Dynamika lotu w obecności porywów

W dynamika lotu w obecności podmuchów jest badanie zachowania się samolotu w obecności strumienia powietrza, który różni się od przepływu laminarnego , to znaczy, jeżeli turbulentnego przepływu spowodowane przez podmuchy poziomego i / lub pionowego gradientu wiatru . . Ta turbulencja jest definiowana przez Federalną Administrację Lotniczą (FAA) na podstawie czysto jakościowej i nie może przewidzieć, jakie są zagrożenia związane ze statkiem powietrznym w danych okolicznościach. Bardziej ilościowa definicja podana przez Organizację Międzynarodowego Lotnictwa Cywilnego (ICAO) jest wyrażona jako szybkość dyfuzji energii wirowej wyrażona wm 2 / s 3 . Ta ostatnia definicja nie uwzględnia jednak masy i prędkości samolotu, podczas gdy szybowiec będzie znacznie bardziej wrażliwy na turbulencje na niskim poziomie niż ciężkie samoloty. Dlatego ważne jest, aby przedstawić bardziej precyzyjne sformułowanie.

Uproszczone sformułowanie reakcji szybowca w obecności poziomych lub pionowych podmuchów jest mało znane w literaturze, z wyjątkiem Schmidta, Asselina i być może kilku innych autorów. Jednak w przeciwieństwie do powszechnego przekonania, że chmury burzowe stanowią najpoważniejsze (uzasadnione) zagrożenie dla lotnictwa, małe chmury, które wyglądają zupełnie nieszkodliwie, mogą spowodować dezintegrację szybowca, powodując współczynnik obciążenia 16 przy 20  G, tak jak Larry Edgar ucierpiał 25 kwietnia 1955 roku.

Dodatkowo, czołowy podmuch o prędkości 70  km / h przyłożony do szybowca lecącego z prędkością 70  km / h spowoduje współczynnik obciążenia 4 G. Może się to zdarzyć w warstwie podfalowej ( wirniki związane z falami górskimi ). To samo może być w przypadku silnych chmur burzowych. Nawet silne prądy termiczne mogą generować znaczące współczynniki obciążenia, które nie stanowią rzeczywistego zagrożenia dla szybowców, ale mogą powodować niedogodności dla innych kategorii użytkowników.

Szybkie oszacowanie współczynników obciążenia

Turbulencja i wirowość (wirowość)

Niech v będzie polem prędkości, a wirowość w punkcie nazywamy wielkością:

η→=∇→∧v→{\displaystyle {\vec {\eta }}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {v}}}

Wielkość ta opisuje ruch wirowy powietrza. Zatem im większa wirowość, tym większa intensywność odczuwanych turbulencji, jak wyjaśniono poniżej.

Gwałtowność turbulencji jako funkcja prędkości samolotu

Krótko mówiąc, każdy układ klimatyzacji generujący prądy wstępne, który może być używany przez pilota szybowcowego, będzie nazywany turbulencją przez pilota samolotu z napędem, ponieważ ten ostatni nie może (lub nie będzie) wykorzystywać tych prądów wstępnych. Co więcej, im szybciej samolot będzie latał, tym bardziej będzie poddawany znacznym obciążeniom, które szacujemy w dalszej części. Niech d będzie odległością między prądem wstępującym o prędkości pionowej w a prądem zstępującym o prędkości pionowej -w i niech u będzie prędkością statku powietrznego. Średnia przyspieszenie jest doświadczane przez Będzie samolotu:

a=2wud{\displaystyle a={2wu \over d}}

Rozważamy dość dużą siłę nośną termiczną, gdzie w = 5  m / s , u = 125  m / s (maksymalna dopuszczalna prędkość do 10000  stóp ) id = 100 m (średnia odległość między wyciągiem a zejściem). Otrzymujemy wtedy a = 12,5 m / s 2 , czyli większe niż przyspieszenie ziemskie (10 m / s 2 ). Pasażer lub pilot tego samolotu zakwalifikuje te turbulencje jako poważne . Jednak pilot szybowcowy lecący z prędkością 20  m / s doświadczy przyspieszenia 2 m / s 2 i zakwalifikuje tę turbulencję jako niewielką. Ponadto pilot ten prawidłowo wycentruje wznoszącą się kolumnę i znajdzie się w laminarnym jądrze windy i prawie nie będzie już poddawany jakimkolwiek turbulencjom.

Zjawiska przejściowe

Funkcja Heaviside

Rozważamy szybowiec spadający z prędkością w nieruchomym powietrzu i lecący w nieruchomym powietrzu, który nagle przenika w momencie t = 0 podczas wznoszenia się z prędkością pionową w a . Zakłada się, że przed wejściem do kolumny wznoszącej trajektoria szybowca jest stabilizowana. Kiedy więc szybowiec wchodzi do wznoszącej się kolumny, jego prędkość pionowa jest następująca: w∞{\displaystyle w_{\infty }}

w(t)=wa−w∞−wae−tτ{\displaystyle w(t)=w_{a}-w_{\infty }-w_{a}e^{-{t \over \tau }}}

z τ=mπρSV{\displaystyle \tau ={m \over \pi \rho SV}}

• m jest masą szybowca.
• ρ to gęstość powietrza.
• S to obszar skrzydła
• V to prędkość powietrza.

Przyspieszenie pionowe jest następujące:

w˙(t)=waτe−tτ{\displaystyle {\dot {w}}(t)={w_{a} \over \tau }e^{-{t \over \tau }}}

Czyli jeśli zamienimy τ:

w˙(t)=πρSVwame−tτ{\displaystyle {\dot {w}}(t)={\pi \rho SVw_{a} \over m}e^{-{t \over \tau }}}

Wstrząsanie jest maksymalne w momencie t = 0 .

Formuła jest fizycznie uzasadniona. Im większy obszar skrzydła lub im większa prędkość pozioma lub pionowa, tym większe będą drgania. Jeśli masa wzrośnie, wstrząsy będą mniejsze ( efekt liniowca oceanicznego ).

Rozważmy przykład liczbowy, aby otrzymać rzędy wielkości.

Bierzemy pod uwagę powierzchnię skrzydła 15  m 2 , gęstość 1,22  kg / m 3, całkowitą masę szybowca 300  kg i prędkość powietrza 20  m / s . Dlatego charakterystyczny czas to:

τ=300π×1,22×15×20=1π×1,22=0,26{\displaystyle \tau ={300 \over \pi \times 1{,}22\times 15\times 20}={1 \over \pi \times 1{,}22}=0{,}26} druga.

Rozważamy wzrost 5  m / s . Przyspieszenie pionowe wyniesie m / s 2 . W tych warunkach współczynnik obciążenia wyniesie (2 + 1) G. 50.26≈20{\displaystyle {5 \over 0.26}\approx 20}

Ta formuła wyjaśnia, dlaczego samolot może pęknąć na wysokości 20000 stóp w chmurze superkomórkowej cumulonimbus, gdzie prądy wstępujące mogą osiągnąć 50  m / s .

Powyższy wzór dałby współczynnik obciążenia 21 G.

Obliczanie prędkości pionowej

Niech alfa będzie kątem natarcia w danym momencie. Podnośnik zapewnia:

L=12CLρSV2{\displaystyle L={1 \over 2}C_{L}\rho SV^{2}}

• C L to współczynnik siły nośnej.
• rho to gęstość powietrza.
• S to obszar skrzydła
• V to prędkość powietrza.

