Grupa mierników

W geometrii różniczkowej The grupa miernik z głównej wiązki jest podgrupa w grupie z automorfizmy głównej wiązki, który przesyła swoje włókien do siebie. Pojęcie grupy cechowania odgrywa podstawową rolę w teorii cechowania . W szczególności jej działanie grupowe na przestrzeni form połączeń prowadzi do powstania pojęcia przestrzeni modułu połączeń , niezbędnego do określenia homologii Floera instantonów.

Definicja

Pozwolić się główne -fibre na kolektorze różniczkowego i pozwolić jej działania grupa ustawy przez linię. π:P.→b{\ displaystyle \ pi: P \ do B}sol{\ displaystyle G} b{\ displaystyle B}Φ:sol→rejafafa(P.){\ Displaystyle \ Phi: G \ do \ mathrm {Różnica} (P)}

Grupa automorfizmy wiązkiπ:P.→b{\ displaystyle \ pi: P \ do B} jest podgrupa grupy Dyfeomorfizm z wystających do dyfeomorfizmu z  : P.{\ displaystyle P}b{\ displaystyle B}

Wut(P.,π): ={fa~∈rejafafa(P.)|∃fa∈rejafafa(b),π∘fa~=fa∘π}{\ Displaystyle \ mathrm {Aut} (P, \ pi): = \ {{\ tylda {f}} \ w \ mathrm {Różnica} (P) | \ istnieje f \ w \ mathrm {Różnica} (B), \ pi \ circ {\ tilde {f}} = f \ circ \ pi \}}

Grupa automorfizmy z głównego -fibresol{\ displaystyle G}π:P.→b{\ displaystyle \ pi: P \ do B} jest podgrupa grupy automorfizmy wiązki , które zachowują działanie grupy  : P.{\ displaystyle P}Φ{\ displaystyle \ Phi}

Wut(P.,π,Φ): ={fa∈Wut(P.,π)|∀sol∈sol,fa∘Φsol=Φsol∘fa}{\ Displaystyle \ mathrm {Aut} (P, \ pi, \ Phi): = \ {f \ in \ mathrm {Aut} (P, \ pi) | \ forall g \ in G, f \ Circ \ Phi _ { g} = \ Phi _ {g} \ circ f \}}

Grupa wskaźnik od jest podgrupa grupy automorfizmem głównego -bundle wysyłającego włókna samych zestawie: P.{\ displaystyle P}sol{\ displaystyle G}P.{\ displaystyle P}

sol: ={Λ∈Wut(P.,π,Φ)|π∘Λ=π}{\ Displaystyle {\ mathcal {G}}: = \ {\ Lambda \ in \ mathrm {Aut} (P, \ pi, \ Phi) | \ pi \ Circ \ Lambda = \ pi \}}

Elementy grupy mierników nazywane są transformacjami mierników . sol{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}

Przemiany cechowania są w bijekcji z -equivariant mapach , na tej wewnętrznej automorfizmem grupy strukturalnej na sobie. Korespondencję wyraźnie podaje: ι{\ displaystyle \ iota}λ♯:P.→sol{\ Displaystyle \ lambda ^ {\ ostry}: P \ do G}ι{\ displaystyle \ iota}sol{\ displaystyle G}

Λ(w)=Φλ(w)♯(w),∀w∈P.{\ Displaystyle \ Lambda (a) = \ Phi _ {\ lambda (a) ^ {\ ostry}} (a) \ qquad \ forall a \ w P}

W -equivariant mapowania schodzić do odcinków o związanej wiązki  : ι{\ displaystyle \ iota}λ♯{\ Displaystyle \ lambda ^ {\ ostry}} ι∈Γ(ιP.){\ Displaystyle \ iota \ in \ Gamma (\ iota P)}

ιP.: =P.×ιsol{\ displaystyle \ iota P: = P \ razy _ {\ iota} G}

Kiedy pakiet jest trywializowany przez lokalną sekcję trywializującą , sekcje są trywializowane do funkcji o wartości  : P.{\ displaystyle P}sμ:(Uμ⊂b)→(π-1(Uμ)⊂P.){\ Displaystyle s _ {\ mu} :( U _ {\ mu} \ podzbiór B) \ do (\ pi ^ {- 1} (U _ {\ mu}) \ podzbiór P)}λ{\ displaystyle \ lambda}Uμ{\ displaystyle U _ {\ mu}}sol{\ displaystyle G}

