Równania równoważne

W matematyce równania równoważne to równania, które mają te same rozwiązania .

Na przykład oba równania i są równoważne jako równania w zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych , gdzie mają rozwiązanie , ale nie są równoważne w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ pierwsze równanie ma wtedy drugie rozwiązanie . ${\ Displaystyle x ^ {2} -1 = 0}$ ${\ Displaystyle x-1 = 0}$ $x = 1$ $x = -1$

Elementarne operacje algebraiczne umożliwiają konstruowanie równań równoważnych danemu równaniu , generalnie w celu jego rozwiązania:

Jeśli dodamy lub odejmiemy to samo wyrażenie od dwóch elementów równania, otrzymamy równanie równoważne. Na przykład równanie jest równoważne równaniu , co widać po dodaniu do każdego elementu . ${\ Displaystyle -2x + 5 = -2-9x}$ ${\ displaystyle 7x = -7}$ ${\ displaystyle 9x-5}$

Jeśli pomnożymy lub podzielimy przez niezerowe wyrażenie dwa elementy równania, otrzymamy równanie równoważne. Na przykład równanie jest równoważne równaniu , co widać po podzieleniu każdego elementu przez 7. ${\ displaystyle 7x = -7}$ $x = -1$

Mówiąc bardziej ogólnie, mówimy, że układy kilku równań z kilkoma zmiennymi są równoważne, gdy te układy mają ten sam zestaw rozwiązań. Na przykład układy dwóch równań z dwiema niewiadomymi i są równoważne, ponieważ każdy z nich ma rozwiązanie . ${\ Displaystyle x + 4y = -10, \ quad 3x-y = 9}$ ${\ Displaystyle 4x + 3y = -1 \ quad -2x + 5y = -19}$ ${\ Displaystyle x = 2 \ quad y = -3}$

Uwagi

[ czytaj online ]
[ Systemy równoważne ] .