Maksymalny ideał
Maksymalny idealny to pojęcie związane z teorią pierścieni w matematyce dokładniej w i algebry .
Idealny z pierścienia przemiennego mówi się, że maksymalny, gdy jest ona zawarta w dokładnie dwa ideały, siebie i cały pierścień. Istnienie ideałów maksimum zapewnia twierdzenie Krulla .
Ta definicja umożliwia uogólnienie pojęcia elementu nieredukowalnego na pierścienie inne niż w przypadku względnych liczb całkowitych . Niektóre z tych pierścieni odgrywają ważną rolę w algebraicznej teorii liczb i geometrii algebraicznej .
Motywacje
Arytmetyka czasami wymaga pracy na skomplikowanych pierścieni przemiennych jak niektóre algebraicznych całkowitych . Twierdzenia używane zwykle do budowania teorii, takie jak rozkład na czynniki pierwsze , nie są już w pełni weryfikowane. W tym przypadku niepowtarzalność rozkładu (poza porządkiem i elementami odwracalnymi ) nie jest dokładna.
Jednak aby móc zbudować teorię, obowiązuje jeszcze inna koncepcja: ideały. Definicje ważne dla elementów, takie jak nieredukowalne , pierwsze , pierwsze między sobą jako całość , gcd lub nawet ppcm , często mają równoważne definicje dla pierścieni.
W głównym kręgu pojęcie maksymalnego ideału odpowiada pojęciu elementów nieredukowalnych. Jest stosowany w szczególności w teorii wielomianów .
Definicje
Ostatnia definicja jest równoważna z następującą:
- Element nieredukowalny to taki element, że każda dekompozycja na dwa czynniki zawiera jeden i tylko jeden element odwracalny.
Przykłady
- Maksymalne ideały ( euklidesowego , a więc głównego ) pierścienia ℤ względnych liczb całkowitych są ideałami postaci p ℤ, gdzie p jest liczbą pierwszą . Umiejscowienie tego pierścienia pozwala na zdefiniowanie pierścieni liczb całkowitych p- adycznych .
- Jeśli K jest ciałem przemiennym , maksymalne ideały (euklidesowego, a więc głównego) pierścienia K [ X ] są ideałami generowanymi przez nieredukowalne wielomiany . W przypadku, gdy pole jest algebraicznie zamknięte (na przykład dla ciała liczb zespolonych ), są to wielomiany stopnia 1. Lokalizowanie tych pierścieni prowadzi do pierścieni szeregu formalnego .
- W przypadku pierścienia o współczynnikach wielomianu w pierścieniu liczb całkowitych, nieredukowalną wielomian niekoniecznie daje maksymalną idealnym: idealne generowane przez X jest dokładnie zawarte w wytworzonej przez 2 i X .
- Jeśli K jest ciałem przemiennym, jedynym maksymalnym ideałem jest {0}.
- Szczególnie ważne są pierścienie z tylko jednym maksymalnym ideałem: są to pierścienie lokalne . Generalnie uzyskuje się je po procesie lokalizacji , który polega na odwracalności wystarczającej liczby elementów, tak że pozostaje tylko maksymalny ideał.
Nieruchomości
Pierścień ilorazowy
Idealne I pierścienia przemiennego A jest maksymalne wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz pierścienia A / I jest polem.
W konsekwencji każdy maksymalny ideał jest liczbą pierwszą .
Ta właściwość umożliwia na przykład skonstruowanie ciała pęknięcia nieredukowalnego wielomianu.
Demonstracja
- Załóżmy , że I jest maksymalne i pokaż, że każdy niezerowy element x A / I jest odwracalny. Taki element x iloraz jest klasa elementu A do A nie należy do I . Ponieważ A jest przemienne, I + aA jest ideałem. Jak to idealny ściśle zawiera I , jest równa A . Oznacza to, że istnieje element, ı o I i element B z tak, że I + AB = 1. Równość ta pokazuje, że klasa x od jest odwracalna odwrotnie klasa B . W konsekwencji A / I jest rzeczywiście ciałem.
- Odwrotnie, załóżmy że / I jest ciałem i pokazują, że każdy ideał J z A zawierającym ściśle I równa się A . Takie J znajduje się , nie należących do I . Klasa nie jest elementem odwrócenie więc nie jest elementem b z A i element I z I w taki sposób, I + ab = 1. Wskazuje to, że jeden element jest równość J , a więc J równa się A . W konsekwencji jestem rzeczywiście maksymalny.
Pierścień główny
W przypadku pierścienia głównego pojęcia nieredukowalności i pierwotności są mylone:
Dla każdego idealnego I głównego pierścienia następujące właściwości są równoważne:
-
Ja jest liczbą pierwszą, a nie zerem;
-
I jest generowane przez niezerowy i nieodwracalny element, który, jeśli dzieli iloczyn ab , dzieli a lub b ;
-
I jest generowane przez nieredukowalny element;
-
Ja jest maksymalny.
Demonstracja znajduje się w § „Główny pierścień” artykułu o głównych ideałach .
Twierdzenie Krulla i elementy odwracalne
Twierdzenie Krull (odpowiednik aksjomatu wyboru ) zapewnia, że w każdym pierścienia przemiennego, własnej idealny jest zawsze zawarte w co najmniej jednym ideale maksymalnym.
W konsekwencji element pierścienia jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie należy do żadnego maksymalnego ideału. Istotnie, element nie jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał, który generuje, jest właściwy.
Zobacz też
Link zewnętrzny
Christian Squarcini, „ Pierścienie i ciała ” ,2005
Bibliografia