Relaks Prandtla-Meyera
Relaks Prandtla-Meyer jest złagodzenie izentropowe do gazu z jednorodnej średniej, mapa, naddźwiękowego przepływu. Została założona przez Ludwiga Prandtla i jego ucznia Theodora Meyera .
Fale Macha
Rozważmy płynną cząstkę ( element objętości ) poruszającą się w jednorodnym ośrodku z prędkością V. Prędkość propagacji fal dźwiękowych w tym ośrodku wynosi a. Zakłada się, że liczba Macha jest większa niż jedność: przepływ jest naddźwiękowy.
M=Vw{\ displaystyle M = {\ frac {V} {a}}}![{\ displaystyle M = {\ frac {V} {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bbdbf60a560b1d7020c22da00f42fe07f8ddc4)
Ta cząstka pokonuje odległość V t w czasie t, dźwięk, jaki ma odległość t. W tym momencie punkty osiągnięte przez falę dźwiękową na całej trajektorii cząstki są zawarte w objętości określonej przez stożek półkąta u góry, np. (Patrz rysunek)
grzechμ=wtVt=1M{\ Displaystyle \ sin \ mu = {\ Frac {at} {Vt}} = {\ Frac {1} {M}}}![{\ Displaystyle \ sin \ mu = {\ Frac {at} {Vt}} = {\ Frac {1} {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be85508e12fa1e850a37aeb04ed03b1f5a1cf974)
Ten stożek, który jest otoczką fal, nazywany jest falą Macha. Stanowi ona charakterystyki z równań Eulera i jest podstawową ilość do badań przepływów, w szczególności do oceny właściwości tych w prostych konfiguracji.
Badane zjawisko
Rozważmy teraz przepływ na ostrej dwuściennej (patrz rysunek). Przepływ w górę jest naddźwiękowy od Mach M 1 . Jest on zaburzony obecnością osobliwości geometrii przez falę Macha, która zaczyna się od krawędzi i tworzy kąt z normalną górnej części powierzchni. Stamtąd ciągłe zaburzenia związane z grzbietem powodują izentropowe rozluźnienie przepływu. Wszystkie te fale tworzą wiązkę wyśrodkowaną na krawędzi. Proces zatrzymuje się, gdy w dolnym medium zostanie osiągnięty kąt definiujący falę Macha.
μ1=arcsin1M1{\ displaystyle \ mu _ {1} = \ arcsin {\ frac {1} {M_ {1}}}}
μ2=arcsin1M2{\ displaystyle \ mu _ {2} = \ arcsin {\ frac {1} {M_ {2}}}}![{\ displaystyle \ mu _ {2} = \ arcsin {\ frac {1} {M_ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18187d93a5777ac9fe9e518522759272daf3221)
Funkcja Prandtla-Meyera
Zależność między rotacją przepływu w belce rozprężnej, taką jak na rysunku, jest wyrażona za pomocą funkcji Prandtla-Meyera
θ=ν(M2)-ν(M1){\ Displaystyle \ theta = \ nu (M_ {2}) - \ nu (M_ {1})}![{\ Displaystyle \ theta = \ nu (M_ {2}) - \ nu (M_ {1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b939e4e478126eee38a7a64df4bf04b2b3289a4)
z, dla gazu doskonałego
ν(M)=γ+1γ-1arctanγ-1γ+1(M2-1)-arctanM2-1{\ Displaystyle \ nu (M) = {\ sqrt {\ Frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{\ Frac {\ gamma -1} {\ gamma +1} } (M ^ {2} -1)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}}![{\ Displaystyle \ nu (M) = {\ sqrt {\ Frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{\ Frac {\ gamma -1} {\ gamma +1} } (M ^ {2} -1)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802bec6ea58bc828dd959e101ddfe4d559513842)
Demonstracja
Niech będzie elementarną odmianą przepływu: obrót dθ, któremu towarzyszy zmiana prędkości d V w bieżącym punkcie, scharakteryzowana przez orientację fali Macha μ. Zachowanie pędu wymaga że składowa V równolegle do fala Macha. Wychodzimy z tego (patrz rysunek)
