Lemma Schwarza

Lemat z Schwarz jest lemat z analizy zespolonej , dając ograniczenia dotyczące funkcji holomorficznych w kole jednostkowym w siebie. Nie należy go mylić z innym złożonym wynikiem analitycznym, zasadą symetrii Schwarza.

Stany

Pozwolić holomorficzny działanie w otwartym dysk D z środku 0 i promieniu 1 i taka, że: $fa$

$f (0) = 0$
${\ displaystyle \ forall z \ in \ mathrm {D} \ quad | f (z) | \ równoważnik 1}$ .

Więc mamy:

{\ displaystyle | f (z) | \ leq | z |}

za wszystko należące do D i .

z

{\ Displaystyle | f '(0) | \ równoważnik 1}

Jeżeli, ponadto, istnieje niezerowe elementem z D spełniającą lub jeśli , to istnieje liczbę zespoloną o module 1 w taki sposób, że na wszystkie należące do . $z_0$ ${\ displaystyle | f (z_ {0}) | = | z_ {0} |}$ $| f '(0) | = 1$ $w$ ${\ Displaystyle f (z) = az}$ $z$ $re$

Dowód

Dowodem jest bezpośrednie zastosowanie zasady maksimum .

Demonstracja

Zastosujmy do funkcji zasadę maksimum

{\ displaystyle g (z) = {\ początek {przypadków} {\ Frac {f (z)} {z}} i {\ mbox {si}} z \ neq 0 \\ f '(0) i {\ mbox {si}} z = 0, \ end {sprawy}}}

holomorficzny na D (holomorfia w 0 pochodzi z faktu, że f (0) = 0 i faktu, że f jest rozwijalne w szeregach całkowitych). Dla wszystkich r <1, jeśli D r = { z : | z | ≤ r } oznacza zamknięty dysk o promieniu r > 0 wyśrodkowany na początku, funkcję | g | na D r osiąga swoje maksimum w punkcie na krawędzi D r . Biorąc pod uwagę z należące do D , istnieje zatem dla wszystkich r ∈] | z |, 1 [, zespół z r modułu r taki, że

{\ Displaystyle | g (z) | \ równoważnik {\ podkreślenie {\ przekreślenie {D_ {r}}} {\ max}} | g (z) | = | g (z_ {r}) | = {\ frac { | f (z_ {r}) |} {| z_ {r} |}} \ leq {\ frac {1} {r}}}

Kiedy otrzymamy . ${\ displaystyle r \ rightarrow 1}$ ${\ Displaystyle | g (z) | \ równoważnik 1}$

Teraz przypuśćmy, że | f (z 0 ) | = | z 0 | dla z 0 nie zero w D , lub załóżmy, że | f ′ (0) | = 1. Następnie | g (z 0 ) | = 1 lub | g (0) | = 1 z definicji g . Zatem zgodnie z zasadą maksimum g ( z ) jest równe stałej a

z | a | = 1. Wreszcie f ( z ) = az , zgodnie z potrzebą.

Lemat Schwarza-Pick

Odmianą lematu Schwarza jest lemat Schwarz-Picka, nazwany na cześć Georga Picka , pozwalający określić analityczne automorfizmy dysku jednostkowego:

Niech f : D → D będzie funkcją holomorficzną. Wtedy dla wszystkich z 1 , z 2 ∈ D ,

{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (z_ {2})} } \ right | \ leq \ left | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1 - {\ overline {z_ {1}}} z_ {2}}} \ right |}

i dla wszystkich z ∈ D ,

{\ Displaystyle {\ Frac {\ lewo | f '(z) \ prawo |} {1- \ lewo | f (z) \ prawo | ^ {2}}} \ równoważnik {\ Frac {1} {1- \ left | z \ right | ^ {2}}}}

. Demonstracja

Dowód lematu Schwarz-Picka jest konsekwencją lematu Schwarza i faktu, że transformacja formy Möbiusa

{\ Displaystyle {\ Frac {z-z_ {0}} {{\ overline {z_ {0}}} z-1}}, \ qquad | z_ {0} | <1}

wysyła dysk do siebie. Napraw z 1 i ustaw

{\ Displaystyle M (z) = {\ Frac {Z_ {1} -z} {1 - {\ overline {Z_ {1}}} Z}}, \ qquad \ varphi (z) = {\ Frac {f ( z_ {1}) - z} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} z}}}

gdzie M i φ to transformacje Möbiusa . Ponieważ M ( z 1 ) = 0, a transformacja Möbiusa jest odwracalna, kompozyt φ ( f ( M −1 ( z ))) wysyła 0 przez 0 i dysk jednostkowy do siebie. W ten sposób możemy zastosować lemat Schwarza, który nam daje

${\ Displaystyle \ lewo | \ varphi \ lewo (f (M ^ {- 1} (z)) \ prawej) \ prawo | = \ lewo | {\ Frac {f (z_ {1}) - f (M ^ { -1} (z))} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (M ^ {- 1} (z))}} \ right | \ leq | z |}$ .