Współczynnik siły nośnej wynosi:

CL=2πα{\displaystyle C_{L}=2\pi \alpha }

Winda staje się wtedy:

L=παρSV2{\displaystyle L=\pi \alpha \rho SV^{2}}

Niech w 0 będzie prędkością opadania szybowca. Teraz staramy się określić prędkość pionową we wznoszącej się masie powietrza. Niech W będzie ciężarem szybowca i m jego masą. Przyspieszenie pionowe określa:

mdwdt=L−W{\displaystyle m{dw \over dt}=L-W}

Albo w jest prędkością pionową masy powietrza. Względna prędkość pionowa w r w odniesieniu do masy powietrza wynosi:

wr=wa−w{\displaystyle w_{r}=w_{a}-w}

Teraz staramy się oszacować kąt natarcia jako funkcję w r . W sumie mamy: L = W . Więc mamy :

πα0ρSV2=W{\displaystyle \pi \alpha _{0}\rho SV^{2}=W}

Niech α i będzie kątem padania. Kąt natarcia to:

α=αi+wrV{\displaystyle \alpha =\alpha _{i}+{w_{r} \over V}}

Zastępujemy w równaniu różniczkowym i otrzymujemy:

mdwdt=π(αi+wrV)ρSV2−W{\displaystyle m{dw \over dt}=\pi \left(\alpha _{i}+{w_{r} \over V}\right)\rho SV^{2}-W}

Pamiętaj, że :, dlatego: wr=wa−w{\displaystyle w_{r}=w_{a}-w}

mdwdt=π(αi+wa−wV)ρSV2−W{\displaystyle m{dw \over dt}=\pi \left(\alpha _{i}+{w_{a}-w \over V}\right)\rho SV^{2}-W}

W związku z tym,

mdwdt+πρSV2Vw=π(αi+waV)ρSV2−W{\displaystyle m{dw \over dt}+{\pi \rho SV^{2} \over V}w=\pi \left(\alpha _{i}+{w_{a} \over V}\right)\rho SV^{2}-W}

W związku z tym,

mdwdt+(πρSV)w=π(αi+waV)ρSV2−W{\displaystyle m{dw \over dt}+(\pi \rho SV)w=\pi \left(\alpha _{i}+{w_{a} \over V}\right)\rho SV^{2}-W}

W związku z tym,

mdwdt+(πρSV)w=(παiρSV2−W)+πwaρSV{\displaystyle m{dw \over dt}+(\pi \rho SV)w=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W)+\pi w_{a}\rho SV}

Ogólne rozwiązanie tego równania różniczkowego to:

w(t)=Ke−πρSVmt{\displaystyle w(t)=Ke^{-{\pi \rho SV \over m}t}}

Charakterystyczny czas jest określony przez:

τ=mπρSV{\displaystyle \tau ={m \over \pi \rho SV}}

Rozważmy przykład liczbowy, aby otrzymać rzędy wielkości.

Bierzemy pod uwagę powierzchnię skrzydła 15  m 2 , gęstość 1,22  kg / m 3, całkowitą masę szybowca 300  kg i prędkość powietrza 20  m / s . Dlatego charakterystyczny czas to:

τ=300π×1,22×15×20=1π×1,22=0.26{\displaystyle \tau ={300 \over \pi \times 1{,}22\times 15\times 20}={1 \over \pi \times 1{,}22}=0{.}26} druga.

Tak więc w mniej niż 1 sekundę szybowiec osiągnie równowagę w spokojnym powietrzu.

Teraz rozwiązujemy równanie różniczkowe. Ogólne rozwiązanie jest napisane:

w(t)=Ke−tτ{\displaystyle w(t)=Ke^{-{t \over \tau }}}

Zmieniamy stałą K (t) i zastępujemy.

dwdt=K˙(t)e−tτ−K(t)1τe−tτ{\displaystyle {dw \over dt}={\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}-K(t){1 \over \tau }e^{-{t \over \tau }}}

Dlatego rozwiązujemy:

mK˙(t)e−tτ−mK(t)1τe−tτ+πρSVKe−tτ=(παiρSV2−W)+πwaρSV{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}-mK(t){1 \over \tau }e^{-{t \over \tau }}+\pi \rho SVKe^{-{t \over \tau }}=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W)+\pi w_{a}\rho SV}

W związku z tym,

mK˙(t)e−tτ−mK(t)1τe−tτ+mK(t)1τe−tτ=(παiρSV2−W)+πwaρSV{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}-mK(t){1 \over \tau }e^{-{t \over \tau }}+mK(t){1 \over \tau }e^{-{t \over \tau }}=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W)+\pi w_{a}\rho SV}

Istnieje uproszczenie, a zatem:

mK˙(t)e−tτ=(παiρSV2−W)+πwaρSV{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W)+\pi w_{a}\rho SV}

Najpierw rozważymy uproszczony przypadek, w którym w a = 0 .

Przypomina się, że W = mg . Otrzymujemy zatem:

mK˙(t)e−tτ=mαiτV−mg{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}={m\alpha _{i} \over \tau }V-mg}

W związku z tym,

K˙(t)e−tτ=αiVτ−g{\displaystyle {\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}={\alpha _{i}V \over \tau }-g}

W związku z tym,

K˙(t)=(αiVτ−g)etτ{\displaystyle {\dot {K}}(t)=\left({\alpha _{i}V \over \tau }-g\right)e^{t \over \tau }}

Prymityw staje się zatem:

K(t)=τ(αiVτ−g)etτ+Cte{\displaystyle K(t)=\tau \left({\alpha _{i}V \over \tau }-g\right)e^{t \over \tau }+Cte}

Zastępujemy i dlatego:

w(t)=[τ(αiVτ−g)etτ+Cte]e−tτ{\displaystyle w(t)=\left[\tau \left({\alpha _{i}V \over \tau }-g\right)e^{t \over \tau }+Cte\right]e^{-{t \over \tau }}}

W związku z tym,

w(t)=(αiV−gτ)+Cte e−tτ{\displaystyle w(t)=\left(\alpha _{i}V-g\tau \right)+Cte\ e^{-{t \over \tau }}}

Zakładamy, że w chwili t = 0 mamy w = w 0 . Otrzymujemy w ten sposób przy t = 0 ,

w0=(αiV−gτ)+Cte e0{\displaystyle w_{0}=\left(\alpha _{i}V-g\tau \right)+Cte\ e^{0}}

W związku z tym,

Cte=w0−(αiV−gτ){\displaystyle Cte=w_{0}-\left(\alpha _{i}V-g\tau \right)}

W końcu:

w(t)=(αiV−gτ)+[w0−(αiV−gτ)]e−tτ{\displaystyle w(t)=\left(\alpha _{i}V-g\tau \right)+\left[w_{0}-\left(\alpha _{i}V-g\tau \right)\right]e^{-{t \over \tau }}}

Niech będzie prędkością asymptotyczną zdefiniowaną przez: w∞{\displaystyle w_{\infty }}

w∞=αiV−gτ{\displaystyle w_{\infty }=\alpha _{i}V-g\tau }

Otrzymujemy wtedy:

w(t)=w∞+(w0−w∞)e−tτ{\displaystyle w(t)=w_{\infty }+(w_{0}-w_{\infty })e^{-{t \over \tau }}}

Kąt padania jest następujący:

αi=w∞V+dτV{\displaystyle \alpha _{i}={w\infty \over V}+{d\tau \over V}}

Zakładamy, że i V = 20. Otrzymujemy wtedy: w∞=−0.5{\displaystyle w_{\infty }=-0.5}

αi=−0.520+10×0.2620{\displaystyle \alpha _{i}=-{0.5 \over 20}+{10\times 0.26 \over 20}}

Mamy zatem jako pierwsze przybliżenie:

αi≈gτV=0.13{\displaystyle \alpha _{i}\approx {g\tau \over V}=0.13}

Zatem szacowany kąt padania (w stopniach) to:

αi=0.13×180π=7.5{\displaystyle \alpha _{i}={0.13\times 180 \over \pi }=7.5} stopnie. Brzmi bardzo rozsądnie.  

