Grupa Baumslag-Solitar
W matematyce, a zwłaszcza w teorii grup , grupy Baumslaga-Solitar są przykładami grup z dwoma generatorami i relatorem, które odgrywają ważną rolę w kombinatorycznej teorii grup i geometrycznej teorii grup jako przykłady lub kontrprzykłady.
Definicja
Grupy Baumslaga-Solitar BS ( m , n ) są zdefiniowane dla dowolnej pary względnych liczb całkowitych przez prezentacjęm,nie{\ displaystyle m, n}
BS(m,nie)=⟨w,b∣w-1bmw=bnie⟩{\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (m, n) = \ lewo \ langle a, b \ mid a ^ {- 1} b ^ {m} a = b ^ {n} \ prawo \ rangle}![{\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (m, n) = \ lewo \ langle a, b \ mid a ^ {- 1} b ^ {m} a = b ^ {n} \ prawo \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc538f8bb65f7f40158b5e13d47c5fbc366cd07)
.
gdzie zapis oznacza, że grupa jest ilorazem wolnej grupy generowanej przez generatory a i b przez wyróżnioną podgrupę generowaną przez .
w-1bmwb-nie{\ Displaystyle a ^ {- 1} b ^ {m} ab ^ {- n}}![{\ Displaystyle a ^ {- 1} b ^ {m} ab ^ {- n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7379410f2fc67123c9a0fbd538447899d69e567b)
Dobrze znane są różne grupy BS ( m , n ) . Tak więc BS (1, 1) jest wolna grupa przemienna na dwóch generatorów i BS (1, 1) jest podstawowym grupa z butelki Klein .
Grupy zostały zdefiniowane przez Gilberta Baumslaga i Donalda Solitar w 1962 roku, aby podać przykłady grup nie-hopfiańskich . Obejmują one grupy rezydualnie skończone, grupy hopfiańskie, które nie są rezydualnie skończone oraz grupy nie-hopfiańskie.
Nieruchomości
-
BS(m,nie){\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (m, n)}
jest rezydualnie skończony wtedy i tylko wtedy, gdy lub lub .|m|=|nie|{\ Displaystyle | m | = | n |}
|m|=1{\ Displaystyle | m | = 1}
|nie|=1{\ Displaystyle | n | = 1}![{\ Displaystyle | n | = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18cca5a2dc3207775a6107e2b9c503907905874)
-
BS(m,nie){\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (m, n)}
jest hopfien wtedy i tylko wtedy, gdy jest szczątkowo skończony czy i nawet mieć zestaw dzielników pierwszych. Dość łatwo jest udowodnić, że nieskończenie wygenerowana i rezydualnie skończona grupa to Hopfian.m{\ displaystyle m}
nie{\ displaystyle n}![nie](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Najbardziej znaną z grup jest . On nie jest Hopfienem; wniosek jest rzeczywiście epimorfizmem, który nie jest izomorfizmem. Rzeczywiście łatwo jest zweryfikować, że jest to jądro morfizmu, skoro jego obraz jest .
BS(2,3)=⟨w,b∣w-1b2w=b3⟩{\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (2,3) = \ lewo \ langle a, b \ mid a ^ {- 1} b ^ {2} a = b ^ {3} \ prawo \ rangle}
w→w,b→b2{\ Displaystyle a \ do a, b \ do b ^ {2}}
(b-1w-1bw)(b-1w-1bw)b-1{\ Displaystyle (b ^ {- 1} a ^ {- 1} ba) (b ^ {- 1} a ^ {- 1} ba) b ^ {- 1}}
(b-2w-1b2w)2b-2=(b-2b3)2b-2=1{\ Displaystyle (b ^ {- 2} a ^ {- 1} b ^ {2} a) ^ {2} b ^ {- 2} = (b ^ {- 2} b ^ {3}) ^ {2 } b ^ {- 2} = 1}![{\ Displaystyle (b ^ {- 2} a ^ {- 1} b ^ {2} a) ^ {2} b ^ {- 2} = (b ^ {- 2} b ^ {3}) ^ {2 } b ^ {- 2} = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2cf6dcfca0d3e5a396085525d26a705279c4233)
Grupy Baumslag-Solitar są podzielone na trzy rodziny: te, które są rezydualnie skończone, te, które są hopfianami, ale nie są rezydualnie skończone, i te, które nie są hopfianami. Różnica jest bardziej widoczna w zależności od parametrów: tych dla których lub z jednej strony oraz tych, dla których z drugiej strony.