Teraz, ustawiając z 2 = M −1 ( z ) (który należy do dysku jednostkowego), dochodzimy do żądanej nierówności:

{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (z_ {2})} } \ right | \ leq \ left | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1 - {\ overline {z_ {1}}} z_ {2}}} \ right |}

Aby udowodnić drugą część, podzielmy przez | z 1 - z 2 | uzyskana nierówność

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {z_ {1} -z_ {2}}} \ prawo | \ lewo | {\ Frac {1} {1 - {\ overline {f (z_ {1})}} f (z_ {2})}} \ right | \ leq \ left | {\ frac {1} {1 - {\ overline {z_ {1} }} z_ {2}}} \ right |}$ .

Sprawiając, że z 2 dąży do z 1 , otrzymujemy drugą nierówność lematu.

Wyrażenie

{\ Displaystyle d (z_ {1}, z_ {2}) = \ tanh ^ {- 1} \ lewo | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1 - {\ overline {z_ {1 }}} z_ {2}}} \ right |}

jest odległością w sensie miernika Poincarégo . Z lematu Schwarz-Picka dowiadujemy się, że dowolna funkcja holomorficzna dysku jednostkowego sama w sobie zmniejsza odległość między dwoma punktami w sensie metryki Poincarégo. Jeśli równość ma miejsce w jednej z dwóch nierówności lematu (co jest równoznaczne z powiedzeniem, że mapa holomorficzna f zachowuje odległość w metryki Poincarégo), to f jest automorfizmem analitycznym, określonym przez transformację Möbiusa wysyłającego jednostkę dysk do siebie.

Równoważne stwierdzenie na półpłaszczyźnie Poincaré H można sformułować:

Niech f : H → H będzie funkcją holomorficzną. Wtedy dla wszystkich z 1 , z 2 ∈ H ,

{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {f (z_ {1}) - f (z_ {2})} {{\ overline {f (z_ {1})}} - f (z_ {2})}} \ right | \ leq {\ frac {\ left | z_ {1} -z_ {2} \ right |} {\ left | {\ overline {z_ {1}}} - z_ {2} \ right |}}}

Jest to bezpośrednia konsekwencja lematu Schwarza-Picka: używając faktu, że transformacja Cayleya W ( z ) = ( z - i) / ( z + i) jest mapą konformalną wysyłającą górną półpłaszczyznę H do jednostki dyskowej D , uzyskuje się to, że zastosowanie w ∘ f ∘ w -1 jest holomorficzny i wysyła D na D . Stosując lemat Schwarza-Picka do funkcji W ∘ f ∘ W −1 i używając jawnego wyrażenia W, dochodzimy do pożądanego wyniku . Podobnie dla wszystkich z ∈ H ,

{\ Displaystyle {\ Frac {\ lewo | f '(z) \ prawo |} {{\ tekst {im}} (f (z))}} \ równoważnik {\ Frac {1} {{\ tekst {im} } (z)}}}

Jeśli równość występuje dla jednej z dwóch poprzedzających nierówności, to f jest transformacją Möbiusa z rzeczywistymi współczynnikami, tj.

{\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {az + b} {cz + d}}}

gdzie a , b , c , d ∈ R i ad - bc > 0.

Bibliografia

Michèle Audin , Geometry , EDP Sciences , 2006
Henri Cartan , Elementarna teoria funkcji analitycznych jednej lub więcej zmiennych złożonych [ szczegóły wydania ]
Walter Rudin , Real and complex analysis [ szczegóły wydań ]

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Schwarz lemma ” ( zobacz listę autorów ) .

Cartan , str. 84.
Hervé Queffélec , Analiza agregacji: kursy i poprawione ćwiczenia , Paryż, Dunod ,2013, 635, s. ( ISBN 978-2-10-070093-6 , OCLC 862735438 ) , str. 575.
Cartan , str. 175-187.