Sprawa ogólna

Rozszerzamy poprzedni model, w którym zamiast rozważać funkcję klatki schodowej, zakładamy, że w momencie t = 0 szybowiec wchodzi do windy, której siła jest „przypadkowa”.

Rozważmy to teraz wa=wa(t){\displaystyle w_{a}=w_{a}(t)}

Definiujemy funkcję przejścia h (t) tak, że h (t) = 0 dla t <0 i dla t ≥ 0. Mamy wtedy: h(t)=e−tτ{\displaystyle h(t)=e^{-{t \over \tau }}}

w(t)=1τ(wa∗h)(t){\displaystyle w(t)={1 \over \tau }(w_{a}*h)(t)}

gdzie * jest iloczynem splotu .

Wyrażenie rozwiązania jako iloczynu splotu jest konwencjonalne. Możemy skonsultować się z pracą Vrabiego.

Jednak w polu rozwijanym znajduje się jawna demonstracja.

Demonstracja formuły obejmującej produkt splotu

Zapamietaj to:

mK˙(t)e−tτ=(παiρSV2−W)+πwa(t)ρSV{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W)+\pi w_{a}(t)\rho SV}

Prędkość V odpowiada szybowcowi bez siły zewnętrznej przy braku prądów pionowych. W związku z tym,

παiρSV2−W=0{\displaystyle \pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W=0}

W związku z tym,

K˙(t)=1metτπwa(t)ρSV{\displaystyle {\dot {K}}(t)={1 \over m}e^{t \over \tau }\pi w_{a}(t)\rho SV}

Wymieniamy i dlatego:

K˙(t)=1τwa(t)etτ{\displaystyle {\dot {K}}(t)={1 \over \tau }w_{a}(t)e^{t \over \tau }}

Obliczamy prymityw i dlatego:

K(t)=1τ∫0twa(t′)et′τdt′+Cte{\displaystyle K(t)={1 \over \tau }\int _{0}^{t}w_{a}(t')e^{t' \over \tau }dt'+Cte}

Pamiętaj, że więc w(t)=K(t)e−tτ{\displaystyle w(t)=K(t)e^{-{t \over \tau }}}

w(t)=1τ∫0twa(t′)et′τdt′e−tτ+Cte e−tτ{\displaystyle w(t)={1 \over \tau }\int _{0}^{t}w_{a}(t')e^{t' \over \tau }dt'e^{-{t \over \tau }}+Cte\ e^{-{t \over \tau }}}

A więc,

w(t)=Cte e−tτ+1τ∫0twa(t′)e−t−t′τdt′{\displaystyle w(t)=Cte\ e^{-{t \over \tau }}+{1 \over \tau }\int _{0}^{t}w_{a}(t')e^{-{t-t' \over \tau }}dt'}

To jest produkt konwolucyjny .

Przy t = 0 mamy w (t = 0) = 0 . W związku z tym,

0=Ctee−0τ+1τ∫00wa(t′)e−t−t′τdt′{\displaystyle 0=Ctee^{-{0 \over \tau }}+{1 \over \tau }\int _{0}^{0}w_{a}(t')e^{-{t-t' \over \tau }}dt'}

W związku z tym,

Cte=0{\displaystyle Cte=0}

Możemy założyć, że dla t <0 mamy w a = 0, a zatem

w(t)=1τ∫−∞0wa(t′)e−t−t′τdt′{\displaystyle w(t)={1 \over \tau }\int _{-\infty }^{0}w_{a}(t')e^{-{t-t' \over \tau }}dt'}

Podobnie definiujemy funkcję h (t) = 0 dla t <0 i dla t ≥ 0 . W związku z tym, h(t)=e−tτ{\displaystyle h(t)=e^{-{t \over \tau }}}

w(t)=1τ(wa∗h)(t){\displaystyle w(t)={1 \over \tau }(w_{a}*h)(t)}  

Przejście liniowe

Rozszerzamy poprzedni model, w którym zamiast uwzględniać funkcję klatki schodowej, uważamy, że w momencie t = 0 szybowiec wchodzi do windy, której siła rośnie liniowo w czasie.

Rozważmy to teraz wa=γt{\displaystyle w_{a}=\gamma t}

Prędkość pionowa szybowca jest następująca:

w(t)=(w∞+γ(t−τ))+γτe−tτ{\displaystyle w(t)=\left(w_{\infty }+\gamma (t-\tau )\right)+\gamma \tau e^{-{t \over \tau }}}

Przyspieszenie pionowe jest następujące:

w˙(t)=γ(1−e−tτ){\displaystyle {\dot {w}}(t)=\gamma \left(1-e^{-{t \over \tau }}\right)}

Pionowy szarpnięcie jest następujący:

w¨(t)=γτe−tτ{\displaystyle {\ddot {w}}(t)={\gamma \over \tau }e^{-{t \over \tau }}}

Przyjmuje się, że szybowiec leci z prędkością 20 m / s, a wyciąg ma promień 70 m. Wtedy to widzimy . Otrzymujemy wówczas uproszczoną formułę: t≫τ{\displaystyle t\gg \tau }

w(t)≈w∞+γt+γτe−∞=w∞+γt{\displaystyle w(t)\approx w_{\infty }+\gamma t+\gamma \tau e^{-\infty }=w_{\infty }+\gamma t}

Forma ta pokazuje, że kiedy szybowiec wchodzi do windy, jego prędkość pionowa jest z dobrą dokładnością równa prędkości windy pomniejszonej o prędkość opadania.

Załóżmy, że szybowiec leci z prędkością V, a strefa zmian ma szerokość d . Mamy wtedy:

γ=waVd{\displaystyle \gamma ={w_{a}V \over d}}

Zakładamy, że d = 10 m, a w 5 m / s. Mamy wtedy:

γ=5×2010=10{\displaystyle \gamma ={5\times 20 \over 10}=10} m / s 2

Współczynnik obciążenia nadal wynosi 2 G. Potwierdza to, że zbyt silne prądy pionowe mogą zniszczyć samolot.

Obliczanie prędkości pionowej

Zapamietaj to:

mK˙(t)e−tτ=(παiρSV2−W)+πwaρSV{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W)+\pi w_{a}\rho SV}

W związku z tym,

mK˙(t)e−tτ=(παiρSV2−W)+πγρSt{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W)+\pi \gamma \rho St}

Przypomina się, że W = mg . Otrzymujemy zatem:

mK˙(t)e−tτ=mαiτV−mg+γπρSt{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}={m\alpha _{i} \over \tau }V-mg+\gamma \pi \rho St}

W związku z tym,

mK˙(t)e−tτ=mαiτV−mg+mγtτ{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}={m\alpha _{i} \over \tau }V-mg+m\gamma {t \over \tau }}

W związku z tym,

K˙(t)e−tτ=αiτV−g+γtτ{\displaystyle {\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}={\alpha _{i} \over \tau }V-g+\gamma {t \over \tau }}

W związku z tym,

K˙(t)=(αiτV−g+γtτ)etτ{\displaystyle {\dot {K}}(t)=\left({\alpha _{i} \over \tau }V-g+\gamma {t \over \tau }\right)e^{t \over \tau }}

W związku z tym,

K˙(t)=(αiVτ−g+γtτ)etτ{\displaystyle {\dot {K}}(t)=\left({\alpha _{i}V \over \tau }-g+\gamma {t \over \tau }\right)e^{t \over \tau }}

Obliczamy następujący prymityw:

L(t)=∫γtτetτdτ{\displaystyle L(t)=\int \gamma {t \over \tau }e^{t \over \tau }d\tau }

Integrujemy się po częściach:

L(t)=γtττetτ−γ∫1ττetτdτ{\displaystyle L(t)=\gamma {t \over \tau }\tau e^{t \over \tau }-\gamma \int {1 \over \tau }\tau e^{t \over \tau }d\tau }