V+reVV=grzech(π2+μ)grzech(π2-μ-reθ)=sałataμsałataμsałatareθ-grzechμgrzechreθ{\ Displaystyle {\ Frac {V + \ mathrm {d} V} {V}} = {\ Frac {\ sin ({\ Frac {\ pi} {2}} + \ mu)} {\ sin ({\ frac {\ pi} {2}} - \ mu - \ mathrm {d} \ theta)}} = {\ frac {\ cos \ mu} {\ cos \ mu \ cos \ mathrm {d} \ theta - \ sin \ mu \ sin \ mathrm {d} \ theta}}}![{\ Displaystyle {\ Frac {V + \ mathrm {d} V} {V}} = {\ Frac {\ sin ({\ Frac {\ pi} {2}} + \ mu)} {\ sin ({\ frac {\ pi} {2}} - \ mu - \ mathrm {d} \ theta)}} = {\ frac {\ cos \ mu} {\ cos \ mu \ cos \ mathrm {d} \ theta - \ sin \ mu \ sin \ mathrm {d} \ theta}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98c251e51c485edef946d30efbe793b981f3cca)
Małe kąty
grzechreθ≈reθ,sałatareθ≈1{\ Displaystyle \ sin \ mathrm {d} \ theta \ ok \ mathrm {d} \ theta \ ,, \; \; \; \ cos \ mathrm {d} \ theta \ około 1}![{\ Displaystyle \ sin \ mathrm {d} \ theta \ ok \ mathrm {d} \ theta \ ,, \; \; \; \ cos \ mathrm {d} \ theta \ około 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324242569532abbc50e9d784f4f8a5f55eaed60e)
Skąd
1+reVV=11-dębnikμreθ≈1+dębnikμreθ{\ Displaystyle 1 + {\ Frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ Frac {1} {1- \ tan \ mu \, \ mathrm {d} \ theta}} \ około 1+ \ tan \ mu \, \ mathrm {d} \ theta}![{\ Displaystyle 1 + {\ Frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ Frac {1} {1- \ tan \ mu \, \ mathrm {d} \ theta}} \ około 1+ \ tan \ mu \, \ mathrm {d} \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef2493dd2b9f1dbc8995e296541e04019822665)
Złoto
grzechμ=1M⇒dębnikμ=1M2-1{\ Displaystyle \ sin \ mu = {\ Frac {1} {M}} \ Rightarrow \ tan \ mu = {\ Frac {1} {\ sqrt {M ^ {2} -1}}}}![{\ Displaystyle \ sin \ mu = {\ Frac {1} {M}} \ Rightarrow \ tan \ mu = {\ Frac {1} {\ sqrt {M ^ {2} -1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b771c7497808f7bb0abcd1aba5a8c2b582ac0469)
Otrzymujemy wyrażenie odnoszące się do zmiany prędkości obrotowej
reθ=M2-1reVV{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ theta = {\ sqrt {M ^ {2} -1}} \, {\ Frac {\ mathrm {d} V} {V}}}![{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ theta = {\ sqrt {M ^ {2} -1}} \, {\ Frac {\ mathrm {d} V} {V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a78ab1d52828f2f7fd49b316dee3e593bb3313)
Niektóre relacje elementarne pozwolą wyrazić ostatni wyraz (indeks 0 odpowiada wartościom V = 0)
V=Mw⇒reVV=reMM+reww{\ Displaystyle V = Ma \ Rightarrow {\ Frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ Frac {\ mathrm {d} M} {M}} + {\ Frac {\ mathrm {d} a }{w}}}![{\ Displaystyle V = Ma \ Rightarrow {\ Frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ Frac {\ mathrm {d} M} {M}} + {\ Frac {\ mathrm {d} a }{w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f42060c0a33ce2694cb3e6a1dc45a875fb015f)
- prędkość dźwięku dla gazu doskonałego
w=γrT⇒T0T=(ww0)12{\ Displaystyle a = {\ sqrt {\ gamma rT}} \ Rightarrow {\ Frac {T_ {0}} {T}} = \ lewo ({\ Frac {a} {a_ {0}}} \ prawo) ^ {\ frac {1} {2}}}![{\ Displaystyle a = {\ sqrt {\ gamma rT}} \ Rightarrow {\ Frac {T_ {0}} {T}} = \ lewo ({\ Frac {a} {a_ {0}}} \ prawo) ^ {\ frac {1} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b481d46e89211e1e10b06996247c40193c5cbd)
