Zredukowana masa
W fizyce zmniejszona masa jest masą nadana fikcyjnego obiektu realizowanego w uproszczeniu problemów interakcji z dwóch korpusów w mechanice Newtona .
Zredukowana masa jest zwykle oznaczana grecką literą μ, a jej jednostki SI są takie same jak jednostki masy: kilogramy (kg).
Równania
Problem dwóch ciał
Niech dwie cząstki oddziałują ze sobą, jedna o masie, a druga o masie , ruch tych dwóch mas można sprowadzić do ruchu pojedynczej cząstki o (zredukowanej) masie :
m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}μ{\ displaystyle \ mu}
μ=11m1+1m2=m1m2m1+m2 .{\ displaystyle \ mu = {1 \ ponad {{1 \ ponad m_ {1}} + {1 \ ponad m_ {2}}}} = {{m_ {1} m_ {2}} \ ponad {m_ {1} } + m_ {2}}} \.}
Siła przyłożona do tej masy jest wynikiem sił występujących między masami początkowymi. Następnie problem rozwiązuje się matematycznie, zastępując masy w następujący sposób:
m1→μ{\ displaystyle m_ {1} \ rightarrow \ mu}
i
m2→0{\ displaystyle m_ {2} \ rightarrow 0}
Problem z ciałem N.
Definicję masy zredukowanej można uogólnić na problem N-ciała :
μ=(∑ja=1nie1mja)-1{\ Displaystyle \ mu = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {1} {m_ {i}}} \ prawo) ^ {- 1}}
Przybliżenie
Gdy masa jest znacznie większa od masy, masa zredukowana jest w przybliżeniu równa mniejszej z mas:
m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}
μ=m1m2m1+m2 =m1m2m1(1+m2m1) =m21+m2m1 ≈m2{\ displaystyle \ mu = {{m_ {1} m_ {2}} \ ponad {m_ {1} + m_ {2}}} \ = {{m_ {1} m_ {2}} \ ponad {m_ {1} }} ({1 + {{m_ {2}} \ ponad {m_ {1}}})}} \ = {{m_ {2}} \ ponad {1 + {{m_ {2}} \ ponad {m_ {1}}}}} \ \ około m_ {2}}
Pochodzenie
Równania mechaniki są wyprowadzane w następujący sposób.
Mechanika Newtona
Na drugie prawo Newtona można wyrazić siłę wywieraną przez cząstki 2 na 1 jako cząstki
fa12=m1w1.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = m_ {1} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}Siła wywierana przez cząstkę 1 na cząstkę 2 wynosi
fa21=m2w2.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}W prawo trzecie Newtona stwierdza się, że siła wywierana przez cząstki 2 na cząstki 1 jest równe i przeciwnie do siły wywieranej przez cząstkę 1 2 cząstki
fa12=-fa21.{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}. \! \,}Więc,
m1w1=-m2w2.{\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {a} _ {1} = - m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}i
w2=-m1m2w1.{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = - {m_ {1} \ ponad m_ {2}} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}Względne przyspieszenie a rel między dwoma ciałami jest wyrażone wzorem
wrmil=w1-w2=(1+m1m2)w1=m2+m1m2w1=fa12μ.{\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}} = \ mathbf {a} _ {1} - \ mathbf {a} _ {2} = \ lewo (1 + {\ Frac {m_ {1} } {m_ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {1} = {\ frac {m_ {2} + m_ {1}} {m_ {2}}} \ mathbf {a} _ {1 } = {\ frac {\ mathbf {F} _ {12}} {\ mu}}.}Pozwala to stwierdzić, że cząstka 1 porusza się względem pozycji cząstki 2, tak jakby była ciałem o masie równoważnej masie zredukowanej.
Mechanika Lagrange'a
Problem dwóch ciał jest opisany w mechanice Lagrangianu przez następujący
Lagrangian
L=12m1r˙12+12m2r˙22-V(|r1-r2|){\ Displaystyle L = {1 \ ponad 2} m_ {1} \ mathbf {\ kropka {r}} _ {1} ^ {2} + {1 \ ponad 2} m_ {2} \ mathbf {\ kropka {r }} _ {2} ^ {2} -V (| \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} |) \! \,}gdzie r i jest wektorem położenia cząstki (o masie m i ), a V jest funkcją energii potencjalnej, która zależy tylko od odległości między cząstkami (warunek konieczny do zachowania niezmienności translacyjnej układu). Definiujemy
ja{\ displaystyle i}
r=r1-r2{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}i ustawiamy początek używanego układu współrzędnych tak, aby pokrywał się ze środkiem masy, a zatem
m1r1+m2r2=0{\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2} = 0}.
W ten sposób,
r1=m2rm1+m2,r2=-m1rm1+m2.{\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = {\ Frac {m_ {2} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}, \ mathbf {r} _ {2} = {\ frac {-m_ {1} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Zastępując to w Lagrangianu, otrzymujemy
L=12μr˙2-V(r),{\ Displaystyle L = {1 \ ponad 2} \ mu \ mathbf {\ kropka {r}} ^ {2} -V (r),}nowy Lagrangian dla cząstki o zredukowanej masie:
μ=m1m2m1+m2.{\ displaystyle \ mu = {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Dlatego zredukowaliśmy początkowy problem dwóch ciał do uproszczonego problemu jednego ciała.
Uwagi i odniesienia
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu z
angielskiej Wikipedii zatytułowanego
„ Reduced mass ” ( patrz lista autorów ) .
John R. Taylor ( przetłumaczone z angielskiego przez Tamera Becherrawy i Aurélie Cusset), Classical Mechanics , Brussels / Paris, De Boeck ,2012, 877 pkt. ( ISBN 978-2-8041-5689-3 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">