W związku z tym,

L(t)=γ(t−τ)etτ{\displaystyle L(t)=\gamma (t-\tau )e^{t \over \tau }}

Zastępujemy i dlatego:

w(t)=[τ(αiVτ−g)+γ(t−τ)+Cte]e−tτ{\displaystyle w(t)=\left[\tau \left({\alpha _{i}V \over \tau }-g\right)+\gamma (t-\tau )+Cte\right]e^{-{t \over \tau }}}

W związku z tym,

w(t)=[αiV−gτ+γ(t−τ)]+Cte e−tτ{\displaystyle w(t)=\left[\alpha _{i}V-g\tau +\gamma (t-\tau )\right]+Cte\ e^{-{t \over \tau }}}

Zakładamy, że w chwili t = 0 mamy w = w 0 . Otrzymujemy w ten sposób przy t = 0 ,

w0=(αiV−gτ−γτ)+Cte e0{\displaystyle w_{0}=\left(\alpha _{i}V-g\tau -\gamma \tau \right)+Cte\ e^{0}}

W związku z tym,

Cte=w0−(αiV−gτ−γτ){\displaystyle Cte=w_{0}-\left(\alpha _{i}V-g\tau -\gamma \tau \right)}

W końcu:

w(t)=(αiV−(g+γ)τ+γτ)+[w0−(παiV−(g+γ)τ)]e−tτ{\displaystyle w(t)=\left(\alpha _{i}V-(g+\gamma )\tau +\gamma \tau \right)+\left[w_{0}-\left(\pi \alpha _{i}V-(g+\gamma )\tau \right)\right]e^{-{t \over \tau }}}

Teraz załóżmy, że (wchodząc do windy, szybowiec jest ustabilizowany). w0=w∞{\displaystyle w_{0}=w_{\infty }}

Zapamietaj to:

w∞=αiV−gτ{\displaystyle w_{\infty }=\alpha _{i}V-g\tau }

W związku z tym,

w(t)=(αiV−(g+γ)τ+γt)+[αiV−gτ−(αiV−(g+γ)τ)]e−tτ{\displaystyle w(t)=\left(\alpha _{i}V-(g+\gamma )\tau +\gamma t\right)+\left[\alpha _{i}V-g\tau -\left(\alpha _{i}V-(g+\gamma )\tau \right)\right]e^{-{t \over \tau }}}

Istnieje zatem uproszczenie:

w(t)=(αiV−(g+γ)τ+γt)+[−(−γ)τ)]e−tτ{\displaystyle w(t)=\left(\alpha _{i}V-(g+\gamma )\tau +\gamma t\right)+\left[-\left(-\gamma )\tau \right)\right]e^{-{t \over \tau }}}

Otrzymujemy wtedy:

w(t)=(αiV−gτ+γ(t−τ))+γτe−tτ{\displaystyle w(t)=\left(\alpha _{i}V-g\tau +\gamma (t-\tau )\right)+\gamma \tau e^{-{t \over \tau }}}

W związku z tym,

w(t)=(w∞+γ(t−τ))+γτe−tτ{\displaystyle w(t)=\left(w_{\infty }+\gamma (t-\tau )\right)+\gamma \tau e^{-{t \over \tau }}}  

Przejście w kształcie cosinusa

Kiedy szybowiec leci w podnośniku cieplnym (lub w wirniku , możemy założyć, że prędkość pionowa ma kształt sinusoidalny. Promień cieplny jest rzędu 70 metrów, podczas gdy wirnik ma bardziej złożoną strukturę, jak omówiono poniżej) .

Rozszerzamy poprzedni model, w którym zamiast uwzględniać funkcję klatki schodowej, uważamy, że w momencie t = 0 szybowiec wchodzi do windy, której siła wzrasta w następujący sposób:

wa(x)=12wg[1−cos⁡(πxd)]{\displaystyle w_{a}(x)={1 \over 2}w_{g}\left[1-\cos \left({\pi x \over d}\right)\right]}

Definiujemy

κ=πVd{\displaystyle \kappa ={\pi V \over d}}

Prędkość pionowa jest następująca:

w(t)=w∞+wg2−wg2(1+κ2τ2)(cos⁡(κt)+κτsin⁡(κt))+wg2(11+κ2τ2−1)e−tτ{\displaystyle w(t)=w_{\infty }+{w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\cos(\kappa t)+\kappa \tau \sin(\kappa t)\right)+{w_{g} \over 2}\left({1 \over 1+\kappa ^{2}\tau ^{2}}-1\right)e^{-{t \over \tau }}}

Przyspieszenie pionowe jest następujące:

w˙(t)=−wg2(1+κ2τ2)(−κsin⁡(κt)+κτκcos⁡(κt))−1τwg2(11+κ2τ2−1)e−tτ{\displaystyle {\dot {w}}(t)=-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(-\kappa \sin(\kappa t)+\kappa \tau \kappa \cos(\kappa t)\right)-{1 \over \tau }{w_{g} \over 2}\left({1 \over 1+\kappa ^{2}\tau ^{2}}-1\right)e^{-{t \over \tau }}}

W związku z tym,

w˙(t)=−wgκ2(1+κ2τ2)(−sin⁡(κt)+κτcos⁡(κt))−1τwg2(11+κ2τ2−1)e−tτ{\displaystyle {\dot {w}}(t)=-{w_{g}\kappa \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(-\sin(\kappa t)+\kappa \tau \cos(\kappa t)\right)-{1 \over \tau }{w_{g} \over 2}\left({1 \over 1+\kappa ^{2}\tau ^{2}}-1\right)e^{-{t \over \tau }}}Lot w wyciągu termicznym

Przyjmuje się, że szybowiec leci z prędkością 20 m / s, a wyciąg ma promień 70 m. Wtedy to widzimy . Otrzymujemy wówczas uproszczoną formułę: t≫τ{\displaystyle t\gg \tau }

w(t)≈w∞+wg2−wg2(1+κ2τ2)(cos⁡(κt)+κτsin⁡(κt)){\displaystyle w(t)\approx w_{\infty }+{w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\cos(\kappa t)+\kappa \tau \sin(\kappa t)\right)}

Podobnie mamy . Mamy zatem dodatkowe uproszczenie: κτ≪1{\displaystyle \kappa \tau \ll 1}

w(t)≈w∞+wg2(1−cos⁡(κt)){\displaystyle w(t)\approx w_{\infty }+{w_{g} \over 2}(1-\cos(\kappa t))}

Prędkość szybowca jest zatem w przybliżeniu zgodna z profilem windy.

Przyspieszenie staje się wtedy:

w˙(t)≈wgκ2sin⁡(κt){\displaystyle {\dot {w}}(t)\approx {w_{g}\kappa \over 2}\sin(\kappa t)}

Przyspieszenie będzie zatem maksymalne, kiedy i będzie warte κt=π/2{\displaystyle \kappa t=\pi /2}

aM=wgκ2{\displaystyle a_{M}={w_{g}\kappa \over 2}}

Mamy :

κ=πVd=π×2070=0.9{\displaystyle \kappa ={\pi V \over d}={\pi \times 20 \over 70}=0.9}

Przyspieszenie będzie:

aM=5×0.92=2.25{\displaystyle a_{M}={5\times 0.9 \over 2}=2.25}

Współczynnik obciążenia staje się znacznie mniejszy. Jeśli jednak prędkość V jest duża (samolot transportowy), a w g jest również wysoka, ryzyko pęknięcia statku powietrznego pozostaje.

