Funkcja drugiego stopnia

W rzeczywistej analizy , A kwadratowa funkcja to funkcja liczbowa określafa:x↦wx2+bx+vs{\ displaystyle f: x \ mapsto ax ^ {2} + bx + c}gdzie , i są liczbami rzeczywistymi, które nie zależą od zmiennej z . w{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs{\ displaystyle c}x{\ displaystyle x}w≠0{\ displaystyle a \ neq 0}

Funkcje kwadratowe są czasami nazywane trójmianami , funkcjami kwadratowymi lub kwadratowymi funkcjami wielomianowymi . To są najprostsze funkcje po funkcjach afinicznych .

Te funkcje drugiego stopnia znajdują zastosowanie w bardzo różnych dziedzinach, takich jak teoretyczne badanie swobodnego spadku w fizyce.

Graficznym przedstawieniem kwadratowej funkcji jest paraboliczny , który ma oś symetrii, równoległej do osi y. Znak z numerem A wskazuje kierunek zmienności funkcji .

Różne formy

Każde wyrażenie algebraiczne dopuszcza nieskończoną liczbę skryptów. W przypadku funkcji kwadratowej trzy z nich są szczególnie interesujące.

Opracowana forma

Rozwinięte , zredukowane i uporządkowane postać funkcji kwadratowej jest jeden podane we wstępie do niniejszego artykułu oraz w książkach w ogóle:

fa(x)=wx2+bx+vs{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}

z wartością niezerową.

W tym przypadku, liczba , oraz , w zależności od słownika wielomiany są odpowiednio nazywane współczynników drugiego stopnia pierwszego stopnia i stałym czasie. Warunki , i są jednomianów od stopnia 2, 1 i 0 odpowiednio. W tej postaci składa się z trzech jednomianów funkcja jest często nazywany kwadratowy trójmian . w{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs{\ displaystyle c}wx2{\ displaystyle ax ^ {2}}bx{\ displaystyle bx}vs{\ displaystyle c}

Forma kanoniczna

Każda funkcja kwadratowa ma postać zredukowaną lub kanoniczną , w której zmienna x występuje tylko raz. Każdy z dwóch poniższych wyrażeń można nazwać formą kanoniczną , wyrażenia te różnią się tylko przez faktoryzacji przez  : fa(x)=w(x+b2w)2-b2-4wvs4w{\ Displaystyle f (x) = a \ lewo (x + {\ Frac {b} {2a}} \ prawej) ^ {2} - {\ Frac {b ^ {2} -4ac} {4a}}} fa(x)=w[(x+b2w)2-b2-4wvs4w2]{\ Displaystyle f (x) = a \ lewo [\ lewo (x + {\ Frac {b} {2a}} \ prawo) ^ {2} - {\ Frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} \ right]}

Liczby i odpowiadają, odpowiednio, odciętej i rzędnej wierzchołka paraboli reprezentatywnej dla trójmianu. Z drugiej strony liczba nazywana jest dyskryminującą i często jest odnotowywana . -b2w{\ displaystyle - {\ frac {b} {2a}}}fa(-b2w)=-b2-4wvs4w{\ Displaystyle f \ lewo (- {\ Frac {b} {2a}} \ prawej) = - {\ Frac {b ^ {2} -4ac} {4a}}}b2-4wvs{\ displaystyle b ^ {2} -4ac}Δ{\ displaystyle \ Delta}

W rzeczy samej, fa(x)=wx2+bx+vs=w(x2+bxw)+vs{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rcl} f (x) & = & ax ^ {2} + bx + c \\ & = & a \ lewo (x ^ {2} + {\ cfrac {bx} { a}} \ right) + c \ end {tablica}}}

Stosując pierwszą niezwykłą tożsamość , mamy: fa(x)=w[(x+b2w)2-b24w2]+vs=w(x+b2w)2-b24w+vs=w(x+b2w)2-b2-4wvs4w=w[(x+b2w)2-b2-4wvs4w2]{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablicę} {rcl} f (x) & = i \ lewo [\ lewo (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ prawo) ^ {2} - {\ cfrac { b ^ {2}} {4a ^ {2}}} \ right] + c \\ & = & a \ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ cfrac {b ^ {2}} {4a}} + c \\ & = & a \ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ cfrac {b ^ { 2} -4ac} {4a}} \\ & = & a \ left [\ left (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ cfrac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} \ right] \ end {tablica}}}

Formy kanoniczne są szczególnie interesujące, ponieważ pozwalają one funkcja kwadratowa być zapisane jako związku z funkcji afinicznej z funkcją kwadratową . Większość wyników dotyczących funkcji (wariacje, symetria, znak…) przedstawia jedna lub druga z form kanonicznych.

