Ułamkowy ideał

W matematyce , a dokładniej w teorii pierścieni , ułamkowy ideał jest uogólnieniem definicji ideału . Koncepcja ta zawdzięcza swój początek algebraicznej teorii liczb . Aby rozwiązać niektóre równania diofantyczne , teoria ta wykorzystuje pierścienie liczb całkowitych uogólniające ten dla względnych liczb całkowitych . Te (jednolitym) pierścienie na ogół nie mają równoważnik podstawowego twierdzenia arytmetyczne i nie jest możliwe, aby czynnik liczbę całkowitą w jeden produkt z głównych czynników, z wyjątkiem dla grupy elementów odwracalnych . Ideały stanowią odpowiednik tego twierdzenia, pozwalając rozwiązać pewne równania Diofantyna lub ustanowić prawa wzajemności równoważne kwadratowemu prawu wzajemności ustanowionemu przez Gaussa .

Ideały są zwielokrotnione, operacja ta jest asocjacyjna i istnieje neutralny element składający się z całego pierścienia. Z drugiej strony brak odwrotności uniemożliwia nadanie wszystkim ideałom struktury grupowej . W przypadku pierścieni liczb całkowitych struktura ma wszystkie właściwości zapewniające obejście. Ta konfiguracja jest aksjomatyzowana w definicji pierścienia Dedekinda . Najpierw pierścień zanurza się w swoim całkowitym pierścieniu ułamków , a następnie uogólnia się pojęcie ideału.

Pojęcie to jest również używane w geometrii algebraicznej .

Historia

Próba przez Leonhard Euler rozwiązać ostatnie twierdzenie Fermata, jeśli n jest równe 3 prowadzi go do rozważenia liczby postaci + b $I$ √ 3 , gdzie i b są liczbami całkowitymi i $ja$ jednostka urojona . Jego dowód jest fałszywy: taki pierścień nie jest silnia , to znaczy, że nie ma jedynego sposobu na faktoryzację liczby za pomocą czynników pierwszych. Na przykład 4 to zarówno kwadrat liczby całkowitej 2, jak i iloczyn (1 + $i$ √ 3 ) (1 - $i$ √ 3 ). Jeśli realizacja jest trochę niezdarna, pomysł okazuje się dobry. Gauss pokazuje to, badając pierścień liczb w postaci a + $i$ b , gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Jest euklidesowy i ma dobrą faktoryzację. Gotthold Eisenstein odkrywa „właściwy” pierścień, aby dowód Eulera był rygorystyczny. Złożony z liczb w postaci a + $j$ b , gdzie $j$ oznacza pierwiastek sześcienny jedności , okazuje się również, że jest euklidesowy.

W ogólnym przypadku nie ma nadziei na znalezienie struktury euklidesowej dla pierścieni liczb całkowitych. Ernst Kummer rozumie leżącą u podstaw tego przyczynę, którą określa jako drugą przeszkodę . Ekwiwalenty liczb całkowitych na pierścieniach algebraicznych liczb całkowitych nie są wystarczająco „liczne”. W związku z tym dodaje to, co nazywa liczbami idealnymi . To odkrycie pozwala mu udowodnić wielkie twierdzenie Fermata dla wszystkich wartości n mniejszych niż 100 z wyjątkiem 37, 59 i 67.

Kummer analizuje algebraiczne liczby całkowite pola Q [ζ n ], gdzie ζ n oznacza prymitywny pierwiastek jedności , strukturę nazywaną obecnie rozszerzeniem cyklotomicznym . Richard Dedekind i Leopold Kronecker starają się uogólnić teorię na dowolne skończone rozszerzenie liczb wymiernych. Ich podejścia są przeciwne: Kronecker jest częścią tradycji obliczeniowej, ustanowionej przez Gaussa i kontynuowanej przez Kummera, podczas gdy Dedekind szuka teorii opartej na strukturalnej charakterystyce pierścieni liczb całkowitych, nawet jeśli oznacza to brak skutecznego algorytmu. Ta filozofia doprowadziła go do czterokrotnego przepisania traktatu o teorii liczb. Wersja 1876 zawiera nowoczesną definicję ideału i ułamkowego ideału. Jego abstrakcyjne podejście skłania go do studiowania algebraicznej struktury ideałów, a zwłaszcza ich mnożenia. Dodanie ułamkowych ideałów zapewnia istnienie odwrotności. Ostatnia wersja jego traktatu, datowana na 1894 r. , Ukazuje w całej ogólności i we współczesnej formie wyjątkowość rozkładu zastępującego podstawowe twierdzenie arytmetyki .