Demonstracja formuł

Zapamietaj to:

mK˙(t)e−tτ=(παiρSV2−W)+πwaρSV{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W)+\pi w_{a}\rho SV}

W związku z tym,

mK˙(t)e−tτ=(παiρSV2−W)+π12wg[1−cos⁡(πxd)]ρSV{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-W)+\pi {1 \over 2}w_{g}\left[1-\cos \left({\pi x \over d}\right)\right]\rho SV}

Przypomina się, że W = mg . Otrzymujemy zatem:

mK˙(t)e−tτ=(παiρSV2−mg)+π12wg[1−cos⁡(πxd)]ρSV{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}=(\pi \alpha _{i}\rho SV^{2}-mg)+\pi {1 \over 2}w_{g}\left[1-\cos \left({\pi x \over d}\right)\right]\rho SV}

W związku z tym,

mK˙(t)e−tτ=mαiτV−mg+wg2[1−cos⁡(πxd)]mτ{\displaystyle m{\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}={m\alpha _{i} \over \tau }V-mg+{w_{g} \over 2}\left[1-\cos \left({\pi x \over d}\right)\right]{m \over \tau }}

W związku z tym,

K˙(t)e−tτ=αiτV−g+wg2[1−cos⁡(πxd)]1τ{\displaystyle {\dot {K}}(t)e^{-{t \over \tau }}={\alpha _{i} \over \tau }V-g+{w_{g} \over 2}\left[1-\cos \left({\pi x \over d}\right)\right]{1 \over \tau }}

W związku z tym,

K˙(t)={αiτV−g+wg2τ[1−cos⁡(πxd)]}etτ{\displaystyle {\dot {K}}(t)=\left\{{\alpha _{i} \over \tau }V-g+{w_{g} \over 2\tau }\left[1-\cos \left({\pi x \over d}\right)\right]\right\}e^{t \over \tau }}

W związku z tym,

K˙(t)=[αiτV−g+wg2τ−wg2τcos⁡(πxd)]etτ{\displaystyle {\dot {K}}(t)=\left[{\alpha _{i} \over \tau }V-g+{w_{g} \over 2\tau }-{w_{g} \over 2\tau }\cos \left({\pi x \over d}\right)\right]e^{t \over \tau }}

Obliczamy następujący prymityw:

L(t)=∫cos⁡(πxd)etτdτ{\displaystyle L(t)=\int \cos \left({\pi x \over d}\right)e^{t \over \tau }d\tau }

Przypominamy, że x = V t .

W związku z tym,

L(t)=∫cos⁡(πVtd)etτdτ{\displaystyle L(t)=\int \cos \left({\pi Vt \over d}\right)e^{t \over \tau }d\tau }

Integrujemy się po częściach:

L(t)=cos⁡(πVtd)etττ−πVd∫(−)sin⁡(πVtd)etττdτ{\displaystyle L(t)=\cos \left({\pi Vt \over d}\right)e^{t \over \tau }\tau -{\pi V \over d}\int (-)\sin \left({\pi Vt \over d}\right)e^{t \over \tau }\tau d\tau }

Zaczynamy od nowa i dlatego:

L(t)=cos⁡(πVtd)etττ+πVdsin⁡(πVtd)etτττ−∫(πVd)2cos⁡(πVtd)etτττdτ{\displaystyle L(t)=\cos \left({\pi Vt \over d}\right)e^{t \over \tau }\tau +{\pi V \over d}\sin \left({\pi Vt \over d}\right)e^{t \over \tau }\tau \tau -\int \left({\pi V \over d}\right)^{2}\cos \left({\pi Vt \over d}\right)e^{t \over \tau }\tau \tau d\tau }

Definiujemy κ=πVd{\displaystyle \kappa ={\pi V \over d}}

Otrzymujemy wtedy:

L(t)=cos⁡(κt)etττ+κsin⁡(κt)etττ2−κ2τ2L(t){\displaystyle L(t)=\cos(\kappa t)e^{t \over \tau }\tau +\kappa \sin(\kappa t)e^{t \over \tau }\tau ^{2}-\kappa ^{2}\tau ^{2}L(t)}

W związku z tym,

L(t)(1+κ2τ2)=τcos⁡(κt)etτ+κτ2sin⁡(κt)etτ{\displaystyle L(t)(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})=\tau \cos(\kappa t)e^{t \over \tau }+\kappa \tau ^{2}\sin(\kappa t)e^{t \over \tau }}

W związku z tym :

K(t)=(αiτV−g+wg2τ)τetτ−wg2τL(t)+Cte{\displaystyle K(t)=\left({\alpha _{i} \over \tau }V-g+{w_{g} \over 2\tau }\right)\tau e^{t \over \tau }-{w_{g} \over 2\tau }L(t)+Cte}

W związku z tym,

K(t)=(αiV−gτ+wg2)etτ−wg2τ(1+κ2τ2)(τcos⁡(κt)etτ+κτ2sin⁡(κt)etτ)+Cte{\displaystyle K(t)=\left(\alpha _{i}V-g\tau +{w_{g} \over 2}\right)e^{t \over \tau }-{w_{g} \over 2\tau (1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\tau \cos(\kappa t)e^{t \over \tau }+\kappa \tau ^{2}\sin(\kappa t)e^{t \over \tau }\right)+Cte}

W związku z tym,

K(t)=[αiV−gτ+wg2−wg2τ(1+κ2τ2)(τcos⁡(κt)+κτ2sin⁡(κt))]etτ+Cte{\displaystyle K(t)=\left[\alpha _{i}V-g\tau +{w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2\tau (1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\tau \cos(\kappa t)+\kappa \tau ^{2}\sin(\kappa t)\right)\right]e^{t \over \tau }+Cte}

Jest uproszczenie:

K(t)=[αiV−gτ+wg2−wg2(1+κ2τ2)(cos⁡(κt)+κτsin⁡(κt))]etτ+Cte{\displaystyle K(t)=\left[\alpha _{i}V-g\tau +{w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\cos(\kappa t)+\kappa \tau \sin(\kappa t)\right)\right]e^{t \over \tau }+Cte}

Zapamietaj to:

w∞=αiV−gτ{\displaystyle w_{\infty }=\alpha _{i}V-g\tau }

W związku z tym,

K(t)=[w∞+wg2−wg2(1+κ2τ2)(cos⁡(κt)+κτsin⁡(κt))]etτ+Cte{\displaystyle K(t)=\left[w_{\infty }+{w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\cos(\kappa t)+\kappa \tau \sin(\kappa t)\right)\right]e^{t \over \tau }+Cte}

Zapamietaj to: w(t)=K(t)e−tτ{\displaystyle w(t)=K(t)e^{-{t \over \tau }}}

W związku z tym,

w(t)=[w∞+wg2−wg2(1+κ2τ2)(cos⁡(κt)+κτsin⁡(κt))]etτe−tτ+Cte e−tτ{\displaystyle w(t)=\left[w_{\infty }+{w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\cos(\kappa t)+\kappa \tau \sin(\kappa t)\right)\right]e^{t \over \tau }e^{-{t \over \tau }}+Cte\ e^{-{t \over \tau }}}

W związku z tym,

w(t)=w∞+wg2−wg2(1+κ2τ2)(cos⁡(κt)+κτsin⁡(κt))+Cte e−tτ{\displaystyle w(t)=w_{\infty }+{w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\cos(\kappa t)+\kappa \tau \sin(\kappa t)\right)+Cte\ e^{-{t \over \tau }}}

Teraz ustalamy warunki brzegowe. W chwili t = 0 mamy . W związku z tym, w(t=0)=w∞{\displaystyle w(t=0)=w_{\infty }}

w∞=w∞+wg2−wg2(1+κ2τ2)(cos⁡(κ0)+κτsin⁡(κ0))+Cte e−0τ{\displaystyle w_{\infty }=w_{\infty }+{w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\cos(\kappa 0)+\kappa \tau \sin(\kappa 0)\right)+Cte\ e^{-{0 \over \tau }}}

