Wzajemny obraz
W matematyce The wzajemny obrazu - albo preimage - z części B z zestawu Y przez mapy f : X → Y jest podzbiorem X składa się z elementów, których obraz o f należy do B : . Charakteryzuje się zatem:
fa-1(b)={x∈X∣fa(x)∈b}{\ Displaystyle f ^ {- 1} (b) = \ {x \ w X \ środkowy f (x) \ w B \}}
x∈fa-1(b)⇔fa(x)∈b{\ Displaystyle x \ w f ^ {- 1} (B) \ Leftrightarrow f (x) \ in B}
.
Przykłady
- Odwrotność obraz z pojedyncza przez funkcję f jest zestaw poprzedników z y przez F .fa-1({y}){\ Displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \})}
{y}{\ displaystyle \ {y \}}
- Rozważmy mapę f : {1, 2, 3} → { a , b , c , d } zdefiniowaną przez f (1) = a , f (2) = c , f (3) = d . Odwrotny obraz { a , b } przez f to f −1 ({ a , b }) = {1}.
Aplikacja „wzajemny obraz”
Zgodnie z tą definicją, f -1 jest „wzajemna zdjęć (w F )” MAP, którego zestaw definicji jest zestaw części z Y i którego koniec zestaw jest zestaw części X .
Ostrożnie Kiedy M jest bijection nie mylić stosowanie na części, przy czym odwrotny bijekcji z F , określane również C -1 o Y w X . Odwrotny obraz przez f jest utożsamiany z obrazem bezpośrednim przez to odwrotne bijekcję f −1 . Aby uniknąć nieporozumień, Birkhoff i Mac Lane mówią o „ustawionej mapie”, którą oznaczają f * zamiast f −1 .
Podstawowe właściwości
- Dla wszystkich imprez i od :
b1{\ displaystyle B_ {1}}
b2{\ displaystyle B_ {2}}
Y{\ displaystyle Y}
fa-1(b1∪b2)=fa-1(b1)∪fa-1(b2){\ Displaystyle f ^ {- 1} \ lewo (B_ {1} \ puchar B_ {2} \ prawej) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ kubek f ^ {- 1} (B_ {2 })}
;
fa-1(b1∩b2)=fa-1(b1)∩fa-1(b2){\ Displaystyle f ^ {- 1} \ lewo (B_ {1} \ nasadka B_ {2} \ prawej) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ nasadka f ^ {- 1} (B_ {2 })}
;
fa-1(b1∖b2)=fa-1(b1)∖fa-1(b2){\ Displaystyle f ^ {- 1} \ lewo (B_ {1} \ setminus B_ {2} \ prawej) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2 })}
.
- Dla każdej części dnia , .
b{\ displaystyle B}
Y{\ displaystyle Y}fa(fa-1(b))=b∩jam(fa){\ Displaystyle f (fa ^ {- 1} (b)) = b \ czapka \ operatorname {im} (f)}
- W szczególności, jeśli jest suriekcją potem .
fa{\ displaystyle f}
fa(fa-1(b))=b{\ Displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
Możemy nawet udowodnić, że jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej części od mamy .fa{\ displaystyle f}b{\ displaystyle B}Y{\ displaystyle Y}fa(fa-1(b))=b{\ Displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
- Dla każdej części dnia , .
W{\ displaystyle A}
X{\ displaystyle X}
W⊂fa-1(fa(W)){\ Displaystyle A \ podzbiór f ^ {- 1} (f (A))}
Włączenie w innym kierunku jest na ogół fałszywe, jeśli nie jest iniekcyjne .fa{\ displaystyle f}
Możemy nawet udowodnić, że jest injective wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej części od mamy .fa{\ displaystyle f}W{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}fa-1(fa(W))=W{\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) = A}
- Dla każdej niepustej rodziny części :
(bja)ja∈ja{\ Displaystyle \ lewo (B_ {i} \ prawej) _ {i \ w I}}
Y{\ displaystyle Y}
fa-1(⋂ja∈jabja)=⋂ja∈jafa-1(bja){\ displaystyle f ^ {- 1} \ lewo (\ bigcap _ {i \ in I} B_ {i} \ right) = \ bigcap _ {ja \ in I} f ^ {- 1} (B_ {i}) }
;
fa-1(⋃ja∈jabja)=⋃ja∈jafa-1(bja){\ Displaystyle f ^ {- 1} \ lewo (\ bigcup _ {ja \ in ja} B_ {i} \ prawej) = \ bigcup _ {ja \ in ja} f ^ {- 1} (B_ {i}) }
.
- Rozważa się stosowanie więcej , to odwrotność obrazu części o w kompozycie jest:
sol:Y→Z{\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}
VS{\ displaystyle C}
Z{\ displaystyle Z}
sol∘fa{\ displaystyle g \ circ f}
(sol∘fa)-1(VS)=fa-1(sol-1(VS)).{\ Displaystyle (g \ Circ f) ^ {- 1} \ lewo (C \ prawej) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C)).}
Uwagi i odniesienia
-
Saunders Mac Lane i Garrett Birkhoff , Algebra [ szczegóły wydań ], lot. 1, str. 8 .
-
Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz na przykład odpowiedź na odpowiednie ćwiczenie na Wikiwersytecie .
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">