Definicje

W tym artykule oznacza przemienne (jednolitą) pierścienia i K jego całkowity pierścień frakcji : W przypadku jest integralna (co będzie miało miejsce przez większość czasu), K ma w związku z tym pole frakcji z A i w przypadek ogólny, K jest zlokalizowana pierścień S -1 z A w stosunku do podzbioru S stałych elementów ( tj nie- dzielących zera ).

Sub -module M do K mówi odwracalnym , jeśli jest pod -module N , tak że MN = A , w którym MN oznacza produkt submodule generowane przez elementy wyrobów M i N .
Ułamkową idealnie od A jest częścią K w postaci D, -1 J gdzie d jest regularny element i J idealnie od A . Innymi słowy, jest to sub - Moduł M od K takie, że jest stałym elementem z od A do której dM jest zawarty w A .
Takie idealne frakcjonowaną że główny , gdy generowany jest (jak A -module) poprzez element, czyli jeśli postać o -1 J , gdzie J jest głównym idealnie od A .

Uwaga: do tej misnomer ułamkową ideału A nie zawsze jest ideałem A . W rzeczywistości ideały A są dokładnie między jego ideałów ułamkowych, wymienione w A .

Od razu to zauważamy

każdy odwracalny pod- A -moduł K jest ułamkowym ideałem,
zbiór odwracalnych ułamkowych ideałów tworzy grupę abelową (dla produktu zdefiniowanego powyżej), której obojętnym jest sam pierścień A,
każdy odwracalny ułamkowy ideał jest typu skończonego jako moduł A , innymi słowy ma postać d −1 J z ideałem typu skończonego J. W szczególności każdy odwracalny ideał A jest typu skończonego,
Jeśli ułamkową idealnym F jest odwracalny, następnie jego odwrotność (Uwaga: M -1 ) jest sub -module K składa się z elementów, k , tak że kF jest w A . Innymi słowy: F jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy produkt o tym modułem jest równa całość.

Charakterystyka pierścieni Dedekinda

Definicja pierścienia Dedekinda przyjęta przez wielu autorów i podjęta w artykule Pierścień Dedekinda to: pierścień integralny, noether , całkowicie zamknięty (jednostka przemienna) , dla którego maksymalny jest dowolny niezerowy ideał pierwszy . Weźmy to ponownie tutaj, ale zobaczymy, że jest to równoważne temu, które wynika z Dedekinda (pierścienia, którego każdy niezerowy ideał jest odwracalny), bardziej dopasowanego do celu analogu, jeśli chodzi o ideały, podstawowego twierdzenia arytmetyki .

Twierdzenie - Następujące właściwości są równoważne:

A to pierścień Dedekinda,
każdy niezerowy ideał główny A jest odwracalny,
każdy niezerowy ideał A jest odwracalny,
A jest całkowe i każdy niezerowy ideał A jest iloczynem maksymalnych ideałów,
A jest uczciwy, a każdy ideał A jest wytworem pierwotnych ideałów.

Co więcej, jeśli A jest pierścieniem Dedekinda, rozkład dowolnego niezerowego ideału na produkt pierwszych ideałów jest wyjątkowy (do rzędu czynników).

Demonstracja

${\ displaystyle 1 \ Rightarrow 2}$ : Albo P niezerowym ideałem pierwszym od A . Zlokalizowane P jest wartość pierścień dyskretny więc głównym, jest elementem T z P generowania idealny PA P do A P , to znaczy taki, że p jest zawarty w tA P .

