połącz te terminy ze standardowymi opisami praw opisujących przepływ w pobliżu ściany.
Możliwe jest również użycie metod hybrydowych znanych jako symulacja wielkoskalowa ( LES for Large Eddy Simulation ), w której widmo turbulencji jest filtrowane: duże skale są wychwytywane przez obliczenia, a małe są modelowane jak powyżej.
Uśrednione równania Naviera-Stokesa
Interesuje nas nieściśliwy płyn opisany odpowiednimi równaniami Naviera-Stokesa
∂uja∂xja=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u_ {i}} {\ częściowe x_ {i}}} = 0}ρ(∂uja∂t+ujot∂uja∂xjot)+∂p∂xja-∂σjajot∂xjot=0{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ częściowe u_ {i}} {\ częściowe t}} + u_ {j} {\ frac {\ częściowe u_ {i}} {\ częściowe x_ {j}}} \ right) + {\ frac {\ part p} {\ Partial x_ {i}}} - {\ frac {\ Partial \ sigma _ {ij}} {\ Partial x_ {j}}} = 0}Oznaczamy p ciśnienie, ρ gęstość, μ lepkość dynamiczną i
Sjajot=12(∂uja∂xjot+∂ujot∂xja){\ Displaystyle S_ {ij} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe u_ {i}} {\ częściowe x_ {j}}} + {\ Frac {\ częściowe u_ { j}} {\ częściowe x_ {i}}} \ right)} |
napinacz odkształcenia
|
σjajot=2μSjajot{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu S_ {ij}} |
tensor lepkich naprężeń
|
Uwzględniając równanie nieściśliwości, można to zauważyć
∂σjajot∂xjot=μ∂2uja∂xk∂xk{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ sigma _ {ij}} {\ częściowe x_ {j}}} = \ mu {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u_ {i}} {\ częściowe x_ {k} \ częściowe x_ {k}}}}Definiujemy operator Υ (u i ) dla równania zachowania pędu (zmiana indeksu zostanie wykorzystana później)
Y(uja)=ρ(∂uja∂t+uk∂ujot∂xk)+∂p∂xja-μ∂2uja∂xk∂xk=0{\ Displaystyle Y (u_ {i}) = \ rho \ lewo ({\ frac {\ częściowe u_ {i}} {\ częściowe t}} + u_ {k} {\ frac {\ częściowe u_ {j}} { \ częściowe x_ {k}}} \ right) + {\ frac {\ częściowe p} {\ częściowe x_ {i}}} - \ mu {\ frac {\ częściowe ^ {2} u_ {i}} {\ częściowe x_ {k} \ częściowe x_ {k}}} = 0}Medium opisane jest statystycznym rozkładem prędkości i przyjmuje się, że ośrodek ten można scharakteryzować średnią w czasie i fluktuacją prędkości w punkcie r
uja(t,rja)=u¯ja(t,rja)+uja′(t,rja){\ Displaystyle u_ {i} (t, r_ {i}) = {\ overline {u}} _ {i} (t, r_ {i}) + u '_ {i} (t, r_ {i}) }Energia kinetyczna turbulencji wynosi
k=12uja′uja′¯{\ displaystyle k = {\ Frac {1} {2}} \, {\ overline {u '_ {i} u' _ {i}}}}Wprowadzając to wyrażenie określające prędkość do równań Naviera-Stokesa, otrzymujemy uśrednione równania wprowadzone przez Osborne'a Reynoldsa w 1895 roku:
∂uja¯∂xja=0{\ displaystyle {\ frac {\ częściowy {\ bar {u_ {i}}}} {\ częściowy x_ {i}}} = 0}ρ(∂u¯ja∂t+u¯k∂u¯ja∂xk)+∂p¯∂xja-∂∂xjot(σjajot+τjajot)=0{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ częściowe {\ bar {u}} _ {i}} {\ częściowe t}} + {\ overline {u}} _ {k} {\ frac {\ częściowe {\ bar {u}} _ {i}} {\ częściowy x_ {k}}} \ right) + {\ frac {\ częściowy {\ bar {p}}} {\ częściowy x_ {i}}} - { \ frac {\ części} {\ częściowy x_ {j}}} \ left (\ sigma _ {ij} + \ tau _ {ij} \ right) = 0}Zdefiniowaliśmy tensor naprężenia Reynoldsa:
τjajot=-ρuja′ujot′¯{\ displaystyle \ tau _ {ij} = - \ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j}}}}Jak każdy tensor naprężenia, ten tensor jest symetryczny. Problem turbulencji polega na wyrażeniu 6 niezależnych wielkości, które zawiera.
