Funkcja etapowa

Funkcja proste jest funkcja liczbowa którego obraz składa się ze skończonej liczby rzeczywistych (ewentualnie kompleksowych ) wartości ;
Funkcja schodkowa to prosta funkcja zdefiniowana w mierzalnej przestrzeni, która sama jest funkcją mierzalną ;
Funkcja skokowa to funkcja skokowa zdefiniowana na zbiorze wartości rzeczywistych, której wartości (rzeczywiste) są stałe w przedziałach : są więc funkcjami częściowymi stałymi .

W trzech znaczeniach każdą z tych funkcji można wyrazić jako liniową (a więc skończoną) kombinację funkcji charakterystycznych .

Funkcje te odgrywają ważną rolę w teorii integracji :

wystawiona funkcje dla całki Lebesgue'a ;
te funkcje schody dla Riemanna i całki Kurzweil-Henstock .

Wspólna właściwość charakterystyczna

Właściwość - funkcja jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest liniową kombinacją funkcji charakterystycznych.

Dowód

Potrzeba:

Niech $f będzie$ prostą funkcją i mają k o n wartości może potrwać. Niech k oznaczają wzajemny obraz z {a k } , że jest . Ponieważ A k są dwa na dwa rozłączne , to dla wszystkich x w dziedzinie definicji $f$ : ${\ Displaystyle A_ {k} = f ^ {- 1} ({a_ {k}})}$

{\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {N} a_ {k} 1_ {A_ {k}} (x).}

W przypadku funkcji stopniowanych zauważamy, że A k jest mierzalne, ponieważ przypuszczalnie $f$ ma być.

Dostateczność:

Niech n zbiorów B k będzie funkcją $f$ zdefiniowaną przez

{\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} 1_ {B_ {k}} (x)}

gdzie podano n wartości b k .

Ponieważ x może jednocześnie należeć do kilku B k (gdy przecięcia nie są puste), liczba różnych wartości, które może przyjąć $f,$ jest ograniczona do 2 n . Zatem $f$ jest prostą funkcją.

W przypadku funkcji prostych (odpowiednio schodkowych , schodowych ) z definicji i poprzedniej właściwości wynikają następujące właściwości:

Prosta funkcja to liniowa kombinacja charakterystycznych funkcji formy

{\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x)}

gdzie

1

, ...,

n

jest skończoną sekwencję zestawów i

1

, ...,

n

jest skończoną sekwencję wartości w ℝ (lub ℂ).

Wśród różnych możliwych reprezentacji wyrażonych za pomocą poprzedniej relacji jest jedna szczególna (zwana kanoniczną ), dla której
- zbiory $A k$ są dwa lub dwa rozłączne,
- wartości $a k$ są różne i nie są zerowe,
- $n = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f = 0$ .
Suma lub iloczyn dwóch prostych funkcji lub iloczyn prostej funkcji przez liczbę rzeczywistą (lub złożoną) są zawsze funkcjami prostymi.
Zbiór funkcji prostych tworzy ℝ (lub ℂ) - algebrę przemienną, a a fortiori przestrzeń wektorową .
Dla funkcji schodkowej , a więc mierzalnej i zdefiniowanej na mierzalnej przestrzeni , zbiory $A$ $k$ reprezentacji kanonicznej są mierzalne. ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$

Gęstość funkcji warstwowych

Twierdzenie -

Każda pozytywna mierzalne funkcja jest prosta graniczna o rosnącej kolejności stopniowanych funkcji.
Każda mierzalna funkcja jest prostym ograniczeniem funkcji etapowych.
Każda ograniczona funkcja mierzalna jest jednolitym limitem funkcji krokowych.

Demonstracja

1 : niech $f będzie$ dodatnią mierzalną funkcją. Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ , $[0, + \infty]$ dzieli się na $N n = 2 2 n + 1$ pod-przedziały określone przez

{\ Displaystyle I_ {n, k} = \ lewo [{\ Frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ Frac {k} {2 ^ {n}}} \ prawo [}

dla

1 \leq k \leq N n - 1

{\ Displaystyle I_ {n, N_ {n}} = [2 ^ {n}, + \ infty].}

Definiujemy mierzalne zbiory $A n , k = f -1 ( I n , k )$ dla $1 \leq k \leq N n$ .