Ponadto jest Noetherian , albo ( s 1 , ..., p r ) skończoną wytwarzający P . Każdy p i należy do tA P , więc nie istnieje w A element nie należącej do P tak, że ( / t ) s I należą do A , tak, że (A / T) .P jest w A .

Określić frakcyjnej idealne Q = A + ( / t ) A i sprawdza, czy jest odwrotnością P . O budowie JO to ideałem A zawierającego P . Ponieważ zawiera ona także element ( / t ) t = A , która nie jest w P i P jest maksymalne, wnioskujemy, że QP = A .

${\ Displaystyle 2 \ Rightarrow 3}$ : Rozumujmy przez absurd, zakładając 2 prawdziwe i 3 fałszywe. Hipoteza 2 zakłada, że każdy ideał pierwszy jest typu skończonego, co jest warunkiem wystarczającym, aby A był Noether. Hipoteza 3 sztuczne wybiera, na ogół (nie zakłada się pusty) niezerowe i nie idee odwracalne, element ilość P . Pokażmy (podsumowując absurdalnie), że takie P jest pierwsze: niech takie tamto i pokażmy tamto . Rozważmy w tym ideał : zawiera on ściśle P, więc jest odwracalny, a PQ −1 jest ideałem A nieodwracalnym (jak P ) i zawierającym P , a zatem równe P (z wyboru tego ostatniego). Jednak zawiera również b (ponieważ P zawiera bQ ). A więc . ${\ displaystyle a, b \ in A}$ ${\ displaystyle a \ notin P}$ ${\ displaystyle ab \ in P}$ ${\ displaystyle b \ in P}$ ${\ displaystyle Q = P + aA}$ ${\ displaystyle b \ in P}$

${\ displaystyle 3 \ Rightarrow 4}$ + niepowtarzalność rozkładu w pierwszych : hipoteza 3 implikuje, że A jest całkowe (ponieważ niezerowe ideały główne są odwracalne) i noetherian (jakikolwiek odwracalny byt idealny typu skończonego). Niech będę niezerowym ideałem A , pokażmy, że jest to iloczyn maksimów. Jeśli jest równe A , to jest (w postaci produktu indeksowanego próżnią). W przeciwnym razie bądź maksymalnym ideałem zawierającym I : nie jest zerem, a zatem jest odwracalny, i jest ideałem A zawierającym ściśle ja . Konstruujemy w ten sposób ściśle rosnący ciąg ideałów o formie, która (w żadnym wypadku) jest skończona, to znaczy, że istnieje liczba naturalna n taka, że stąd . Pokażmy teraz, że jeśli z liczbami pierwszymi, to m = n i (do permutacji) . Jeśli m = 0, jest to natychmiastowe. W przeciwnym razie, ponieważ jest liczbą pierwszą i zawiera iloczyn , zawiera on jeden z nich, powiedzmy na przykład zatem (przez maksimum ) . Mnożąc równanie początkowe przez to, pozostaje (przez iterację) pożądany wynik. $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1} = A}$ ${\ Displaystyle I = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ ${\ Displaystyle P_ {1} \ ldots P_ {m} = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $Liczba Pi$ ${\ Displaystyle (P_ {1}, \ ldots, P_ {n}) = (M_ {1}, \ ldots, M_ {n})}$ $P_ {1}$ ${\ Displaystyle M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle P_ {1} = M_ {1}}$ ${\ Displaystyle M_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle P_ {2} \ ldots P_ {m} = M_ {2} \ ldots M_ {n}}$

${\ displaystyle 4 \ Rightarrow 5}$ : Natychmiast.

${\ displaystyle 5 \ Rightarrow 2}$ : por.

Bourbaki AC VII § 2 ćwiczenie 9, lub
(fr) Pierre Samuel i Oscar Zariski , algebra przemienna , t. 1 rozdz. V § 6 twierdzenie 10 lub jeszcze raz
Twierdzenie 11.149 (przypisywane Matusicie) w Szpirglas

(w tych trzech źródłach zestaw argumentów jest taki sam).