Równanie transportu naprężeń
Julius C. Rotta wprowadził w 1951 r. Równanie transportu dotyczące ograniczeń Reynoldsa. Aby to osiągnąć, używamy operatora zdefiniowanego powyżej, pisząc
uja′Y(ujot)+ujot′Y(uja)¯=0{\ Displaystyle {\ overline {u '_ {i} Y (u_ {j}) + u' _ {j} Y (u_ {i})}} = 0}jest
∂τjajot∂t+∂∂xk(u¯kτjajot)=-P.jajot⏟P.roreuvstjaonie+Tjajot-Πjajot+rejajot⏟rejafafausjaonie+ρϵjajot⏟rejassjapwtjaonie{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ tau _ {ij}} {\ częściowe t}} + {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {k}}} ({\ overline {u}} _ {k } \ tau _ {ij}) = \ underbrace {- {\ mathcal {P}} _ {ij}} _ {Produkcja} \ underbrace {+ {\ mathcal {T}} _ {ij} - \ Pi _ {ij } + {\ mathcal {D}} _ {ij}} _ {Diffusion} \ underbrace {+ \ rho \, \ epsilon _ {ij}} _ {Dissipation}}z
Wyrażenie |
Znaczenie fizyczne
|
---|
P.jajot=τjotk∂u¯ja∂xk+τjak∂u¯jot∂xk{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {ij} = \ tau _ {jk} \, {\ frac {\ częściowy {\ overline {u}} _ {i}} {\ częściowy x_ {k}}} + \ tau _ {ik} \, {\ frac {\ Partial {\ overline {u}} _ {j}} {\ Partial x_ {k}}}} |
Produkcja: przeniesienie energii ze średniego przepływu do turbulencji
|
Tjajot=∂∂xk(ρuja′ujot′uk′¯+p′uja′¯δjotk+p′ujot′¯δjak){\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {ij} = {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {k}}} (\ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j} u '_ {k}}} + {\ overline {p'u' _ {i}}} \ delta _ {jk} + {\ overline {p'u '_ {j}}} \ delta _ {ik} )} |
Transport turbulencji (zawiera potrójną korelację)
|
Πjajot=p′∂uja′∂xjot¯+p′∂ujot′∂xja¯{\ Displaystyle \ Pi _ {ij} = {\ overline {p '{\ frac {\ częściowe u' _ {i}} {\ częściowe x_ {j}}}}} + {\ overline {p '{\ frac {\ częściowe u '_ {j}} {\ częściowe x_ {i}}}}}} |
Redystrybucja energii burzliwej (powrót do stanu izotropowego)
|
rejajot=∂∂xk(ν∂τjajot∂xk){\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ij} = {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {k}}} \ lewo (\ nu {\ Frac {\ częściowe \ tau _ {ij}} { \ częściowe x_ {k}}} \ right)} |
Rozproszenie ograniczenia
|
ϵjajot=2ν∂uja′∂xk∂ujot′∂xk¯{\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = 2 \ nu {\ overline {{\ frac {\ częściowe u '_ {i}} {\ częściowe x_ {k}}} {\ frac {\ częściowe u' _ {j }} {\ częściowe x_ {k}}}}}} |
Lepkie rozpraszanie
|
gdzie δ ij jest symbolem Kroneckera .
Te 6 równań zawiera 22 nowe niewiadome. Konieczne jest zatem uproszczenie (modelowanie) przez zastąpienie tych terminów wyrażeniami zmiennych już występujących jako składniki τ ij . Klasyczne podejście wprowadzili Kemal Handjalić i Brian Launder (1972).
Modele z równaniami transportu N.
Modele te nazywane są w języku angielskim Reynolds Averaged Navier-Stokes lub w skrócie RANS .
Hipoteza Boussinesqa
W 1877 roku Joseph Boussinesq zaproponował zapisanie tego tensora jako tensora naprężenia w przypadku płynu Newtona poprzez uwzględnienie lepkości turbulencji μ t
τjajot=μt(∂u¯ja∂xjot+∂u¯jot∂xja)-23μt∂u¯k∂xkδjajot-13ρuja′uja′¯⏟23ρkδjajot{\ displaystyle \ tau _ {ij} = \ mu _ {t} \ left ({\ frac {\ częściowe {\ bar {u}} _ {i}} {\ częściowe x_ {j}}} + {\ frac {\ Partial {\ bar {u}} _ {j}} {\ Partial x_ {i}}} \ right) - {\ frac {2} {3}} \ mu _ {t} {\ frac {\ Part {\ bar {u}} _ {k}} {\ częściowy x_ {k}}} \ delta _ {ij} - \ underbrace {{\ frac {1} {3}} \ rho {\ overline {u'_ {i} u '_ {i}}}} _ {{\ frac {2} {3}} \ rho k} \ delta _ {ij}}Problem ten jest zredukowany do poznania i k ľ t , ta ostatnia wartość nie jest właściwość płynu.
