Ułamek irracjonalny

W matematyce , A frakcja jest nierozkładalny jeśli nie równa frakcji mniejszych warunkach. Innymi słowy, nieredukowalnego ułamka nie można uprościć.

Przykłady

Ułamek nie jest nieredukowalny, ponieważ 12 i 20 to wielokrotności 4: (uproszczenie przez 4). Możemy też pisać . ${\ displaystyle {\ frac {12} {20}}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {12} {20}} = {\ Frac {3 \ times 4} {5 \ times 4}} = {\ Frac {3} {5}}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {12} {20}} = {\ Frac {12: 4} {20: 4}} = {\ Frac {3} {5}}}$

Ułamek jest nieredukowalny, ponieważ 1 jest jedyną dodatnią liczbą całkowitą, która dzieli 3 i 5. ${\ displaystyle {\ frac {3} {5}}}$

Metody upraszczania ułamka

Stosowanie kryteriów podzielności

Możemy uprościć ułamek, dzieląc jego wyrazy sukcesywnie przez ich pozorne wspólne dzielniki (które znajdujemy stosując kryteria podzielności przez 2, 3, 5 itd .).

Przykład

{\ Displaystyle {\ Frac {42} {390}} = {\ Frac {42: 2} {390: 2}} = {\ Frac {21} {195}} = {\ Frac {21: 3} {195 : 3}} = {\ frac {7} {65}}}

. Liczby 42 i 390 są parzyste, możemy je podzielić przez 2. Suma cyfr liczby 195 jest wielokrotnością 3 (1 + 9 + 5 = 15). Czyli 195 to wielokrotność 3 . 21 też. Możemy zatem podzielić te dwie liczby przez 3. Ostatni uzyskany ułamek jest nieredukowalny, ponieważ 1 jest jedyną dodatnią liczbą całkowitą, która dzieli 7 i 65.

Uproszczenie przez GCD

Aby bezpośrednio zmniejszyć ułamek, po prostu podziel licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik . Według lematu Gaussa ta zredukowana forma jest wyjątkowa.

Przykład Aby zmniejszyć ułamek , obliczamy, a następnie upraszczamy o 6:

{\ displaystyle {\ frac {42} {390}}}

{\ displaystyle \ operatorname {PGCD} (42,390) = 6}

{\ Displaystyle {\ Frac {42} {390}} = {\ Frac {6 \ times 7} {6 \ times 65}} = {\ Frac {7} {65}}}

Twierdzenie

Pozwolić całkowitą i niezerową liczbą naturalną . Wtedy jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy i są pierwsze między sobą . $w$ $b$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ $w$ $b$