Nierówność zmienna

W matematyce , A wariacyjna nierówność problemu obejmuje uogólniając szereg klasycznych problemów, takich jak znalezienie zero funkcji znalezienie stacjonarnego punktu w optymalizacji problemu, problem liniowego komplementarności , itp . Formalizm został po raz pierwszy wprowadzony do analizy pewnych równań różniczkowych cząstkowych modelujących problemy z kontaktem lub z wolną granicą ( problem Signorina ), zanim stał się autonomiczną ramą formalną stosowaną do różnych problemów.

Definicja problemu

Biorąc pod uwagę przestrzeń Banacha, w której zanotowano topologiczną dualność ( zaznaczono hak dualności ), zbiór niepusty i funkcję , problemem nierówności wariacyjnej jest znalezienie punktu takiego, że $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} '}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ $K \ subset {\ mathbb {E}}$ ${\ displaystyle F: K \ to \ mathbb {E} '}$ $x \ in \ mathbb {E}$

${\ displaystyle \ operatorname {IV} (F, K) \ qquad \ left \ {{\ begin {array} {l} x \ in K \\\ langle F (x), yx \ rangle \ geqslant 0 \ quad \ forall y \ in K. \ end {array}} \ right.}$

W związku z tym ten problem został zauważony . Z geometrycznego punktu widzenia , jeśli jest przestrzenią Hilberta , jeśli jej dualność jest utożsamiana z i jeśli jest wypukła , chodzi o znalezienie takiego punktu , który znajduje się w normalnym stożku w en . $\ nazwa operatora {IV} (F, K)$ $\ mathbb {E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} '}$ $\ mathbb {E}$ $K.$ $x \ w K.$ $-F (x)$ $K.$ $x$

Gdy dane mają określoną strukturę, napotykamy klasyczne problemy.

Tak , problem jest znalezienie zera z . ${\ displaystyle K = \ mathbb {E}}$ $fa$
Jeśli jest to przestrzeń Hilberta , jeśli jest zamknięty niepusty wypukły, a jeśli jest gradientu z różniczkowej funkcji wypukłej , problemem jest to, aby zminimalizować się . $\ mathbb {E}$ $K.$ ${\ displaystyle F = \ nabla f}$ $f: \ mathbb {E} \ do \ R$ $fa$ $K.$
W przypadku , jeśli jest dodatni orthant of a jeśli jest to funkcja afiniczna ( liniowa mapa i ), znajdujemy problemu liniowego komplementarności . ${\ mathbb {E}} = \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle K = \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle F: x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mapsto Mx + q \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $M$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$

Istnienie rozwiązania

Jeśli jest przestrzenią Hilberta , punkt jest rozwiązaniem tego, czy i tylko wtedy, gdy jest stałym punktem funkcji $\ mathbb {E}$ $x$ $\ nazwa operatora {IV} (F, K)$

${\ Displaystyle \ varphi: x \ w K \ do P_ {K} (xF (x)) \ w K.}$

Zauważyliśmy włączony rzutnik ortogonalny . Wyniki istnienia punktu stałego można zatem wykorzystać do uzyskania warunków zaistnienia rozwiązania problemu . W wymiarze skończonym następujący wynik jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Brouwera o punkcie stałym , zastosowanego do funkcji . $P_ {K}$ $K.$ $\ nazwa operatora {IV} (F, K)$ $\ varphi$

Istnienie rozwiązania (wymiar skończony) - jeśli jest ciągły i jeśli jest zwarty, niepusty wypukły , to problem ma rozwiązanie. $F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ $K \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ $\ nazwa operatora {IV} (F, K)$

Metody rozdzielczości

Załączniki

Uwagi

Powiązane artykuły

Prace ogólne

(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Skończone-wymiarowe nierówności wariacyjne i problemy komplementarności (2 tomy). Seria Springer w badaniach operacyjnych. Springer-Verlag, Nowy Jork.
R. Głowiński, J.-L. Lions, R. Trémolières (1976). Numeryczna analiza nierówności wariacyjnych - Tom 1: Teoria ogólna i pierwsze zastosowania - Tom 2: Zastosowania do zjawisk stacjonarnych i ewolucyjnych . Dunod, Paryż.