Modele z dwoma równaniami
Biorąc ślady powyższego równania Naprężenie Reynoldsa, otrzymujemy równanie transportu dla k
ρ∂k∂t+ρujot∂k∂xjot=τjajot∂uja∂xjot⏟P.roreuvstjaonie-ρϵ⏟rejassjapwtjaonie+∂∂xjot(μ∂k∂xjot)⏟rejafafausjaonie molmivsulwjarmi-∂∂xjot(12ρuja′uja′ujot′¯)⏟Trwniesport-∂∂xjot(p′ujot′¯)⏟rejafafausjaonie prmissjaonie{\ Displaystyle \ rho {\ Frac {\ częściowe k} {\ częściowe t}} + \ rho u_ {j} {\ frac {\ częściowe k} {\ częściowe x_ {j}}} = \ underbrace {\ tau _ {ij} {\ frac {\ part u_ {i}} {\ part x_ {j}}}} _ {Produkcja} - \ underbrace {\ rho \ epsilon} _ {Rozpraszanie} + \ underbrace {{\ frac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {j}}} \ left (\ mu {\ frac {\ częściowe k} {\ częściowe x_ {j}}} \ right)} _ {Dyfuzja ~ molekularna} - \ underbrace {{\ frac {\ części} {\ częściowy x_ {j}}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ rho \, {\ overline {u '_ {i} u' _ {i} u '_ { j}}} \ right)} _ {Transport} - \ underbrace {{\ frac {\ części} {\ częściowy x_ {j}}} \ left ({\ overline {p'u '_ {j}}} \ right)} _ {Dyfuzja ~ ciśnienie}}gdzie ε jest rozpraszaniem
ϵ=ν∂uja′∂xk∂uja′∂xk¯{\ Displaystyle \ epsilon = \ nu {\ overline {{\ frac {\ częściowe u '_ {i}} {\ częściowe x_ {k}}} {\ frac {\ częściowe u' _ {i}} {\ częściowe x_ {k}}}}}}Można to uzyskać, pisząc równanie
2ν∂uja′∂xk∂∂xkY(uja)¯=0{\ Displaystyle {\ overline {2 \ nu {\ Frac {\ częściowe u '_ {i}} {\ częściowe x_ {k}}} {\ frac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {k}}} Y ( u_ {i})}} = 0}jest
ρ∂ϵ∂t+ρujot∂ϵ∂xjot=...{\ Displaystyle \ rho {\ Frac {\ częściowe \ epsilon} {\ częściowe t}} + \ rho u_ {j} {\ frac {\ częściowe \ epsilon} {\ częściowe x_ {j}}} = ...}W rzeczywistości wyrażenie to zawiera w drugim członie terminy bardzo trudne do zamodelowania i zadowalamy się napisaniem drugiego elementu analogicznego do równania na turbulentną energię kinetyczną.
Lepkość burzliwą wyprowadza się z analizy wymiarowej
νt=VSμk2ϵ{\ Displaystyle \ nu _ {t} = C _ {\ mu} \, {\ Frac {k ^ {2}} {\ epsilon}}}gdzie C μ jest stałą modelowania.
Najbardziej znanymi modelami stosowanymi w tej dziedzinie jest model k - ε Williama P. Jonesa i Briana Laundera, opublikowany w 1972 r., A następnie przeformułowany.
Możliwa jest również praca nad współczynnikiem rozpraszania
ω=ϵk{\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {\ epsilon} {k}}}Ten typ modelu znany jako model k - ω został wprowadzony przez Andrieja Kołmogorowa w 1942 r. W czasie, gdy nie można go było rozwiązać. Obecną formę zawdzięczamy Davidowi C. Wilcoxowi.
Jeden model równania transportu
Ten typ modelu został wprowadzony w latach 60. XX w. Zaczynamy od lepkości burzliwej powyżej przy C μ = 1 i wyprowadzamy
reνtret=1ωrekret-kω2reωret{\ Displaystyle {\ Frac {D \ nu _ {t}} {Dt}} = {\ Frac {1} {\ omega}} {\ Frac {Dk} {Dt}} - {\ Frac {k} {\ omega ^ {2}}} {\ frac {D \ omega} {Dt}}}Najbardziej znanym z tych modeli jest niewątpliwie model Spalarta-Allmarasa (1992) Philippe'a R. Spalarta i Stevena R. Allmarasa dla problemów warstwy granicznej w przepływie ściśliwym.
