Funkcja odniesienia
W matematyce funkcja odniesienia to funkcja badana ze względu na jej prostotę, przykładowość lub w celu wsparcia badań większej rodziny funkcji.
Najczęściej badanymi funkcjami referencyjnymi są funkcje liniowe , potęgowe (w tym kwadratowe , czasem rozszerzone na wszystkie funkcje drugiego stopnia), trygonometryczne (cosinus, sinus) itp.
Podział na funkcje referencyjne
Zasada
Możliwe jest rozłożenie pewnych funkcji na funkcje referencyjne, wyrażając tę funkcję jako sumę lub złożenie funkcji referencyjnych. Następnie można użyć twierdzeń dotyczących związku i sumy dwóch funkcji, aby poznać właściwości badanej funkcji.
Przykład
Rozważmy funkcję f zdefiniowaną przez:
R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+ *}}![\ mathbb {R} ^ {{+ *}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d03e5acacd709ecac2fbfc91f92bbafc7974c74)
fa(x)=1x2+x{\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {x ^ {2} + {\ sqrt {x}}}}}![f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + {\ sqrt x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d423fa7442c62b1f24f4b5b363e9248111c4fb0f)
Można go rozbić na funkcje referencyjne w następujący sposób:
fa=sol∘(godz+l){\ displaystyle f = g \ circ (h + l)}![f = g \ circ (h + l)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0ac9ea77dcff89524a1440da564cdf4f237a79)
gdzie g jest odwrotnością funkcji , H kwadratu, a L funkcji pierwiastka kwadratowego .
Używa
Pochodzenie
Zasada
Możemy obliczyć pochodną funkcji, rozkładając ją na funkcje odniesienia, wykorzystując własności operacji na pochodnych, a mianowicie m.in. dla wszystkich funkcji f i g różniczkowalnych w przedziale I :
(fa+sol)′=fa′+sol′ {\ displaystyle (f + g) '= f' + g '~}
(fasol)′=fa′sol+fasol′ {\ displaystyle (fg) '= f'g + fg' ~}
i dla dowolnej funkcji f różniczkowalnej na I i dowolnej funkcji g różniczkowalnej na f ( I )
(sol∘fa)′=(sol′∘fa)⋅fa′{\ Displaystyle (g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ cdot f '}![(g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ cdot f '](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c4e0d0a49a76f6c6d151784527ff811ddefdc9)
Na przykład funkcja f zdefiniowana przez:
R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+ *}}![\ mathbb {R} ^ {{+ *}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d03e5acacd709ecac2fbfc91f92bbafc7974c74)
fa(x)=1x2+x{\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {x ^ {2} + {\ sqrt {x}}}}}![f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + {\ sqrt x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d423fa7442c62b1f24f4b5b363e9248111c4fb0f)
dzieli się na funkcje referencyjne w następujący sposób:
fa′=[sol∘(godz+l)]′=[sol′∘(godz+l)]×(godz+l)′{\ Displaystyle f '= [g \ circ (h + l)]' = [g '\ circ (h + l)] \ times (h + l)'}
fa′=[sol′∘(godz+l)]×(godz′+l′){\ displaystyle f '= [g' \ circ (h + l)] \ times (h '+ l')}
Z:
godz(x)=x2 {\ Displaystyle h (x) = x ^ {2} ~}![h (x) = x ^ {2} ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c9460f167ae343545cb3223b5dc41508e9cc77)
Skąd
godz′(x)=2x {\ Displaystyle h '(x) = 2x ~}
l(x)=x{\ Displaystyle l (x) = {\ sqrt {x}}}![l (x) = {\ sqrt x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18467b9988e806c10b686225a7f5cf33c0018dc)
Skąd
l′(x)=12x{\ Displaystyle l '(x) = {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}}}
sol(x)=1x{\ Displaystyle g (x) = {\ Frac {1} {x}}}![g (x) = {\ frac {1} {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec93ed8b8435119433e03c7dc50de2848202776a)
Skąd
sol′(x)=-1x2{\ Displaystyle g '(x) = {\ Frac {-1} {x ^ {2}}}}
(godz′+l′)(x)=godz′(x)+l′(x)=2x+12x{\ Displaystyle (h '+ l') (x) = h '(x) + l' (x) = 2x + {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}}}
(godz+l)(x)=x2+x{\ Displaystyle (h + l) (x) = x ^ {2} + {\ sqrt {x}}}
sol′∘(godz+l)=-1(x2+x)2{\ Displaystyle g '\ circ (h + l) = {\ Frac {-1} {(x ^ {2} + {\ sqrt {x}}) ^ {2}}}}
Skąd :
fa′(x)=-1(x2+x)2×(2x+12x){\ Displaystyle f '(x) = {\ Frac {-1} {(x ^ {2} + {\ sqrt {x}}) ^ {2}}} \ razy (2x + {\ Frac {1} { 2 {\ sqrt {x}}}})}
Integracja
Zasada
Możemy obliczyć całkę funkcji f w przedziale, rozkładając ją na funkcje odniesienia, których całkę znamy, a następnie stosując własności całek, a mianowicie:
∫wb(fa(x)+sol(x))rex=∫wbfa(x)rex+∫wbsol(x)rex{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (f (x) + g (x)) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, \ mathrm {d} x}
∀λ∈R,∫wbλfa(x)rex=λ∫wbfa(x)rex{\ Displaystyle \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R}, \ int _ {a} ^ {b} \ lambda \, f (x) \, \ mathrm {d} x = \ lambda \, \ int _ { a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x}
Jednak ta metoda nie ma zastosowania do funkcji złożonych .
Funkcje powiązane z funkcją odniesienia
Zasada
Mówi się, że funkcja jest powiązana z funkcją odniesienia, gdy tylko zostanie uzyskana przez złożenie tej funkcji z funkcjami afinicznymi.
Przykłady
- Każda funkcja kwadratowa jest funkcją powiązaną z funkcją kwadratową.
- Funkcja f zdefiniowana w par jest powiązana z funkcją odwrotną.R∖{-3}{\ Displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ lewo \ {- 3 \ prawo \}}
fa(x)=-2x+3-1{\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {-2} {x + 3}} - 1}![f (x) = {\ frac {-2} {x + 3}} - 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7eea0b723b77df1dfd71f29dc49eaf846224c19)
- Funkcja g zdefiniowana w par jest powiązana z funkcją pierwiastka kwadratowego.[1,+∞[{\ Displaystyle [1, + \ infty [}
sol(x)=2x-1{\ displaystyle g (x) = 2 {\ sqrt {x-1}}}![g (x) = 2 {\ sqrt {x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a8c55f8cfc6956d9cf632c3994a161e4107b0d)
Zobacz też
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">