Zestaw funkcji

{\ Displaystyle f_ {n} = \ suma _ {k = 1} ^ {N_ {n}} {\ Frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ { n, k}}}

rośnie i po prostu zbiega się do $f$ .

2 jest natychmiast wyprowadzane z 1, ponieważ dodatnie i ujemne części mierzalnej funkcji są mierzalne.

3 : dla dodatniej funkcji $f$ ograniczonej przez $y > 0$ , konstrukcja rozwinięta pod 1 pozwala nam to stwierdzić

{\ Displaystyle | f (x) -f_ {n} (x) | \ równoważnik 2 ^ {- n}}

jak tylko

2 n > y

. W ten sposób zapewniona jest jednolita konwergencja.

Dla każdej funkcji ograniczonej, rozkład przedstawiony w punkcie 2 pozwala nam wnioskować.

Integracja funkcji etapowej

W teorii pomiaru zdefiniowanie całki dodatniej funkcji kroku jest jednym z pierwszych kroków prowadzących do zdefiniowania całki w odniesieniu do dodatniego pomiaru .

Pozwolić zmierzyć przestrzeń . Za wszystko, co definiujemy ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}},}$

${\ Displaystyle \ int 1_ {A} \, d \ mu = \ mu (A).}$

Dla dodatniej funkcji schodkowej liniowość całki narzuca następującą zależność: ${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x),}$

${\ Displaystyle \ int f \, d \ mu = \ suma _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}).}$

Aby nadać tej relacji status definicji, warto zadbać o jej spójność sprawdzając, czy całka dodatniej funkcji schodkowej jest niezależna od jej reprezentacji w postaci liniowej kombinacji funkcji charakterystycznych.

Demonstracja

Z drugiej strony wystarczy to zweryfikować ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0 \ Rightarrow \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = 0}$ Dla każdego n -tuple $ε$ elementów wynosić w zakresie ± 1, uwaga $B ε$ przecięcia $A k ε k$ gdzie $A k +1$ oznacza zbiór $K$ i $k$ $-1$ oznacza podstawnik jego komplementarne w $X$ . $B$ $ε$ są zatem dwa lub dwa disjoints każdy $k$ jest sumą tych, dla których $ε$ $k$ $= 1$ , a jej miarą jest suma środków tych $B$ $ε$ . Hipoteza ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0}$ następnie przepisany ${\ displaystyle \ sum _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} {\ mathbf {1}} _ {B _ {\ varepsilon}} = 0 {\ text {with}} a _ {\ varepsilon} = \ sum _ {\ varepsilon _ {k} = 1} a_ {k},}$ to znaczy dla wszystkich $ε$ , $B ε$ jest puste lub $a ε$ wynosi zero. Więc mamy ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = \ sum _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} \ mu (B _ {\ varepsilon} ) = 0}$

Następnie sprawdzamy, czy ta mapa ∫ jest liniowa i rośnie (jeśli $f \leq g,$ to $\int f d μ \leq \int g d μ$ ), gdy tylko $μ$ jest miarą dodatnią .

W szczególnym przypadku, gdy $X$ jest odcinkiem rzeczywistym zaopatrzonym w miarę Lebesgue'a , ∫ jest zdefiniowane w szczególności na funkcjach krokowych i spełnia relację Chaslesa .

Całka funkcji klatki schodowej na segmencie

Funkcje etapowe są dla teorii integracji Lebesgue'a tym, czym funkcje klatki schodowej są dla integracji Riemanna czy Kurzweila-Henstocka.

Na przykład w szczególnym przypadku, gdy $A 1 , ..., A n$ są ciągłymi przedziałami o tej samej długości $Δ$ , a $a i$ są wartościami funkcji $g$ w środku przedziałów $A i$ , wyrażenie jest szczególny przypadek sumy Riemanna . ${\ Displaystyle I_ {n} = \ Delta \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$

Generalnie prezentowane w zadanym przedziale, funkcje klatki schodowej można rozszerzyć o 0 powyżej ℝ liczby całkowitej, co pozwala na pozbycie się tego przedziału i rozważenie pojedynczego zbioru funkcji.

Uwagi

W przypadku funkcji klatki schodowej zbiory $A k$ są sumą skończonej liczby przedziałów.
$I$ $n$ jest również przybliżeniem powszechnie używanym do numerycznego obliczania całki , lepiej znanym pod nazwą metody punktu środkowego .