Model o mieszanej długości
Model wykorzystujący długość mieszania, zwany również równaniem transportu zerowego, został wprowadzony przez Ludwiga Prandtla w 1925 r. Przez analogię do kinetycznej teorii gazów założył, że można skonstruować lepkość kinematyczną z produktu d 'o prędkości charakterystycznej u przez a długość mieszania l m oraz że charakterystyczny czas utworzony z tych dwóch wielkości był tego samego rzędu wielkości, jak ten związany ze średnim ścinaniem
νt≃ulm,ulm≃|∂uja¯∂xjot|,ja≠jot⇒νt=lm2|∂uja¯∂xjot|{\ Displaystyle \ nu _ {t} \ simeq ul_ {m} \ ,, \; \; \; \; \; {\ frac {u} {l_ {m.}}} \ simeq \ left | {\ frac { \ częściowe {\ overline {u_ {i}}}} {\ częściowe x_ {j}}} \ right |, \; \; \; i \ neq j \; \; \; \ Rightarrow \; \; \; \ nu _ {t} = l_ {m} ^ {2} \ left | {\ frac {\ części {\ overline {u_ {i}}} {\ częściowy x_ {j}}} \ right |}stąd odpowiedni składnik tensora Reynoldsa
-ρuja′ujot′¯=ρlm2|∂uja¯∂xjot|∂uja¯∂xjot{\ Displaystyle - \ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j}}} = \ rho l_ {m} ^ {2} \ lewo | {\ frac {\ częściowe {\ overline {u_ { i}}}} {\ częściowy x_ {j}}} \ right | {\ frac {\ części {\ overline {u_ {i}}}} {\ częściowy x_ {j}}}}To wyrażenie można uogólnić przez:
νt=lm22Sjajot¯Sjajot¯{\ displaystyle \ nu _ {t} = l_ {m} ^ {2} {\ sqrt {2 {\ overline {S_ {ij}}} \, {\ overline {S_ {ij}}}}}}Wyrażenie na l m jest specyficzne dla danego problemu.
Modele symulacyjne na dużą skalę
Metoda SGS lub w języku angielskim LES polega na rozdzieleniu skal turbulencji na
- duże skale obliczane bezpośrednio,
- małe łuski, modelowane.
Pierwszym krokiem w procesie jest zdefiniowanie filtra dolnoprzepustowego poprzez produkt splotu
u¯ja(r,t)=∫sol(r,r′)uja(r-r′,t)rer′≡sol∗uja{\ Displaystyle {\ overline {u}} _ {i} (\ mathbf {r}, t) = \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') u_ {i} (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} ', t) \ mathrm {d} \ mathbf {r}' \ equiv G * u_ {i}}Filtr jest znormalizowany:
∫sol(r,r′)rer′=1{\ Displaystyle \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ mathbf {r}' = 1}To nie jest projektor : . Ponadto operator ten nie dojeżdża z derywatem.
uja¯¯≠uja¯{\ displaystyle {\ overline {\ overline {u_ {i}}}} \ neq {\ overline {u_ {i}}}}
Najprostszym przykładem jest filtr „hat” (w języku angielskim cylinder ) oparty na rozmiarze oczek Δ
sol={1Δ3sja|rja-rja′|<Δ20sjanieonie{\ Displaystyle G = \ lewo \ {{\ początek {tablica} {lcl} {\ Frac {1} {\ Delta ^ {3}}} & si & | r_ {i} -r '_ {i} | < {\ frac {\ Delta} {2}} \\ [0.6em] 0 i poza tym \ end {array}} \ right.}Rozwiązanie zapisujemy jako sumę przefiltrowanej wartości i zaburzenia o małej skali, które nie ma znaczenia fluktuacji w czasie.
