Funkcja Langevina

Funkcja Langevina pochodzi od Paula Langevina (1872-1946) i jest zdefiniowana przez gdzie coth jest hiperboliczną funkcją cotangens . ${\ Displaystyle L (x) = \ coth (x) - {1 \ ponad x}}$

Kontekst

Funkcja Langevina pojawia się w opisie paramagnetyzmu materiału poddanego jednorodnemu polu magnetycznemu $B$ , a także formalnie powiązanych układów, takich jak swobodnie łączony polimer poddany stałej sile rozciągającej.

Materiał jest opisywany jako zespół niezależnych klasycznych dipoli magnetycznych , z których każdy ma moment magnetyczny $m,$ którego kierunek jest dowolny, ale moduł $µ$ jest stały. Energia poszczególnych dipola następnie $U = -$ $m$ $\cdot$ $B$ .

Obliczanie średniego namagnesowania

Ustawiamy się w stałej temperaturze (zespół kanoniczny). W tym przypadku, magnesowania materiału jest $M = n ⟨ m ⟩$ gdzie $n$ oznacza gęstość momentów magnetycznych i średnia wartość $⟨ m ⟩$ czasy te oblicza się według prawa Boltzmanna :

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {m.} \ rangle = {\ Frac {\ int \ mathbf {m.} e ^ {\ Frac {\ mathbf {m.} \ cdot \ mathbf {B}} {k_ {B} T} } d \ Omega} {\ int e ^ {\ frac {\ mathbf {m.} \ cdot \ mathbf {B}} {k_ {B} T}} d \ Omega}}}

gdzie $k B$ jest stałą Boltzmanna , $T$ temperaturą, $dΩ$ elementem kąta bryłowego i gdzie całkowanie odbywa się we wszystkich możliwych orientacjach dla $m$ .

Wynik

Prowadzą wtedy do elementarnych manipulacji

{\ Displaystyle \ langle M \ rangle = n \ mu \ lewo [\ coth {\ lewo ({\ Frac {\ mu B} {k_ {B} T}} \ prawo)} - {\ Frac {k_ { B} T} {\ mu B}} \ right] = n \ mu L \ left ({\ frac {\ mu B} {k_ {B} T}} \ right)}

gdzie $L$ jest funkcją Langevina .

Zachowanie asymptotyczne

Zerowe pola, gdy temperatura ma tendencję zeru $⟨ M ⟩ \approx nμ$ nasyconą magnetyzacji (na obroty zamraża się w stanie podstawowym ). Gdy znajduje się w granicach od wysokich temperatur $⟨ M ⟩ \approx 0$ , energia cieplna jest znacznie większa niż energia magnetyczna (system entropii : nie dłużej obraca patrz pola magnetycznego).

Dla $x ≪ 1$ funkcja Langevina może rozwinąć się w szeregu Taylora :

{\ Displaystyle L (x) = {\ tfrac {1} {3}} x - {\ tfrac {1} {45}} x ^ {3} + {\ tfrac {2} {945}} x ^ {5 } - {\ tfrac {1} {4725}} x ^ {7} + {\ tfrac {2} {93555}} x ^ {9} + \ cdots}

lub jako uogólniony ciągły ułamek :

{\ Displaystyle L (x) = {\ Frac {x} {3 + {\ tfrac {x ^ {2}} {5 + {\ tfrac {x ^ {2}} {7 + {\ tfrac {x ^ { 2}} {9+ \ cdots}}}}}}}}

W reżimie wysokotemperaturowym ( $kT ≫ µB$ ) możemy zachować jedyny pierwszy człon tych rozszerzeń ( $L ( x ) \approx x / 3$ ), co prowadzi do prawa Curiego :

{\ displaystyle \ langle M \ rangle = {\ dfrac {n \ mu ^ {2} B} {3k_ {B} T}} = \ chi B}

z podatnością magnetyczną. ${\ displaystyle \ chi \ propto {\ dfrac {1} {T}}}$

Funkcja Langevina spełnia również następującą zależność, którą można wywnioskować z analogu funkcji cotangens :

{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ quad L (x) = \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {2x} {x ^ { 2} + n ^ {2} \ pi ^ {2}}}.}

Zobacz też

Funkcja Brillouina : odpowiednik funkcji Langevina dla kwantowych momentów magnetycznych .