Grupa Profini

Ten artykuł jest zarysem dotyczącym matematyki .

Możesz dzielić się swoją wiedzą doskonaląc ją ( jak? ) Zgodnie z zaleceniami odpowiednich projektów .

W grupie teorii , ą grupa profine jest grupa topologiczna otrzymano jako rzutowej granicy z oddzielnych grup skończonych . Pojęcie grupy proskończonej jest szczególnie przydatne w teorii Galois , do pracy z rozszerzeniami w skończeniu .

Jak bardziej ogólnie w teorii kategorii , ta granica rzutowa jest zdefiniowana tylko do pojedynczego izomorfizmu. Można go interpretować jako ostateczny przedmiot dobrej kategorii.

Przykłady

Dla każdej liczby pierwszej p dodatek grupę o pierścieniu z $p$ -adic liczb jest proskończonych jako rzutowej granicy ograniczonych grup cyklicznych . Ta grupa jest właściwie prop- p -kompletną grupą liczb całkowitych. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} = \ lim _ {\ leftarrow} \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$

W szczególności względne liczby całkowite mogą być postrzegane jako elementy tej grupy profine: dowolną liczbę całkowitą można zapisać jako skończoną sumę z a i mniejszym niż p . Pozujemy wtedy . ${\ displaystyle \ alfa = \ suma _ {i} a_ {i} p ^ {i},}$ ${\ displaystyle \ alfa _ {n} = \ suma _ {i \ leq n} a_ {i} p ^ {i}}$

Możemy również skonstruować profesję dopełnienia grupy liczb całkowitych względnych, biorąc pod uwagę system rzutowy utworzony ze wszystkich . ${\ kapelusz {\ mathbb {Z}}}$ $\ Z / n \ Z$

Topologia

Z twierdzenia Tychonowa , widzimy, że grupa profine jest zwarta dla początkowej topologii , przy czym każda ze skończonych grup systemu rzutowego jest wyposażona w topologię dyskretną .

W rzeczywistości mamy następującą charakterystykę:

Grupy profilowane to całkowicie nieciągłe grupy zwarte lub inaczej: grupy zwarte o wymiarze zero .

Teoria Sylowa

Grupy proskończone mają strukturę wystarczająco zbliżoną do grup skończonych, aby teoria Sylowa mogła być tam sformułowana w sposób analogiczny do przypadku klasycznego; demonstracja robione przez proste przejście do granicy .

Teoria Galois

Grupa Galois o o nieskończonej rozszerzenia pola przyznaje się grupy naturalnych profine strukturę : w rzeczywistości, jego ograniczonej ilorazy (które odpowiadają za pośrednictwem korespondencji Galois do skończonych podrzędnych rozszerzeń z rozszerzeniem badanego) zaopatrzony ich dyskretnej topologii tworzą z kanonicznych morfizmów pomiędzy nich, rzutowa układ z grupy topologiczne , przy czym ta grupa jest izomorficzny do bazowego na granicy .

Przypadek pro-p-zakończone od pojawia się w szczególności w teorii Iwasawa . $\ Z p$ $\ mathbb {Z}$

Bibliografia

(en) Luis Ribes i Pavel Zalesskii , Profinite Groups [ szczegóły wydań ]
(en) John S. Wilson , Profinite groups [ szczegóły wydań ]

Powiązany artykuł

Pro-p-grupa (pl)