${\ Displaystyle 2 \ Rightarrow 1}$ : W ramach hipotezy 2 (która obejmuje 3, 4, 5 i wyjątkowość rozkładu w liczbie pierwszej), widzieliśmy już, że A jest Noether i integruje. Co więcej (patrz akapit Wycena poniżej), z każdym niezerowym ideałem pierwszym P z A możemy skojarzyć wycenę v P na K, tak że A jest przecięciem powiązanych pierścieni wyceny. Jest więc całkowicie zamknięty (zobacz cały artykuł Element ). Każdy niezerowy ideał liczb pierwszych P jest maksymalny (przez istnienie rozkładu na maksima i wyjątkowość rozkładu na liczbach pierwszych). Zatem A spełnia wszystkie właściwości wymagane, aby być pierścieniem Dedekinda.

Wynika z tego natychmiast, że jeśli A jest pierścieniem Dedekinda, to:

grupa odwracalnych ideałów ułamkowych jest największa, na jaką można mieć nadzieję: składa się ze zbioru Fr ( A ) wszystkich niezerowych ideałów ułamkowych (ponieważ taki ideał ma postać d −1 J = J. (dA) - 1 z J ideałem A nie zerem A zatem odwracalny);
grupa Fr ( A ) jest wolną grupą abelową na zbiorze P ( A ) niezerowych ideałów pierwszych A , tj. każdy ułamkowy ideał rozkłada się w unikalny sposób na skończony produkt mocy dodatnich lub ujemnych ideałów pierwszych ( istnienie takiego rozkładu dla ułamkowych ideałów jest wywnioskowane z rozkładu ułamkowego ideałów iz powyższego zapisu ułamkowego ideału; wyjątkowość także, poprzez redukcję iloczynu do pozytywnych mocy);
ideał ułamkowy jest ideałem A wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie potęgi w jego rozkładzie na produkt ideałów pierwszych są dodatnie („jeśli” jest natychmiastowe, „tylko jeśli” jest wywnioskowane z końca twierdzenia).

Wycena

Przypuszczamy tutaj, że A jest pierścieniem spełniającym właściwość 2 poprzedniego twierdzenia i wszystkie jego konsekwencje (właściwości 3 do 5, integralność, noetherizm, niepowtarzalność rozkładu w liczbie pierwszej). Wyjaśnimy wartościowania na A, które pozwolą nam uzupełnić dowód 2 ⇒ 1 w tym twierdzeniu. Najpierw ustalamy niezerowy idealny P :

{\ Displaystyle P \ w P (A)}

Wyjątkowość pierwszej faktoryzacji ideałów ułamkowych pozwala, tak jak w przypadku liczb naturalnych lub wymiernych, na określenie wartościowania na multiplikatywnej grupie Fr ( A ):

Zastosowanie v P że ułamkową idealnych F niezerowe łączy wykładnik P w jej rozkład na głównych idei i który łączy zero idealnych wartości nieskończonej nazywa wskaźnikowej Fr ( ) P .

{\ Displaystyle V_ {P_ {i}} \ lewo (\ prod _ {j = 1} ^ {n} P_ {j} ^ {\ alpha _ {j}} \ right) = \ alpha _ {i} \ quad {\ text {i}} \ quad v_ {P} (\ {0 \}) = \ infty.}

Z wyników poprzedniego akapitu od razu wywnioskujemy, że dla wszystkich : ${\ Displaystyle F, G \ w Fr (A)}$

${\ Displaystyle V_ {P} (F \ cdot G) = V_ {P} (F) + V_ {P} (G)}$
${\ Displaystyle V_ {P} (F + G) = \ min {\ duży (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ duży)}}$
${\ Displaystyle V_ {P} (F \ nasadka G) = \ max {\ duży (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ duży)}}$

Umożliwia to zdefiniowanie wyceny na K poprzez ograniczenie v P do niezerowych głównych ideałów ułamkowych:

stosowanie do elementu k frakcji K z A współpracowników v P ( kA ) nazywa oceniające Kp . Ta aplikacja jest wciąż oznaczony v P .