Formularz faktorowany

Funkcja kwadratowa może być czasami zapisana w jednej z następujących form rozłożonych na czynniki :

• fa(x)=w(x-r1)(x-r2){\ Displaystyle f (x) = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2})} wtedy i tylko wtedy, gdy dyskryminator ∆ widoczny w poprzedniej sekcji jest ściśle dodatni;
• fa(x)=w(x-r0)2{\ Displaystyle f (x) = a (x-r_ {0}) ^ {2}} wtedy i tylko wtedy, gdy ∆ wynosi zero;
• Jeśli dyskryminator jest ujemny, funkcja nie może zostać podzielona na czynniki ℝ.

Z , ,r1=-b-Δ2w{\ displaystyle \ textstyle {r_ {1} = {\ frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}}r2=-b+Δ2w{\ displaystyle \ textstyle {r_ {2} = {\ frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}}r0=α=-b2w.{\ displaystyle \ textstyle {r_ {0} = \ alpha = - {\ frac {b} {2a}}}.}

Rzeczywiście, jeśli zaczniemy od formy kanonicznej , otrzymamy w[(x+b2w)2-b2-4wvs4w2]=w[(x+b2w)2-Δ(2w)2]{\ Displaystyle a \ lewo [\ lewo (x + {\ Frac {b} {2a}} \ prawej) ^ {2} - {\ Frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}} \ right] = a \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ Delta} {(2a) ^ {2}}} \ right ]}

• dla Δ ściśle dodatniego, stosując trzecią niezwykłą tożsamość  :fa(x)=w[(x+b2w)+Δ2w][(x+b2w)-Δ2w]{\ Displaystyle f (x) = a \ lewo [\ lewo (x + {\ Frac {b} {2a}} \ prawo) + {\ Frac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ prawo] \ left [\ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) - {\ frac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ right]} fa(x)=w(x+b2w+Δ2w)(x+b2w-Δ2w)=w(x--b-Δ2w)(x--b+Δ2w){\ displaystyle f (x) = a \ lewo (x + {\ cfrac {b} {2a}} + {\ cfrac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ prawo) \ lewo (x + {\ cfrac {b} {2a}} - {\ cfrac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ right) = a \ left (x - {\ cfrac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ right) \ left (x - {\ cfrac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ right)}
• i bezpośrednio dla Δ null fa(x)=w(x+b2w)2=w(x--b2w)2.{\ Displaystyle f (x) = a \ lewo (x + {\ cfrac {b} {2a}} \ prawej) ^ {2} = a \ lewo (x - {\ Frac {-b} {2a}} \ po prawej) ^ {2}.}

Forma faktoryzowana jest interesująca, ponieważ pozwala, stosując twierdzenie równania iloczynu zerowego, rozwiązać równanie f ( x ) = 0 na ℝ lub ℂ, albo przez zastosowanie reguły znakowej, aby sporządzić tablicę znaki f na ℝ, aby rozwiązać nierówność kwadratową.

Równanie kwadratowe i nierówność

Równania kwadratowego jest odpowiednikiem równania do gdzie jest kwadratowa funkcja. Podobnie, nierówność drugim stopniu jest podobna nierówności w jednym z czterech postaciach: , , i , zawsze wskazuje na kwadratowej funkcji. fa(x)=0{\ Displaystyle f (x) = 0}fa{\ displaystyle f}fa(x)⩽0{\ displaystyle f (x) \ leqslant 0}fa(x)<0{\ Displaystyle f (x) <0}fa(x)⩾0{\ Displaystyle f (x) \ geqslant 0}fa(x)>0{\ displaystyle f (x)> 0}fa{\ displaystyle f}

Mówimy, że liczba jest pierwiastkiem równania i jeśli . r{\ displaystyle r}fa{\ displaystyle f}fa(r)=0{\ Displaystyle f (r) = 0}