W związku z tym,

0=wg2−wg2(1+κ2τ2)(cos⁡(κ0)+κτsin⁡(κ0))+Cte{\displaystyle 0={w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\cos(\kappa 0)+\kappa \tau \sin(\kappa 0)\right)+Cte}

W związku z tym,

Cte=wg2(11+κ2τ2−1){\displaystyle Cte={w_{g} \over 2}\left({1 \over 1+\kappa ^{2}\tau ^{2}}-1\right)}

W związku z tym,

w(t)=w∞+wg2−wg2(1+κ2τ2)(cos⁡(κt)+κτsin⁡(κt))+wg2(11+κ2τ2−1)e−tτ{\displaystyle w(t)=w_{\infty }+{w_{g} \over 2}-{w_{g} \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\cos(\kappa t)+\kappa \tau \sin(\kappa t)\right)+{w_{g} \over 2}\left({1 \over 1+\kappa ^{2}\tau ^{2}}-1\right)e^{-{t \over \tau }}}  

Loty przez jacuzzi

Model Tourbillon zachowuje się jak sztywna bryła

Wirnik może być modelowana w uproszczony sposób, ultra jako prosty Ox osi wir o zachowanie sztywnego bębna.

Przyjmuje się, że prędkość kątowa obrotu wynosi:

Ω→=Ωi→{\displaystyle {\vec {\Omega }}=\Omega {\vec {i}}}

Wirowość będzie wynosić:

η→=2Ω→{\displaystyle {\vec {\eta }}=2{\vec {\Omega }}}

Wzdłuż osi Oy prędkość pionowa w będzie warta:

w=Ωy{\displaystyle w=\Omega y}

Rozważmy teraz samolot lecący z prędkością V wzdłuż Oy .

Mamy y (t) = V t , więc mamy:

w(t)=12y(t)η=Vη2t{\displaystyle w(t)={1 \over 2}y(t)\eta ={V\eta \over 2}t}

Ten przypadek jest zatem zredukowany do przypadku liniowego wzrostu prędkości pionowej, o którym mowa powyżej .

Obliczanie wirowości

Jeśli weźmiemy pod uwagę wir zachowujący się jak bryła o prędkości kątowej Ω, prędkość liniowa i współrzędne cylindryczne są następujące:u→=Ω→∧r→{\displaystyle {\vec {u}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {r}}}

Aby uprościć, uważamy, że oś Ω to Wół (wirnik poziomy). Mamy wtedy:

u→=Ωi→∧(xi→+yj→+zk→{\displaystyle {\vec {u}}=\Omega {\vec {i}}\wedge (x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}}

W związku z tym,

u→=Ω(yk→−zj→){\displaystyle {\vec {u}}=\Omega (y{\vec {k}}-z{\vec {j}})}

Teraz obliczamy wirowość . Mamy : η{\displaystyle \eta }

η→=∇→∧u→=(∂∂xi→+∂∂jj→+∂∂zk→)∧Ω(yk→−zj→){\displaystyle {\vec {\eta }}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}=\left({\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial j}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}\right)\wedge \Omega (y{\vec {k}}-z{\vec {j}})}

Jest pewne uproszczenie:

η→=Ω(∂∂yj→+∂∂zk→)∧(yk→−zj→){\displaystyle {\vec {\eta }}=\Omega \left({\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}\right)\wedge (y{\vec {k}}-z{\vec {j}})}

W związku z tym,

η→=Ω(∂∂yj→∧(yk→−zj→)+∂∂zk→∧(yk→−zj→)){\displaystyle {\vec {\eta }}=\Omega \left({\partial \over \partial y}{\vec {j}}\wedge (y{\vec {k}}-z{\vec {j}})+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}\wedge (y{\vec {k}}-z{\vec {j}})\right)}

W związku z tym,

η→=Ω(∂y∂yj→∧k→−zj→)−∂z∂zk→∧j→)=2Ωi→{\displaystyle {\vec {\eta }}=\Omega \left({\partial y \over \partial y}{\vec {j}}\wedge {\vec {k}}-z{\vec {j}})-{\partial z \over \partial z}{\vec {k}}\wedge {\vec {j}}\right)=2\Omega {\vec {i}}}

Wreszcie:

η→=2Ω→{\displaystyle {\vec {\eta }}=2{\vec {\Omega }}}

Wzdłuż osi Oy prędkość pionowa w będzie warta:

w=Ωy{\displaystyle w=\Omega y}   Lot w wirniku

Wirnik jest prawie zawsze połączony z układem fal górskich i odpowiada burzliwej podwarstwie. Wirnik składa się z głosów o różnych rozmiarach. Jeśli k jest liczbą falową wiru, częstotliwość ( transformata Fouriera ) takich wirów jest proporcjonalna do for i dlatego dominować będą głównie wiry o dużym promieniu. Jednak wiry mogą mieć wszystkie rozmiary i rozważamy wir o wymiarze d = 10 metrów. k−53{\displaystyle k^{-{5 \over 3}}}k≥3×10−3{\displaystyle k\geq 3\times 10^{-3}}

Otrzymujemy wtedy:

κ=πVd=π×2010=6.28{\displaystyle \kappa ={\pi V \over d}={\pi \times 20 \over 10}=6.28}

Maksymalne przyspieszenie będzie następujące:

aM≈wgκ2(1+κ2τ2)(1+κτ){\displaystyle a_{M}\approx {w_{g}\kappa \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}(1+\kappa \tau )} Obliczanie przyspieszenia pionowego w małych wirnikach pomocniczych

Tutaj mamy: Pamiętamy to . κτ=6.28×0.25≈1.5{\displaystyle \kappa \tau =6.28\times 0.25\approx 1.5}κt≪1{\displaystyle \kappa t\ll 1}

Dlatego też nie możemy założyć, że κτ jest małe. Przyjmujemy powyższy wzór i przyspieszenie staje się:

w˙(t)=−wgκ2(1+κ2τ2)(−sin⁡(κt)+κτcos⁡(κt)){\displaystyle {\dot {w}}(t)=-{w_{g}\kappa \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(-\sin(\kappa t)+\kappa \tau \cos(\kappa t)\right)}

W związku z tym,

w˙(t)=wgκ2(1+κ2τ2)(sin⁡(κt)−κτcos⁡(κt)){\displaystyle {\dot {w}}(t)={w_{g}\kappa \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(\sin(\kappa t)-\kappa \tau \cos(\kappa t)\right)}

Przyspieszenie jest maksymalne, gdy szarpnięcie wynosi zero. Piszemy :

0=w¨(t)=−wgκ2(1+κ2τ2)(−κcos⁡(κt)+κτ(−)κsin⁡(κt)){\displaystyle 0={\ddot {w}}(t)=-{w_{g}\kappa \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\left(-\kappa \cos(\kappa t)+\kappa \tau (-)\kappa \sin(\kappa t)\right)}

Dlatego rozwiązujemy:

0=cos⁡(κt)+κτsin⁡(κt){\displaystyle 0=\cos(\kappa t)+\kappa \tau \sin(\kappa t)}

W związku z tym,

tan⁡(κt)=−1κτ{\displaystyle \tan(\kappa t)=-{1 \over \kappa \tau }}

Więc mamy :

aM=wgκ2(1+κ2τ2)sin⁡(κt)(1−(−)κτ){\displaystyle a_{M}={w_{g}\kappa \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}\sin(\kappa t)\left(1-(-)\kappa \tau \right)}

Możemy to założyć i dlatego: sin⁡(κt)≈1{\displaystyle \sin(\kappa t)\approx 1}

aM=wgκ2(1+κ2τ2)(1+κτ){\displaystyle a_{M}={w_{g}\kappa \over 2(1+\kappa ^{2}\tau ^{2})}(1+\kappa \tau )}  

Numerycznie otrzymujemy wtedy:

aM=wg×6.282×(1+1.52)×(1+1.5)=wg×2.41{\displaystyle a_{M}=w_{g}\times {6.28 \over 2\times (1+1.5^{2})}\times (1+1.5)=w_{g}\times 2.41}

Zatem podmuch o prędkości 5 m / s wygeneruje przyspieszenie około 1,5 G, a zatem współczynnik obciążenia 2,5 G. Mogą wystąpić takie podmuchy.