uja=u¯ja+uja′{\ displaystyle u_ {i} = {\ overline {u}} _ {i} + u '_ {i}}możemy następnie zapisać przefiltrowane równania Naviera-Stokesa:
∂u¯ja∂xja=0{\ displaystyle {\ frac {\ częściowy {\ overline {u}} _ {i}} {\ częściowy x_ {i}}} = 0}∂∂t(ρu¯ja)+∂∂xjot(ρu¯jau¯jot)+∂p¯∂t-∂τ¯jajot∂xjot-∂tjajot∂xjot=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} (\ rho {\ overline {u}} _ {i}) + {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {j}}} (\ rho {\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}) + {\ frac {\ części {\ overline {p}}} {\ części t}} - {\ frac { \ częściowe {\ overline {\ tau}} _ {ij}} {\ częściowe x_ {j}}} - {\ frac {\ częściowe t_ {ij}} {\ częściowe x_ {j}}} = 0}gdzie t ij jest tensorem wprowadzonym przez Anthony'ego Leonarda:
tjajot=ρ(u¯jau¯jot-ujaujot¯)=ρ(u¯jau¯jot-u¯jau¯jot¯-uja′u¯jot¯-ujot′u¯ja¯-uja′ujot′¯){\ displaystyle {\ begin {tablica} {lcl} t_ {ij} & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {u_) {i} u_ {j}}}) \\ [0.6em] & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {{ \ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {j} {\ overline {u}} _ {i}}} - {\ overline {u' _ {i} u '_ {j}}}) \ end {tablica}}}Zwróć uwagę, że gdyby G był przeciętnym operatorem Reynoldsa, pierwsze cztery członkostwo zniknęłyby. Co więcej, jeśli tij szanuje niezmienność Galileusza , nie jest to prawdą dla każdego z wyrażeń, które ją tworzą.
Aby zamknąć problem, konieczne jest określenie przybliżenia w siatce, na przykład typu długości mieszanki (patrz wyżej), jak to uczynił Joseph Smagorinsky (1963)
lm=VSSΔ{\ displaystyle l_ {m} = C_ {S} \ Delta}gdzie C s ~ 0,1 jest stałą modelowania powiązaną ze stałą Kołmogorowa .
Bibliografia
-
(w) John WS Rayleigh, „ On the Dynamical Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion ” , Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. clxxxiv,1895( czytaj online )
-
(w) Rutherford Aris , Wektory, tensory i podstawowe równania mechaniki płynów. , Dover Publications ,1962, 286 str. ( ISBN 0-486-66110-5 , czytaj online )
-
(De) JC Rotta, „ Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz ” , Zeitschrift fur Physik , tom. 129,1951, s. 547-572
-
(i) , David C. Wilcox turbulencji modelowania CFD: CD-ROM , DCW Industries2006, 522 s. ( ISBN 1-928729-08-8 , czytaj online )
-
-
(en) SB Pope, Turbulent Flows , Cambridge University Press ,2000
-
(w) K. Hanjalić i BE Launder , „ Model naprężeń Reynoldsa dla turbulencji i jego zastosowanie do cienkich przepływów ścinających ” , Journal of Fluid Mechanics , vol. 52, n o 4,1972, s. 609-638
-
J. Boussinesq , " Esej o teorii płynących wód ", Proceedings of the Academy of Sciences , t. 23,1877, s. 1-680 ( czytaj online )
-
(w) WP Jones i BE Launder , „ Przewidywanie laminaryzacji za pomocą dwurównaniowego modelu turbulencji ” , International Journal of Heat and Mass Transfer , tom. 15 N O 21972, s. 301-314
-
(w) BE Launder i DB Spalding, „ Numeryczne obliczanie przepływów turbulentnych ” , Metody komputerowe w mechanice stosowanej i inżynierii , tom. 3, N O 21974, s. 269-289
-
(ru) A. Kołmogorow , „ Równanie turbulentnego ruchu płynu nieściśliwego ” , Doklady Akademii Nauk ,1942
-
(w) DC Wilcox, „ Ponowna ocena równania określającego skalę dla zaawansowanego modelu turbulencji ” , AIAA Journal , Vol. 26 N O 111988, s. 1299-1310
-
(w) i PR SR Spalart Allmaras, " jeden-Równanie turbulencji Wzór aerodynamiczny przepływami " , AIAA papieru , n os 92-0439,1992( czytaj online )
-
(De) L. Prandtl , " Bericht uber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz " , Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik ,1925, s. 136-139
-
(w) P.Sagaut, Large Eddy Simulation for Incompressible Flows: An Introduction , Springer-Verlag ,2006, 556 s. ( ISBN 978-3-540-26344-9 , czytaj online )
-
(w) A. Leonard, „ Energy Cascade in Large-Eddy Simulation of Turbulent Fluid Flows ” , Advances in Geophysics , tom. W wieku 18 lat,1974, s. 237–248
-
(w) JS Smagorinsky, „ Ogólne eksperymenty cyrkulacyjne z równaniami pierwotnymi I. Eksperyment podstawowy ” , Monthly Weather Review , vol. 91, n o 3,1963, s. 99-164 ( czytaj online )
Linki zewnętrzne
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">