Logika algebraiczna

W logice matematycznej The algebraiczne logika jest rozumowanie uzyskano poprzez manipulowanie równania ze zmiennymi wolnymi .

To, co obecnie nazywa się ogólnie klasyczną logiką algebraiczną, koncentruje się na identyfikacji i algebraicznym opisie modeli odpowiednich do badania różnych logik (w postaci klas algebr, które stanowią algebraiczną semantykę tych systemów dedukcyjnych ) i zagadnieniach pokrewnych, takich jak reprezentacja i dwoistość.

Algebry jako modele logiki

Logika algebraiczna traktuje struktury algebraiczne i kraty jako modele (interpretacje) pewnych logik .

W logice algebraicznej:

Zmienne są milcząco i powszechnie określane ilościowo w całym świecie dyskursu . Nie ma żadnych egzystencjalnie wyliczonych zmiennych ani otwartych formuł;
Te słowa są zbudowane ze zmiennych z wykorzystaniem operacji prymitywów i zdefiniowane. Nie ma żadnych złączy ;
Te wzory , zbudowany ze słów, może być leczona, jeśli są logicznie równoważne ;
W ponens Modus jest ważny, ale jest rzadko używany.

W poniższej tabeli lewa kolumna zawiera jeden lub więcej systemów logicznych lub matematycznych, a struktura algebraiczna jest pokazana po prawej stronie tabel.

Formalizmy algebraiczne wykraczające poza logikę pierwszego rzędu obejmują:

Kombinatoryczne logika mający siłę wyrazu tej teorii mnogości ;
Relacyjną Algebra , algebraiczna logiczny prawdopodobnie wzorcowym, który może wyrażać arytmetycznej Peano i teorii aksjomatycznych zestawów, włączając CFZ kanonicznej.

System logiczny	Jego algebra Lindenbauma
Klasyczny rachunek zdań	Algebra Boole'a
Intuicjonistyczna logika zdań	Heyting Algebra
Logika Łukasiewicza	Algebra-MV
Logika modalna K.	Algebra modalna
S4	Algebra wewnętrzna
S5 ; Obliczanie predykatów monadycznych	Monadyczna algebra Boole'a
Logika pierwszego rzędu	Uzupełnij algebrę Boole'a Algebra poliadyczna
Logika pierwszego rzędu z równościami	Algebra cylindryczna
Teoria mnogości	Logika kombinatoryczna Algebra relacyjna

Historia

Algebraiczna logika jest, być może, najstarszy podejście do logiki formalnej i prawdopodobnie pojawiły się w niektórych uwagach, że Leibniz napisał w latach 1680-tych, z których niektóre zostały opublikowane w XIX th century i przetłumaczone na język angielski przez Clarence Lewis w 1918. Ale prawie wszystkie znane prace dotyczące logiki algebraicznej Leibniza zostały opublikowane dopiero w 1903 roku, po odkryciu Nachlassa Leibniza przez Louisa Couturata .

Brady (2000) zbadał bogate historyczne powiązania między logiką algebraiczną a teorią modeli . Założyciele teorii modeli Ernst Schröder i Leopold Löwenheim byli logikami. Alfred Tarski , twórca teorii modeli , ważnej gałęzi współczesnej logiki matematycznej, ale także:

Współodkryty Lindenbaum - Tarski agèbre;
Wynaleziona algebra cylindryczna;
Pisze artykuł z 1941 roku, który ożywił algebrę relacyjną, którą można uznać za punkt wyjścia abstrakcyjnej logiki algebraicznej.

Nowoczesna logika matematyczna rozpoczęła się w 1847 roku wraz z dwoma broszurami, których autorami byli odpowiednio Auguste De Morgan i George Boole . Ci, a później CS Peirce , Hugh MacColl , Frege , Peano , Bertrand Russell i AN Whitehead, wszyscy podzielali marzenie Leibniza o połączeniu logiki symbolicznej , matematyki i filozofii . Algebra relacyjna jest prawdopodobnie kulminacją podejścia Leibniza do logiki. Z wyjątkiem kilku prac Leopolda Loewenheima i Thoralfa Skolema , logika algebraiczna znalazła się w cieniu wkrótce po opublikowaniu Principia Mathematica (1910-1913), by zostać ponownie wydaną w 1941 roku wraz z ponownym ujawnieniem algebry relacyjnej Tarskiego.

Leibniz nie miał wpływu na rozwój logiki algebraicznej, ponieważ jego pisma logiczne były mało studiowane przed tłumaczeniami Parkinsona i Loemkera. Aby zobaczyć, jak obecna praca w logice i metafizyce czerpała inspirację z myśli Leibniza, zobacz Zalta (2000) .

Zobacz też

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu z angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Algebraic logic ” ( zobacz listę autorów ) .

JSTOR : 3094793

Dalsza lektura

J. Michael Dunn i Gary M. Hardegree, Algebraic Methods in Philosophical Logic , Oxford University Press ,2001, 470 str. ( ISBN 978-0-19-853192-0 )Dobre wprowadzenie dla czytelników z wcześniejszym kontaktem z logiką nieklasyczną, ale bez większego zaplecza w teorii porządku i / lub algebrze uniwersalnej; książka szczegółowo omawia te warunki wstępne. Książka ta była jednak krytykowana za kiepską i czasami nieprawidłową prezentację wyników AAL. Recenzja Janusza Czelakowskiego
Hajnal Andréka, István Németi and Ildikó Sain, Handbook of Philosophical Logic, tom 2 , Springer,2001( ISBN 978-0-7923-7126-7 ) , „Logika algebraiczna” wersja robocza
Willard Quine , 1976, „Algebraic Logic and Predicate Functors” w The Ways of Paradox . Harvard Univ. Prasa: 283-307.

Perspektywa historyczna

Burris, Stanley, 2009. Algebra tradycji logicznej . Stanford Encyclopedia of Philosophy .
Brady, Geraldine, 2000. Od Peirce do Skolem: zaniedbany rozdział w historii logiki . North-Holland / Elsevier Science BV: strona katalogu , Amsterdam, Holandia, 625 stron.
Ivor Grattan-Guinness , 2000. Poszukiwanie korzeni matematycznych . Princeton University Press.
Lenzen, Wolfgang, 2004, „ Leibniz's Logic ” w Gabbay, D. i Woods, J., red., Handbook of the History of Logic, tom. 3: The Rise of Modern Logic od Leibniza do Frege . Północna Holandia: 1-84.
Roger Maddux, 1991, „The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations” Studia Logica 50 : 421-55.
Loemker, Leroy (1969 (1956)), Leibniz: Philosophical Papers and Letters , Reidel. Sprawdź wartości dat w: |date=(pomoc)
Parkinson, GHR, 1966. Leibniz: Logical Papers. Oxford University Press.
Zalta, EN, 2000, „ A (Leibnizian) Theory of Concepts ”, Philosophiegeschichte und logische Analyze / Logical Analysis and History of Philosophy 3: 137-183.