|m|=1{\ Displaystyle | m | = 1}
|nie|=1{\ Displaystyle | n | = 1}
|m|,|nie|≠1{\ Displaystyle | m |, | n | \ neq 1}![{\ Displaystyle | m |, | n | \ neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afadbe3d6134b34bfa35bcade6fa50b82da3e7f5)
Walizka m=1{\ Displaystyle m = 1}
Dla grupy
BS(1,nie)=⟨w,b∣w-1bw=bnie⟩{\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (1, n) = \ lewo \ langle a, b \ mid a ^ {- 1} ba = b ^ {n} \ prawo \ rangle}![{\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (1, n) = \ lewo \ langle a, b \ mid a ^ {- 1} ba = b ^ {n} \ prawo \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a69b759f24c135147f293ff16cac5c90220090f)
istnieje oczywisty homomorfizm w nieskończonej grupie cyklicznej przez ustawienie i można wykazać, że jej jądro jest izomorficzne z addytywną grupą liczb wymiernych - addytywną . Zatem te grupy są metabelianami i mają silne właściwości strukturalne; w szczególności nie mają one wolnej podgrupy o randze 2. Ponadto elementy tych grup mają szczególnie proste formy normalne: każdy element jest reprezentowany w formie unikatowo , z dodatkiem , a jeśli dodatkowo , to nie jest podzielny przez . Kiedy , zawsze istnieje normalna forma, ponieważ grupy Baumslag-Solitar są przykładami, a nawet najprostszymi przykładami rozszerzeń HNN . Powoduje to następującą właściwość:
b=1{\ displaystyle b = 1}
nie{\ displaystyle n}
wjabkw-jot{\ Displaystyle a ^ {i} b ^ {k} a ^ {- j}}
ja,jot≥0{\ displaystyle i, j \ geq 0}
ja,jot>0{\ displaystyle i, j> 0}
k{\ displaystyle k}
nie{\ displaystyle n}
|m|,|nie|≠1{\ Displaystyle | m |, | n | \ neq 1}![{\ Displaystyle | m |, | n | \ neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afadbe3d6134b34bfa35bcade6fa50b82da3e7f5)
Niech słowo zostanie dowolnie zredukowane, o które reprezentuje element jednostkowy. Więc ma współczynnik kształtu z lub z .
w{\ displaystyle w}
BS(m,nie){\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (m, n)}
w{\ displaystyle w}
w-1bkw{\ Displaystyle a ^ {- 1} b ^ {k} a}
m|k{\ displaystyle m | k}
wbkw-1{\ displaystyle ab ^ {k} a ^ {- 1}}
nie|k{\ displaystyle n | k}![{\ displaystyle n | k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15b6604ef0581549ce49f60c4163ad8f386c20f)
To pokazuje, że w słowie
BS(2,3){\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (2, 3)}![{\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (2, 3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71c2223eb95e8f0d6f309eb7c50c6b5e4eb7ba9)
b-1w-1bwb-1w-1bwb-1{\ Displaystyle b ^ {- 1} a ^ {- 1} bab ^ {- 1} a ^ {- 1} bab ^ {- 1}}![{\ Displaystyle b ^ {- 1} a ^ {- 1} bab ^ {- 1} a ^ {- 1} bab ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9051f4a192809d5092eacf67c2f0fb5e7ebb556)
nie reprezentuje jedności i może być również użyty do pokazania, że wtedy zawiera wolną podgrupę o randze drugiej.
|m|,|nie|≠1{\ Displaystyle | m |, | n | \ neq 1}
BS(m,nie){\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (m, n)}![{\ Displaystyle {\ tekst {BS}} (m, n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758e6ebbae1ee9c0d423120177ff381929e7b940)
Uwagi i odniesienia
-
Gilbert Baumslag i Donald Solitar, „ Some two-generator one relator non-hopfian groups ”, Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 68,1962, s. 199-201 ( Recenzje matematyczne 0142635 , przeczytane online , dostęp 20 lipca 2018 r. ).
-
Stephen Meskin, „ Non-residual skończone grupy z jednym relatorem ”, przeł. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 64,1972, s. 105–114 ( recenzje matematyczne 285589 ).
Bibliografia
- Michaël Cadilhac, Dmitry Chistikov i Georg Zetzsche, „Rational Subsets of Baumslag-Solitar Groups” , w: Artur Czumaj Anuj Dawar Emanuela Merelli (redaktorzy), Proceedings of ICALP 2020 , Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik, coll. "LIPIcs" ( N O 168)2020( DOI 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2020.116 , arXiv 2006.11898 (wersja szczegółowa) , czytaj online ) , s. 116: 1–116: 16
-
Margot Bouette, O wzroście automorfizmów grup Baumslag-Soliltar , Thesis, University of Rennes I,2016( czytaj online ).
- (en) Donald J. Collins , „Baumslag - Solitar group” , w Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , czytaj online )
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">