Pionowe porywy o wartości 10 m / s są dość powszechne, a współczynnik obciążenia wyniesie 3,5 G. W przeszłości wirniki miały zepsute szybowce o współczynniku obciążenia 16 G. Zgodnie z powyższym wzorem , pionowe podmuchy byłyby rzędu SM. Pilot leciał w chmurze wirnika. 150/2.41≈60{\displaystyle 150/2.41\approx 60}

Efekt wybuchów poziomych

W ekstremalnych warunkach Joachim Kuettner i Larry Elgar napotkali niesamowite skoki prędkości; Larry Elgar zepsuł szybowiec i przeszedłby przyspieszenia między 16 a 20 G. W związku z tym wydaje się, że podwojenie poziomej prędkości powietrza z 20 m / s do 40 m / s po podmuchu grozi rozpadem szybowca.

Niech V 0 będzie prędkością powietrza przed napotkaniem podmuchu, a v prędkością podmuchu. Współczynnik obciążenia, jakiego doświadcza szybowiec, jest następujący:

a=g(1+v2+2vV0V02){\displaystyle a=g\left(1+{v^{2}+2vV_{0} \over V_{0}^{2}}\right)}

Przyspieszenie pionowe szybowca (bez korekty ze strony pilota) będzie wynosić:

d2hdt2=g[(V0+v)2−V02]V02cos⁡(ωt){\displaystyle {d^{2}h \over dt^{2}}={g[(V_{0}+v)^{2}-V_{0}^{2}] \over V_{0}^{2}}\cos(\omega t)}

• h to wysokość szybowca
• ω=2gV0{\displaystyle \omega ={{\sqrt {2}}g \over V_{0}}}

Demonstracja z zachowania energii

Niech V 0 będzie prędkością samolotu. Zakłada się, że napotyka nagły wzrost prędkości v . Ponieważ prędkość względem ziemi jest lokalnie stała, prędkość powietrza wzrośnie (lub spadnie) i osiągnie wartość V + r . Zakłada się, że samolot utrzymuje stałą pozycję. Kąt natarcia również będzie stały, a zatem współczynnik siły nośnej będzie stały.

Przed podmuchami winda jest:

L=12CLρSV2{\displaystyle L={1 \over 2}C_{L}\rho SV^{2}}

Samolot jest w równowadze, a zatem: L = W .

Przyjmuje się, że po nagłym poziomym podmuchu prędkość powietrza osiągnie wartość V_0 + v .

Po napotkaniu podmuchu podnośnik stanie się:

L′=12CLρSV2{\displaystyle L'={1 \over 2}C_{L}\rho SV^{2}}

Siła skierowana w górę wynosi zatem:

F=L′−W{\displaystyle F=L'-W}

Dlatego zauważamy, że:

F=12CLρS[V2−V02]{\displaystyle F={1 \over 2}C_{L}\rho S[V^{2}-V_{0}^{2}]}

Dlatego przyspieszenie w górę wynosi:

a=12mCLρS(V2−V02){\displaystyle a={1 \over 2m}C_{L}\rho S(V^{2}-V_{0}^{2})}

Całkowita energia (energia potencjalna + energia kinetyczna) jest zachowywana wewnątrz wybuchu poziomego. W związku z tym,

12V2+gh=Cte{\displaystyle {1 \over 2}V^{2}+gh=Cte}

Stawiamy E = V 2 /2 . Otrzymujemy wtedy:

E+gh=Cte{\displaystyle E+gh=Cte}

Wyprowadzamy to równanie. W związku z tym,

dEdt+gdhdt=0{\displaystyle {dE \over dt}+g{dh \over dt}=0}

Dryfujemy po raz drugi:

d2Edt2+gd2hdt2=0{\displaystyle {d^{2}E \over dt^{2}}+g{d^{2}h \over dt^{2}}=0}

Zastępujemy drugą pochodną h przez przyspieszenie, a zatem:

d2Edt2+g(12mCLρS(V2−V02))=0{\displaystyle {d^{2}E \over dt^{2}}+g\left({1 \over 2m}C_{L}\rho S(V^{2}-V_{0}^{2})\right)=0}

A więc :

d2Edt2+g(12mCLρS(2E−V02))=0{\displaystyle {d^{2}E \over dt^{2}}+g\left({1 \over 2m}C_{L}\rho S(2E-V_{0}^{2})\right)=0}

Mamy :

12CLρSV02=mg{\displaystyle {1 \over 2}C_{L}\rho SV_{0}^{2}=mg}

W związku z tym,

CL=2mgρSV02{\displaystyle C_{L}={2mg \over \rho SV_{0}^{2}}}

Zastępujemy:

d2Edt2+g(12m×2mgρSV02×ρS(2E−V02))=0{\displaystyle {d^{2}E \over dt^{2}}+g\left({1 \over 2m}\times {2mg \over \rho SV_{0}^{2}}\times \rho S(2E-V_{0}^{2})\right)=0}

W związku z tym,

d2Edt2+g2V02(2E−V02)=0{\displaystyle {d^{2}E \over dt^{2}}+{g^{2} \over V_{0}^{2}}(2E-V_{0}^{2})=0}

Definiujemy:

E′=E−12V02{\displaystyle E'=E-{1 \over 2}V_{0}^{2}}

Otrzymujemy wtedy:

d2E′dt2+2g2V02E′=0{\displaystyle {d^{2}E' \over dt^{2}}+{2g^{2} \over V_{0}^{2}}E'=0}

Następnie definiujemy:

ω2=2g2V02{\displaystyle \omega ^{2}={2g^{2} \over V_{0}^{2}}}

W związku z tym,

ω=2gV0{\displaystyle \omega ={{\sqrt {2}}g \over V_{0}}}

Dlatego rozwiązujemy:

d2E′dt2+w2E′=0{\displaystyle {d^{2}E' \over dt^{2}}+w^{2}E'=0}

Ogólnym rozwiązaniem jest zatem:

E(t)=Acos⁡(ωt)+Bsin⁡(ωt){\displaystyle E(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)}

W chwili t = 0 mamy podane E ' 0 . W związku z tym,

E′(t=0)=Acos⁡(ω0)+Bsin⁡(ω0){\displaystyle E'(t=0)=A\cos(\omega 0)+B\sin(\omega 0)}

A więc,

E′(t)=E0′cos⁡(ωt)+Bsin⁡(ωt){\displaystyle E'(t)=E'_{0}\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)}

Więc mamy :

E′˙(t)=−ωE0′sin⁡(ωt)+Bωcos⁡(ωt){\displaystyle {\dot {E'}}(t)=-\omega E'_{0}\sin(\omega t)+B\omega \cos(\omega t)}

W chwili t = 0 mamy prędkość pionową, która wynosi zero, ponieważ przyspieszenie jest skończone. W związku z tym,

0=E˙(t=0)=−ωE0′sin⁡(ω0)+Bωcos⁡(ω0){\displaystyle 0={\dot {E}}(t=0)=-\omega E'_{0}\sin(\omega 0)+B\omega \cos(\omega 0)}

A więc B = 0 . Wreszcie mamy zatem:

E(t)=E0′cos⁡(ωt){\displaystyle E(t)=E'_{0}\cos(\omega t)}

W związku z tym,

E¨(t)=−ω2E0′cos⁡(ωt){\displaystyle {\ddot {E}}(t)=-\omega ^{2}E'_{0}\cos(\omega t)}