λμ: =sμ∗λ♯:Uμ→sol{\ Displaystyle \ lambda _ {\ mu}: = s _ {\ mu} ^ {*} \ lambda ^ {\ ostry}: U _ {\ mu} \ do G}

Przekształcenie miernika kształtu połączenia

Pozwolić formą połączenia na głównej wiązki . Transformacja miernika działa poprzez odciągnięcie połączenia : W{\ displaystyle A}P.{\ displaystyle P}Λ{\ displaystyle \ Lambda}W{\ displaystyle A}

Λ∗W{\ displaystyle \ Lambda ^ {*} A}

Jest to również forma połączenia . Wyraźnie bezpośrednie obliczenie pokazuje, że połączenie pull-back jest zapisane jako: P.{\ displaystyle P}P.{\ displaystyle P}

W′: =Λ∗W=Wreλ♯-1∘W+(λ♯)-1reλ♯{\ Displaystyle A ': = \ Lambda ^ {*} A = \ mathrm {Ad} _ {\ lambda ^ {\ ostry}} ^ {- 1} \ Circ A + (\ lambda ^ {\ ostry}) ^ { - 1} d \ lambda ^ {\ sharp}}

Używając lokalnej trywializującej sekcji pakietu , to ostatnie równanie sprowadza się do  : sμ{\ displaystyle s _ {\ mu}}P.{\ displaystyle P}Uμ{\ displaystyle U _ {\ mu}}

Wμ′=Wreλμ-1∘Wμ+(λμ)-1reλμ{\ Displaystyle A '_ {\ mu} = \ mathrm {Ad} _ {\ lambda _ {\ mu}} ^ {- 1} \ circ A _ {\ mu} + (\ lambda _ {\ mu}) ^ {-1} d \ lambda _ {\ mu}}

gdzie i są różniczkowymi postaciami 1 z wartościami w algebrze Liego na . Wμ: =sμ∗W{\ Displaystyle A _ {\ mu}: = s _ {\ mu} ^ {*} A}Wμ′: =sμ∗W′{\ Displaystyle A _ {\ mu} ': = s _ {\ mu} ^ {*} A'}sol{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Uμ{\ displaystyle U _ {\ mu}}

W fizyce, forma 1 różnicowy jest mówi się, że pole cechowania i transformacja nazywa się wskaźnik transformacji . W szczególności w przypadku, gdy grupa strukturalna jest abelowa , np. W elektromagnetyzmie , transformację cechowania zapisuje się prościej: Wμ{\ displaystyle A _ {\ mu}}Wμ′=Wreλμ-1∘Wμ+(λμ)-1reλμ{\ Displaystyle A '_ {\ mu} = \ mathrm {Ad} _ {\ lambda _ {\ mu}} ^ {- 1} \ circ A _ {\ mu} + (\ lambda _ {\ mu}) ^ {-1} d \ lambda _ {\ mu}}sol{\ displaystyle G}U(1){\ Displaystyle U (1)}

Wμ′=Wμ+reln⁡λμ{\ displaystyle A '_ {\ mu} = A _ {\ mu} + d \ ln \ lambda _ {\ mu}}

Zastosowania fizyczne

W kwantowej teorii pola The grupa miernik jest grupa o lokalną symetrię w powiązaniu z odpowiednimi teoretycznej. Chodzi o grupę, której elementy nie zmieniają wartości Lagrangianu badanego układu, gdy odnoszą się do pola występującego w Lagrangianu.

Najbardziej znanymi grupami mierników są unitarna grupa U (1) dla pola elektromagnetycznego i specjalne grupy jednostek SU (3) dla kwantowej chromodynamiki , SU (2) xU (1) dla oddziaływań elektrosłabych , SU (3) xSU (2) xU (1) dla modelu standardowego .

Zobacz też

• teoria cechowania
• Teoria Yanga-Millsa
• Teoria Cherna-Simonsa
• Homologia Floera instantonów

Książki

• 1986, SK Donaldson i PB Kronheimer, Geometry of Four-Manifolds.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">