Równanie

Udowadniamy, stosując twierdzenie równania iloczynu zerowego w postaci faktoryzowanej, że

• jeśli to ma dwa korzenie, którymi są i  ;Δ>0{\ displaystyle \ Delta> 0}fa{\ displaystyle f}r1=-b-Δ2w{\ displaystyle r_ {1} = {\ Frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}r2=-b+Δ2w{\ displaystyle r_ {2} = {\ Frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}
• jeśli więc ma podwójny pierwiastek, którym jest  ;Δ=0{\ displaystyle \ Delta = 0}fa{\ displaystyle f}r0=-b2w{\ displaystyle r_ {0} = {\ Frac {-b} {2a}}}
• jeśli to nie ma pierwiastka w zbiorze, ale ma go w zbiorze  : a gdzie oznacza jednostkę urojoną .Δ<0{\ Displaystyle \ Delta <0}fa{\ displaystyle f}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}-b+ja|Δ|2w{\ Displaystyle {\ Frac {-b + ja {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}}}-b-ja|Δ|2w{\ Displaystyle {\ Frac {-bi {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}}}ja{\ displaystyle i}

Operacje root

Jeśli wielomian kwadratowy ma dwa pierwiastki i (prawdopodobnie mylone), przyjmuje się jako formę rozłożoną na czynniki . Rozszerzając tę ​​formę i identyfikując terminy tego samego stopnia z rozwiniętą formą, otrzymujemy równości: r1{\ displaystyle r_ {1}}r2{\ displaystyle r_ {2}}w(x-r1)(x-r2){\ Displaystyle a (x-r_ {1}) (x-r_ {2})}r1+r2=-bw{\ Displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - {\ Frac {b} {a}}} i r1r2=vsw{\ displaystyle r_ {1} r_ {2} = {\ frac {c} {a}}}. Te równości są szczególnie przydatne w arytmetyce mentalnej oraz w przypadku „oczywistego pierwiastka”. Na przykład, jeśli wiemy, że jeden pierwiastek jest równy 1, drugi będzie . vsw{\ displaystyle {\ frac {c} {a}}}

Nierówność

Znak z funkcji kwadratowej jest wyprowadzona od formy kanonicznej, która przez pozowania , jest napisane: Δ=b2-4wvs{\ Displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}fa(x)=w[(x+b2w)2-Δ4w2]{\ Displaystyle f (x) = a \ lewo [\ lewo (x + {\ Frac {b} {2a}} \ prawej) ^ {2} - {\ Frac {\ Delta} {4a ^ {2}}} \ right]}.

Jeśli ∆ <0, to dla dowolnej liczby rzeczywistej , a z drugiej strony jako kwadrat liczby rzeczywistej. Tak jest zawsze oznaką . x{\ displaystyle x}-Δ4w2>0{\ Displaystyle {\ Frac {- \ Delta} {4a ^ {2}}}> 0}(x+b2w)2⩾0{\ Displaystyle \ lewo (x + {\ Frac {b} {2a}} \ prawej) ^ {2} \ geqslant 0}fa(x){\ displaystyle f (x)}

Jeśli ∆ = 0, sytuacja jest prawie taka sama, z wyjątkiem tego, że funkcja kwadratowa znika raz, na . x=-b2w{\ displaystyle x = {\ frac {-b} {2a}}}

Jeśli ∆> 0, forma kanoniczna jest zapisywana jako różnica dwóch kwadratów, zwracając uwagę, że zapisywana jest liczba dodatnia . Dlatego można go podzielić na czynniki zgodnie z niezwykłą tożsamością i przyznać dwa korzenie. Kwadratowa funkcja jest zatem przeciwna do znaku między korzeniami i znaku gdzie indziej. Δ4w2{\ Displaystyle {\ Frac {\ Delta} {4a ^ {2}}}}(Δ2w)2{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ sqrt {\ Delta}} {2a}} \ prawej) ^ {2}} W2-b2{\ Displaystyle A ^ {2} -B ^ {2}}w{\ displaystyle a}w{\ displaystyle a}

Wszystkie te wyniki dają sześć możliwych przypadków zilustrowanych w graficznej części tego artykułu, które można podsumować jednym zdaniem:

Znak trójmianu drugiego stopnia  -  jest znakiem wszędzie, z wyjątkiem między możliwymi pierwiastkami. wx2+bx+vs{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}w{\ displaystyle a}

	a <0	a> 0
∆ <0	x-∞+∞fa(x)-{\ displaystyle {\ początek {tablica} {| c | ccc |} \ hline x & - \ infty && + \ infty \\\ hline f (x) && - & \\\ hline \ end {tablica}}}	x-∞+∞fa(x)+{\ displaystyle {\ początek {tablica} {| c | ccc |} \ hline x & - \ infty && + \ infty \\\ hline f (x) && + & \\\ hline \ end {tablica}}}
∆ = 0	x-∞-b2w+∞fa(x)-0-{\ displaystyle {\ początek {tablica} {| c | ccccc |} \ hline x & - \ infty && {\ frac {-b} {2a}} && + \ infty \\\ hline f (x) && - & 0 & - & \\\ hline \ end {tablica}}}	x-∞-b2w+∞fa(x)+0+{\ displaystyle {\ początek {tablica} {| c | ccccc |} \ hline x & - \ infty && {\ frac {-b} {2a}} && + \ infty \\\ hline f (x) && + & 0 & + & \\\ hline \ end {tablica}}}
∆> 0	x-∞r1r2+∞fa(x)-0+0-{\ displaystyle {\ początek {tablica} {| c | ccccccc |} \ hline x & - \ infty && r_ {1} && r_ {2} && + \ infty \\\ hline f (x) && - & 0 & + & 0 & - & \ \\ hline \ end {tablica}}}	x-∞r1r2+∞fa(x)+0-0+{\ Displaystyle {\ początek {tablica} {| c | ccccccc |} \ hline x & - \ infty && r_ {1} && r_ {2} && + \ infty \\\ hline f (x) && + & 0 & - & 0 & + & \ \\ hline \ end {tablica}}}

Reprezentacja graficzna

Graficzną reprezentacją funkcji kwadratowej jest parabola, która jako oś symetrii przyjmuje linię równania . Odwrotna sytuacja jest częściowo prawdą: niezależnie od danej paraboli, można wybrać ortonormalny układ współrzędnych płaszczyzny, dla której istnieje funkcja kwadratowa, której parabola jest wykresem. x=-b2w{\ displaystyle x = {\ frac {-b} {2a}}}

Wariacje i kształt paraboli przedstawiają dwa przypadki, w zależności od znaku współczynnika drugiego stopnia a .

Jeśli a jest dodatnie. Przypowieść dopuszcza minimum  ; funkcja maleje w przedziale, a następnie rośnie. Współrzędne minimum to .]-∞,-b2w]{\ Displaystyle \ lewo] - \ infty, {\ Frac {-b} {2a}} \ prawej]}(-b2w,vs-b24w){\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {-b} {2a}}, c - {\ Frac {b ^ {2}} {4a}} \ prawej)} Parabola jest skierowana „do góry”: dla wszystkich punktów A i B należących do paraboli odcinek [AB] znajduje się powyżej tej krzywej. Mówi się, że funkcja odpowiadająca na te właściwości jest wypukła . Jeśli a jest ujemne. Parabola przyjmuje maksimum, a wariacje funkcji są odwrócone w porównaniu z poprzednim przypadkiem: najpierw rosnące, a następnie malejące. Współrzędne maksimum również są .M(-b2w;vs-b24w){\ Displaystyle M ({\ Frac {-b} {2a}}; c - {\ Frac {b ^ {2}} {4a}})} Przypowieść jest odrzucona. Mówi się, że funkcja jest wklęsła .

Wartość bezwzględna liczby a podaje również szybkość zmiany funkcji kwadratowej. Tak więc, im bliżej jest zeru, tym bardziej parabola pojawi się „spłaszczony”, dla danego układu współrzędnych.