Zapamietaj to:

d2Edt2+gd2hdt2=0{\displaystyle {d^{2}E \over dt^{2}}+g{d^{2}h \over dt^{2}}=0}

Dlatego przyspieszenie pionowe wynosi:

d2hdt2=1gE¨(t)=−ω2gE0′cos⁡(ωt){\displaystyle {d^{2}h \over dt^{2}}={1 \over g}{\ddot {E}}(t)=-{\omega ^{2} \over g}E'_{0}\cos(\omega t)}

W związku z tym,

d2hdt2=2g2gV02E0′cos⁡(ωt){\displaystyle {d^{2}h \over dt^{2}}={2g^{2} \over gV_{0}^{2}}E'_{0}\cos(\omega t)}

W związku z tym,

d2hdt2=2gV02E0′cos⁡(ωt){\displaystyle {d^{2}h \over dt^{2}}={2g \over V_{0}^{2}}E'_{0}\cos(\omega t)}  

Zakładamy, że V 0 = 20 m / s i że przy t = 0 mamy V (t = 0) = 40 m / s. (Niech v = 20 m / s)

Dlatego przyspieszenie początkowe wynosi:

a=gv2+2V0vV02=10×202+2×20×20202=30{\displaystyle a=g{v^{2}+2V_{0}v \over V_{0}^{2}}=10\times {20^{2}+2\times 20\times 20 \over 20^{2}}=30} m / s 2 .

Niech 3 G. Współczynnik obciążenia wynosi zatem (3 + 1) G = 4 G, czyli blisko punktu zerwania szybowca.

Model ten wyjaśnia, dlaczego Joachim Kuettner przeszedł przyspieszenie 4 G, kiedy leciał na bardzo silnym wirniku i że jego prędkość powietrza bardzo wzrosła. Joachim Kuettner wybrał i jest to prawdopodobnie spowodowane negatywnym podmuchem, który zmniejszył jego prędkość poniżej straganu. Pół godziny później Larry Edgar zepsuł szybowiec w bardzo podobnych warunkach. Podlega przyspieszeniom od 16 do 20 G, które przetrwa. Ponieważ był chwilowo nieprzytomny, nie można określić dokładnej kolejności wydarzeń. Jest prawdopodobne, że te fenomenalne przyspieszenia wystąpiły po zerwaniu szybowca, ale nic nie pozwala nam tego potwierdzić.

Tak więc Joachim Kuettner napisał następujący raport:

„  Po krótkim odczycie 1600 stóp / min w górę i 1000 stóp / min w dół, prędkość wzrosła z 45 mil na godzinę do 90 mil na godzinę w ciągu około 2 sekund, pomimo stanu uniesienia nosa, który pozwalał widzieć tylko niebo przez okno. Przy odczycie 4,5 G statek ponownie utknął w martwym punkcie  »

Tłumaczenie francuskie: „Wariometr pokazał przez krótki czas +8 m / s, a następnie -5 m / s. Prędkość powietrza zmieniła się z 20 m / s do 40 m / s w ciągu 2 sekund, pomimo skrajnie nachylonej postawy szybowca, która pozwalała jedynie na oglądanie nieba przez baldachim. Gdy akcelerometr wskazywał 4,5 G, szybowiec ponownie zatrzymał się ”.

Historia Kuettnera potwierdza powyższy model, więc gdy porywy osiągają 20  m / s , warunki stają się wyjątkowo niebezpieczne.

Uwagi i odniesienia

Uwagi

1. Oficjalna nazwa francuskiego kretyna to wstrząs, który jest jednak niejednoznaczny, ponieważ wypukłość bardziej przypomina „funkcję” Diraca . Jednak słowo szarpnięcie jest używane na kursach w college'u, jak wspomniano w odnośniku
2. Odsyłacz szczegółowo omawia ten model.
3. Podwiry mogą mieć dowolne małe rozmiary, podczas gdy większe wiry mogą mieć średnicę około 600 m. Jest to omówione w artykule Sharmana.

Bibliografia

1. (in) Podręcznik informacji lotniczych , Federal Aviation Administration ,2012, PDF ( czytaj online ) , str.  7-1-48
2. Dynamika
3. Wydajność
4. (w) Joachim Kuettner Rolf Hertenstein, "  Obserwacje wirników indukowanych przez góry i powiązane założenia: przegląd  " , Materiały z 10. Konferencji Meteorologii Górskiej AMS , Amerykańskie Towarzystwo Meteorologiczne,2002, s.  2 ( przeczytaj online [PDF] )
5. Potwór , str.  141
6. (w) Joachim Kuettner , „  przepływ wirnik osłoną góry  ” , NRD badań banknotów , geofizycznych dyrekcja badania USAF , N O  6,Styczeń 1959( przeczytaj online [PDF] )
7. (w) Bob Spielman, "  Wypadek szybowca  " , Soaring , Soaring Society of America ,grudzień 2015, s.  32-36
8. Dynamika , s.  295
9. (w) Howard B. Bluestein, Severe Convective Thunderstorms and Tornadoes Observations and Dynamics , Springer-Verlag ,2013, 456,  str. ( ISBN  978-3-642-05380-1 , DOI  10.1007 / 978-3-642-05381-8 ) , str.  112
10. (w) Ioan Vrabie, Równania różniczkowe: Wprowadzenie do podstawowych pojęć, wyników i zastosowań , World Scientific Publishing ,2004, 401  str. ( ISBN  981-238-838-9 , czytaj online ) , str.  257
11. „  Przyspieszenie i szarpnięcie  ” [PDF] (dostęp 2 lutego 2018 r. )
12. (w) JG Jones, „  Studies of Time-Phased Vertical and Lateral Gusts: Development of MULTIAXIS-Minus-One Cosinus Gust Model  ” [PDF] , Federal Aviation Administration ,Październik 1999(dostęp 10 lutego 2018 )
13. Dynamika , s.  297
14. Sylvie Malardel, Fundamentals of Meteorology, drugie wydanie , Toulouse, Cépaduès,2009, 710  s. ( ISBN  978-2-85428-851-3 ) , str.  634
15. (en) RD Sharman i in., „  Description and Derived Climatologies of Automated Situ Eddy-Dissipation-Rate Reports of Atmospheric Turbulence  ” , Journal of Applied Meteorology and Climatology , vol.  53,czerwiec 2014( DOI  10.1175 / JAMC-D-13-0329.1 , przeczytaj online [PDF] )
16. (w) Lukas Strauss, „  Turbulencje w łamaniu fal górskich i wirników atmosferycznych oszacowane na podstawie pokładowego radaru dopplerowskiego i pomiarów in situ  ” , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , vol.  141,październik 2015( DOI  10.1002 / qj.2604 , przeczytaj online [PDF] )
17. (w) Richard Scorer, „  Teoria fal górskich o dużej amplitudzie  ” , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , vol.  85, n o  364 Kwiecień 1959, s.  142 ( DOI  10.1002 / qj.49708536406 )
18. Potwór , str.  136
19. Wydajność , s.  270

Bibliografia

• [Dynamics] (en) Louis V Schmidt, Introduction to Aircraft Flight Dynamics , AIAA,1998, 397,  s. ( ISBN  978-1-56347-226-8 )
• [Wydajność] (en) Mario Asselin, Wprowadzenie do wydajności samolotu , AIAA,sierpień 1997, 339  s. ( ISBN  978-1-56347-221-3 )
• [Monster] (en) Robert F Whelan, Exploring the monster: Mountain lee waves: the aerial elevator , Wind Canyon Books,2000, 170  str. ( ISBN  978-1-891118-32-6 ) , str.  136

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">