- izentropowy przepływ gazu doskonałego
T0T=1+γ-12M2{\ Displaystyle {\ Frac {T_ {0}} {T}} = 1 + {\ Frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}![{\ Displaystyle {\ Frac {T_ {0}} {T}} = 1 + {\ Frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c13cd8294d8b320c13e85e48f2461ddcf29ddf)
Z tego zestawu relacji czerpiemy
reVV=11+γ-12M2reMM{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ Frac {1} {1 + {\ Frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d} M} {M}}}![{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ Frac {1} {1 + {\ Frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d} M} {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6f7eec82357ec75c590bacbe903140bc9c284b)
Niosąc to wyrażenie ponad nim, przychodzi
θ=∫M1M2M2-11+γ-12M2reMM{\ Displaystyle \ theta = \ int _ {M_ {1}} ^ {M_ {2}} {\ Frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ Frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d} M} {M}}}![{\ Displaystyle \ theta = \ int _ {M_ {1}} ^ {M_ {2}} {\ Frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ Frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d} M} {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6951520b987f0cf828f9c38ba7df52920d67ef8b)
Ujawniliśmy funkcję Prandtla-Meyera
ν(M)=∫M2-11+γ-12M2reMM=γ+1γ-1arctanγ-1γ+1(M2-1)-arctanM2-1{\ Displaystyle \ nu (M) = \ int {\ Frac {\ sqrt {M ^ {2} -1}} {1 + {\ Frac {\ gamma -1} {2}} M ^ {2}}} {\ frac {\ mathrm {d} M} {M}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} \ arctan {\ sqrt {{\ frac {\ gamma -1} } {\ gamma +1}} (M ^ {2} -1)}} - \ arctan {\ sqrt {M ^ {2} -1}}}
Zależność ta obowiązuje dla każdej relaksacji na wypukłej geometrii, nawet jeśli w tym przypadku nie wiadomo, jak a priori ustawić fale Macha.
Wartość graniczna
Funkcja Prandtla-Meyera zmienia się szybko między M = 1 a M = 1,5 i ma maksimum
νmwx=π2(γ+1γ-1-1)=2,27685316 ...{\ Displaystyle \ nu _ {max} = {\ Frac {\ pi} {2}} \ lewo ({\ sqrt {\ Frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} - 1 \ prawo) = 2.27685316 ...}![{\ Displaystyle \ nu _ {max} = {\ Frac {\ pi} {2}} \ lewo ({\ sqrt {\ Frac {\ gamma +1} {\ gamma -1}}} - 1 \ prawo) = 2.27685316 ...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f94ea3e18c8e64ea265d5f055d3fc9a79983571)
lub około 130 stopni.
Dlatego kąt θ nie może być większy niż wartość graniczna
θmwx=νmwx-ν(M1){\ Displaystyle \ theta _ {max} = \ nu _ {max} - \ nu (M_ {1})}![{\ Displaystyle \ theta _ {max} = \ nu _ {max} - \ nu (M_ {1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29d3f31f3299fb343c016ee40f81d2ec2e063da)
Powyżej tej wartości występuje nieciągłość prędkości wraz z utworzeniem strefy „martwej wody”. Ta przesuwająca się linia nie istnieje fizycznie, ponieważ jest powiązana z przybliżeniem Eulera. Efekty lepkiego porywania przekształcają go w obszar recyrkulacji.
Bibliografia
-
(de) Theodor Meyer, Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit Strömt , Uniwersytet w Getyndze ,1908
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">