{\ Displaystyle \ forall k \ w K ^ {*}, \; v_ {P} (k) = v_ {P} (kA) \ quad {\ tekst {i}} \ quad v_ {P} (0) = \ infty.}

Na K , rodzina wartościowań ( v P ), kiedy P przechodzi teraz przez zbiór P ( A ) niezerowych ideałów pierwszych, dalej spełnia:

Dla każdej niezerowej pierwiastka X w A , V, P ( x ) jest ściśle dodatni tylko dla skończonego zbioru idei (i zera dla innych). ${\ Displaystyle P \ w P (A)}$

Innymi słowy, x należy tylko do skończonej liczby pierwszych ideałów.

„Twierdzenie o aproksymacji”: Niech będzie różne, a . Istnieje wtedy taki, że ${\ Displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {q} \ w P (A)}$ ${\ Displaystyle n_ {1}, \ ldots, n_ {q} \ w \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {q} \ w K}$ $k \ w K$

{\ Displaystyle {\ tekst {za wszystko}} ja \ w [1, q], \ quad v_ {P_ {i}} (k-k_ {i}) \ geq n_ {i} {\ tekst {i}} }

{\ Displaystyle {\ tekst {wylać tout}} P \ w P (A) {\ tekst {różni się od}} P_ {i}, \ quad v_ {P} (k) \ geq 0.}

Grupa klas idealnych

Główne niezerowe ideały ułamkowe są podgrupą niezerowych ideałów ułamkowych. Grupa ilorazów nazywana jest grupą klas . Jeśli A jest pierścieniem algebraicznych liczb całkowitych pola liczbowego, to jego grupa klas jest skończona. Wynik ten jest jednym z kluczy umożliwiających rozwiązanie równań diofantyny, a zwłaszcza tego związanego z ostatnim twierdzeniem Fermata .

Wszystkie te własności są również badane w prostszym układzie liczb całkowitych kwadratowych w artykule Ideał pierścienia liczb całkowitych pola kwadratowego .

Uwagi i odniesienia

Uwagi

John Horton Conway i Richard Guy , The Book of Numbers , Eyrolles, 1998 ( ISBN 9782212036381 ) .
(w) HM Edwards , " The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular pres " , Arch. Historia Dokładna Sci. , vol. 14 N O 3,1975, s. 219-236 ( DOI 10.1007 / BF00327448 ).
E. Kummer, „O teorii liczb zespolonych”, CRAS , 1847.
Analiza jest oferowany we wstępie tekstu (w) DEDEKIND za 1871 wersją teorii ideałów przez Jeremy Avigad 2004.
Dedekind 2006 .
(De) R. Dedekind, „Zur Theorie der Ideale”, Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen , 1894.
Bourbaki AC , II § 1, ćwiczenie 6.
Jean-Pierre Serre , lokalny korpus [ szczegóły wydań ] p. 23 albo Bourbaki AC VII § 2, n O 4.

Bibliografia

Historyczny

(en) HM Edwards, Divisor Theory , Birkhäuser, Boston, 1990 ( ISBN 978-0-81763448-3 )
R. Dedekind ( tłum. C. Duverney), Treatise on Number Teoria , Geneva, Tricorne,2006( ISBN 2829302893 ) - książka Dedekinda podająca definicję ułamkowego ideału.

Matematyka

N. Bourbaki , Elementy matematyki : algebra przemienna
(en) GH Hardy i EM Wright , Wprowadzenie do teorii liczb ( wydanie 1- sze 1938) [ wydanie detaliczne ]
Pierre Samuel , Algebraiczna teoria liczb [ szczegół wydania ]
Jean-Pierre Serre , kurs arytmetyki ,1970[ szczegóły wydań ]
Aviva Szpirglas, Algebra L3: Kompletny kurs z 400 testami i poprawionymi ćwiczeniami [ szczegóły edycji ], w szczególności rozdział Inverting Ideals - Rings of Dedekind opublikowany w Internecie przez Lionela Ducosa ( University of Poitiers ), współautora tej książki

Link zewnętrzny

Bas Edixhoven i Laurent Moret-Bailly, algebraiczna teoria liczb, kurs magisterski z matematyki , University of Rennes 1 ,2004( czytaj online )