Na przecięciu paraboli z osią x główną rolę odgrywa inna liczba, wyróżnik , często oznaczany jako ∆ i równy . Parabola nie ma punktu przecięcia z osią x, gdy ∆ <0, jest styczna do punktu z tą osią, gdy ∆ = 0 i ma dwa punkty przecięcia, gdy ∆> 0. b2-4wvs{\ displaystyle b ^ {2} -4ac}

Wyniki te można interpretować w kategoriach równań lub nierówności i przedstawia się je za pomocą obliczeń algebraicznych, ewentualnie uzupełnionych wnioskami analizy matematycznej (z wykorzystaniem pochodnej funkcji) i geometrii (patrz niżej).

	w>0{\ displaystyle a> 0}	w<0{\ displaystyle a <0}
Δ<0{\ Displaystyle \ Delta <0}
Δ=0{\ displaystyle \ Delta = 0}
Δ>0{\ displaystyle \ Delta> 0}

Analiza

Każda funkcja kwadratowa jest ciągła , co oznacza, że ​​nie dopuszcza „przerwy”: nieskończenie małej wariacji zmiennej x odpowiada nieskończenie małej wariacji funkcji dla dowolnej liczby rzeczywistej x .

Ponadto jest nieokreślony różniczkowalną: każda funkcja f POSTAĆ przyznaje fa(x)=wx2+bx+vs{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}

• pochodną  ;fa′(x)=2wx+b{\ displaystyle f \, '(x) = 2ax + b}
• druga pochodna (pochodna pochodnej)  ;fa″(x)=2w{\ Displaystyle f \ '' (x) = 2a}
• kolejne pochodne (trzecia, czwarta itd.) wszystkie zero .

Z punktu widzenia ich zmienności funkcje kwadratowe można podzielić na dwie grupy, zgodnie ze znakiem współczynnika kwadratowego  : w{\ displaystyle a}

• Jeśli funkcja ściśle maleje, to ściśle rośnie i osiąga minimum w  ;w>0{\ displaystyle a> 0}-b2w{\ displaystyle {\ tfrac {-b} {2a}}}
• Jeśli funkcja ściśle rośnie, to ściśle maleje i osiąga maksimum w .w<0{\ displaystyle a <0}-b2w{\ displaystyle {\ tfrac {-b} {2a}}}

W obu przypadkach współrzędne ekstremum są zatem . (-b2w,vs-b24w){\ displaystyle ({\ tfrac {-b} {2a}}, c - {\ tfrac {b ^ {2}} {4a}})}

Wynik ten można wykazać badając znak pochodnej funkcji , wykorzystując fakt, że funkcja różniczkowalna ściśle rośnie w każdym przedziale, w którym jej pochodna jest ściśle dodatnia i ściśle maleje w każdym przedziale, w którym jej pochodna jest ściśle ujemna. Wypukłość (lub jej wklęsłość, gdy ) jest również wykazywana przez pochodne. Rzeczywiście, każda funkcja, której druga pochodna jest dodatnia, jest wypukła, a każda funkcja, której druga pochodna jest ujemna, jest wklęsła. fa{\ displaystyle f}fa{\ displaystyle f}w<0{\ displaystyle a <0}

W prymitywy funkcji są funkcje trzeciej stopnia postaci , w której jest stała. Wynik ten można wykazać poprzez zastosowanie reguł obliczeniowych do pochodnych lub prymitywów lub przez metodę kwadraturową paraboli , która łączy geometrię i przejście do granic możliwości. fa(x)=wx2+bx+vs{\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}solk(x)=13wx3+12bx2+vsx+k{\ Displaystyle G_ {k} (x) = {\ tfrac {1} {3}} ax ^ {3} + {\ tfrac {1} {2}} bx ^ {2} + cx + k}k{\ displaystyle k}

Historyczny

Uwaga

1. Jednakże nie jest możliwe na czynniki do zestawu w postaci kompleksów z i  ; i będący jednostką urojoną ( i 2 = –1). Zobacz „  Równanie kwadratowe  ”.fa(x)=w(x-r1)(x-r2){\ Displaystyle f (x) = a (x-r_ {1}) (x-r_ {2})}r1=-b-ja|Δ|2w{\ Displaystyle \ textstyle {r_ {1} = {\ Frac {-b - {\ rm {i}} {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}}}}r2=-b+ja|Δ|2w{\ Displaystyle \ textstyle {r_ {2} = {\ Frac {-b + {\ rm {i}} {\ sqrt {| \ Delta |}}} {2a}}}}

Zobacz też

Powiązane artykuły

• Równanie sześcienne
• Kwartyczne równanie

Bibliografia

Podręczniki do drugiego i pierwszego roku w szkołach średnich we Francji

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">